0000000
الجزء الرابع
الترتيب
الباب الرابع والعشرون
/141 - فكرة التزتيب أو المتسلسلة من الأفكار الى سبق أن تعرضنا لها فى معرض
الكلام عن المسافة » وعن ترتيب المقدار . فقد كشف البحث فى الاتصال » وهو
البحث الذى أجريناه فى الباب الأخير من الحزء الثالث » عن أنه فكرة الأجدر
أن كرن ترتيبية » ومهد الأذهان الذأهرة الأساسية لفكرة الترتيب . وقد حان الوقت
الآن لفحص هذه الفكرة فى ذاءها . فقد زادت التطورات الحديثة من أهمية الترتيب
من الوجهة الرياضية البحتة زيادة لا يمكن المبالغة فى وصفها . وقد أثبت كل من
ديديكند وكانتور وبيانو كيف يئسس الحساب والتحليل على متسلسلة من نوع
خاص أى على خواص الأعداد المتناهية والبى بفضلها يتكون ما سأسميه متوالية
:و0 ٠ وسرى أيضا أن الأعداد اللامنطقة تعرف تعريفا تامنًا باستخدام
الآرتيب » وأن فصلا جديدا من الأعداد الترتيبية المتصاعدة عنصةوصدى
قد أدخل ' وأمكن بفضله الحصول على نتائج فى غابة الأثمية والطرافة .
وف مجال الهندسة نجد أن طريقة شتاوت مهدم:5 لرسم الشكل الرباعى التام
و نحوث بيبرى 810:1 فى الطندسة الإسقاطية قد بينت كيف تجرى النقط
والحطوط والسطوح المستوية ى ترتيب مستقل عن الاعتبارات القياسية وعن المقدار .
وذلك على حين نجد أن الهندسة الوصفية تثبت أن قسطا كبيراً من الهندسة
لا يتطلب غير احمال وجود الترتيب المتسلسل . هذا فضلا عن أن فلسفة المكان
والزمان بأسرها نتوقف على وجهة النظر الى نسلم بها عن الترتيب . ومن أجل ذلك
أصبح البحث فى الترتيب جوهريا فى فهم أسس الرياضيات ؛ وهو بحث أغفلته
الفلسفات الحارية .
- وتبلغ فكرة الترتيب من التعقيد مبلغاً أكثر من أى فكرة أخرى سبق لنا
'تحليلها . فلا يمكن لحدين أن يكون لما ترتيب ٠ بل ولا لثلائة حدود أن يكون لها
ترتيب دورى . ومن أجل هذا التعقيد واجه التحليل المنطق للترتيب صعوبات
09
م
كبيرة ٠ ولذلك سأتناول هذا الموضوع تدريجياك . فأبحث فى هذا الباب الظروفام
الى ينشأ فيبا الترتيب ؛ مرجئاة البحث فى ماهية الَرتيب إلى الباب التالى . وسيئير
هذا التحليل عدة مسائلأساسية ف المنطق العام تتطلب بحنا” ضافيا ذا صفة تكاد
أن تكون فلسفية بحتة . وعند ذلك أنتقل إلىموضوعات ذات صلة أكثر بالرياضة »
ل أصناف اللمتسلسلات والتعريف الترتيى للأعداد » وبذلك تمهد السبيل شيئا
فشيئا للبحث ف اللانباية والاتصال فى اكز التالى .
هناك طريقتان مختلفتان يمكن أن ينشأ بهما الترتيب ٠ ولو أننا سنجد فى نباية
الأمرأن الطريقة الثانية يمكن أن ترد إلى الأولى . فى الطريقة الأولى يتكون ما مكن
أن نسميه بالعنصر الترتي من حدود ثلاثة ! »اب ء ح يقع أحدهما زب مئلا)
بين الحدين الآخرين. وهذا يحدثدائما عندما تقرم علاقة «بين» «ع#ساءظ
أءن وبين ب ء ح لاتقوم بين ب 1 ء أو بين ح ءات ء أو بينح ؛1.
وهذا هو التعريف أو بالأحرى هذا هو الشرط اللازم والكاق ناقضية « ب بين
[اء ح) . ولكن هناك حالات أخرى من الترتيب لا تتحقق فيها الشروط السابقة
لأول وهلة » ولا تنطبق عليها فما يظهر لفظة « بين » . وهذه الخالات فيبا حدود
أربعة ] ٠ ب » حاء ه هى العنص الرتيى » ويمكن أن نقول عما إن ! » ح
مفصولان بالحدين ىن » و . وهذه العلاقة أعققد ولكن يمكن وصفها كالآتى :
يقال إن | » ح مفصولان عن ب ؛ عندما تقوم علاقة لا تماثلية بين | » ب ؛
ون لاس و لزاون مو ندم ع ب أو ينغا
|4باءت . وفما يختص با حالة الأول يجب أن تقوم نفس العلاقة إما بين
ل . ويقال مثل ذلك عن الحالتين الأخريين!1)
( ولا نحتاج إلى فرض خاص عن العلاقة بين | » ح أو بين ب © ؛ . وفقدان
هذا الشرط هو الذى يمنعنا من رد هذه الحالة إلى الحالة الأول بطريقة بسيطة ) .
وهناك حالات ؛ أهمها الحالات الى تكون فيها المنسلسلات مقفلة » يظهر فيها أن
رد الحالة الثائية إلى الأولى مستحيل صوريا » ولو أن هذا المظهر خداع كما سترى
فى شطر منه . وسنوضح ىق فى هذا الباب الطرق الرئيسية الى تنشأ بها المتسلسلات عن
. وهذا يععلى شرطاً كافياً ولكنه غير ضر ورى للفصل بين الأزواج )١(
مجموعات من مثل هذه العناصر الرتيبية .
ومع أن حدين فقط لا يمكن أن يكون هما ترتيب فلا ينبغى أن نفترض أن"
الترتيب ممكن » إلا عندما تقوم علاقات بين حدين . فى جميع المتسلسلات سنجد
أن هناك علاقات لا تمائلية بين حدين . ولكن العلاقة اللاتمائلية الى لا توجد منها
سوى حالة واحدة . لا تكون ترتيباً . إذ يازمنا على الأقل حالتان لعلاقة « بين»
وثلاث حالات على الأقل للفصل بين الزوجين . وعلى ذلك ففع أن العرتيب علاقة
بن ثلاثة حدود أو أربعة . فهو ممكن فقط عندما كن هال بغلاقات أخرى
قائمة 5 أزواج الحدود . وهذه العلاقات قد تكون من أنواع شى وتؤدى إلى طرق
مختلفة لتوليد المنسلسلات . وسأسرد الآن الطرق الرئيسية الى أعرفها .
)١( - 6 أسبل طريقة لتكوين ام#سلسلات هى الآنية : لتكن لدينا مجموعة
من الحدود متناهية أو لامتناهية » كل حد فيها ( مع احمال استثناء حد واحد)
له مع حد واحد لا غير من حدود الجموعة علاقة لاغائلية معينة ( ويجب بطبيعة
الحال أن تكون غير متعدية) : وأن كل حد ( ومرة ثانية مع احمال استثناء حد
واحد يجب ألا يكون هو الحد الذى استثنيناه فى المرة السابقة) له أيضاً مع حد
واحد لا غير من حدود المجموعة علاقة هى عكس العلاقة الأول" . ْم لنفرض
أنه إذا كان للحد | مع الحد ب العلاقة الأول مع ح » فإن < لا يكون له العلاقة
الأول مع | » وعندئذ يكون لكل حد من حدود اخجموعة فما عدا الحدين المستثنين
غلاقة واحدة مع حد ثان » والعلاقة العكسية مع حد ثالث » بيئا هذان الحدان
لا تقوم ببنهما أى من العلاقتين المذكورتين . ويترتب على ذلك أنه بتعريف ١ بين »
يكون حدنا الأول بين حدينا الثانى والثالث .
والحد الذى له مع حد معلوم إحدى العلاقتين المشار إليبما يسمى المابعد
معقة :نمم الحد المعلوم » والذى له 8 الحد المعلوم العلاقة العكسية يسمى الماقبل
#مواعط مهم الحد المعلوم . وإذا قامت العلاقتان المشار إليبما بين حدين سميا
نتعاقبين . أما الحدان الاستثنائيان إن وجدا فلايقعان بين أى زوج من الحدود »
)١( * عكس المادقة هى العلاقة الي يحب أن تقوم بين ص ع س عندما تقوم العلاقة المعلومة بين
ص »؛ صن .,
١٠
ويسميان بطرق المتسلسلة » أو يسمى أحدهما الأول والثانى الآخر . ولا يستلزم .
وجود أحد هذين الحدين بالضرورة وجود الآخر ؛ فثلا الأعداد الطبيعية لها أول
وليس لا آخر - وليس من الضرورى أن يوجد أيبما مثال ذلك أن الأعلداة
الصحيحة الموجبة والسالبة مأخوذة” معاً فليس لا أول ولا آخر 3١ , 01
وقد نوضح الطريقة السابقة بوضعها ى قالب صورى : إذا رمزنا لإحدى علاقاتيل .
باليمز ع » ولعكسما بالرمز ت "2 ب وإذا كان ه أى حد من حدود جموعتنا..»,
فإنه يوجد حدان و » ف بحيث يكون هاج و ماع ف أىبحيث بكرن و عفاي
هو عه . ولا كان لكل حد العلاقة ع مع حد واحد فقط فلن نحصل عل
و عفه. وقد سبق أن افنرضنا منذ البداية أننا لن نحصل على ع و » وعل
ذلك تقع ه بين .ىف" . وإذا كان | حدًا ليست له إلا العلاقة ع ع ٠ فن.
الواضح أن ! ليست بين أى زوج من الحدود . ويمكن تعممم فكرة ١ بين » بتعريفناً
أنه إذا كان ح بين ب .وه وكان و بين ح ٠ ه ١ قيل عندئذ إن ح أوام
بقع كذلك بين بن 2 هر باوهذه الطريقة :تصق إلى أحدا طرق اللسلسلة أو
فرجع إلى الحد الذى بدأنا منه » فسنجد أى عدد من الحدود بقع الحداح بيبا
وبين بن . ولكن إذا كان المجموع ا ل ل ا
الطريقة أن نبين أى حد من ثلاثة لا بد أن ن يكون أحدهما بين الاثنين الآخرين ,*
ما دامت المجموعة قد تتكون من متسلسلتين متميزتين إحداهها على الأقل فى نحالة
امجموعة المتناهية لا بد أن تكون مقفلة حى نتحاشى وجود أكثر من طرفين ٠,
ومن هذا يتضح أنه إذا أريد أن تؤدى الطريقة السابقة إلى متسلسلة واحدة :
ينتمى إليها أى حد من المجموعة » ونا جاع إل حرط اتير مكن الجر عه
7 : إن المجموعة يحب أن تكون ٠ متصلة » . وسنضع طريقة فيا بعد لصياغة 1
هذا الشرط دون إشارة إلى العدد ٠ ولكن فى الوقت الحاضر سنكتى بالقول 3 1
امجموعة تكون متصلة مى توافر الشرط الآنى : إذا أعطينا أى حدين من حدود '
امجموعة » فهناك عدد متناه معين ( وليس بالضرورة فريداً) من الحطوات من حل ١
)١( الطريقة المأ كورة هى الطريقة الوديدة لتكوين المتسلسلات حسب بولزاثو سام .
87 ا ول مماعرم لووط 1
)١ ( هذه هى العلامة الى أخذ بها شر ودر. 0
(؟) رفض دع ف إما يكون ضرورياً بالنسبة هذه الطريقة الخاصة » ولكن رفض ف يمه -
ضرورى لتعريف « بين » .
ل
إلى التالى له ننتقل بها من أحد الحدين إلى الآخر . فإذا تحقق هذا الشرط أصبحنا
واثقين أن" أحد أى ثلاثة حدود فى الجموعة يقع بين الحدين الآخرين .
فإذا افترضنا الآن أن المجموعة متصلة وتكون عندئذ متسلسلة” واحدة» فقد
ينشأ عن ذلك أربع حالات : )١( قد يكون للمتسلسلة طرفان ؛ ( ب ) وقد يكون
ها طرف واحد » ( <) وقد لا يكون لها طرف وتكون مفتوحة ٠ ( د) وقد لا يكون
لها طرف وتكون مَقْفسّلة . وى احالة )١( ينبغى ملاحظة أن المتسلسلة لا بد أنتكون
متناهية » لأننا إذا أخذنا الطرفين . وكانت المتسلاة متصلة » فهناك عدد” معين
مئناه من الحطوات 3 ينقلنا من أحد الطرفين إلى الآخر » وبذلك يكون عدد حدود
. المجموعة هو 2 + ١ » ويقع كل حد ما عدا الطرفين بينهما » ولا يمع أى طرف
| مهما بين أى زوج آخر من الحدود . أما فى الحالة ( ب ) من جهة أخرى ؛ فلا بد
أن تكون المجموعة لا متناهية . وهذا صحيح حتى لو لم تكن المجموعة متصلة .
ولبيان ذلك نفترض أن للطرف الموجود العلاقة ع » ولكن ليس له العلاقة تم ,
عندئذ يكون لكل حد آخر من المجموعة كلا العلاقتين » ولا بمكن أبدا أن يكون
له العلاقتان معا مع نفس الحد . ما دامتع لا تمائلية . وإذن فالحد الذىله مع
الحد هر ( مثلا) العلاقة ع . ليس هو الحد الذى له معه العلاقة ت » بل هو إما
حد ما جديد» وإما أحد الحدود السابقة على الحد هر . ولا يمكن أن يكون هذا الحد
هو الطرف ! » لأن | لا يمكن أن يكوزله العلاقةم مع أى حد . وكذلك لا يمكن
أن يكون حدا يمكن الوصول إليه بخطوات متنالية من ١ دون المرور بالحد هر ء إذ
لو كان الآمر كذلك لكان لهذا الحد سابقان » وهو خلاف الفرض بأن ع علاقة
واحد بواحد . وعلى ذلك إذا كان كع حدًا ما يمكن الوصول إليه من ١ بخطوات
متتالية ٠ فيجب أن يكون له تال ليس هو | أو أى حد من الحدود بين | » ك .
وعلى ذلك فالمجموعة لا نبائية . متصلة” كانت أو غير متصلة . وكذلك فى الحالة
(<) يحب أن تكون ال موعة لا نبائية » لأن المتسلسلة فرضاً مفتوحة » أى أننا
إذا بدأنا من هر » (أى عدد من الحطوات نتخذه فى أى اتجاه من الاتجاهين
إلا يعود بنا مرة ثانية إلى هرء ولا يمكن أن توجد نباية محدودة لعدد الحطوات الممكنة ؛
وإلا كان للمتسلسلة طرف . ولا يلزم فى هذه الحالة أيضا أن تكون المتسلسلة
1١
متصلة . وعلى العكس من ذلك فى الحالة ( د) يجب أن نفترض الاتصال ٠ والقول ْ
أن المتسلسلة مقفلة معناه أننا إذا بدأنا بحد” مما | » واجتزناعدداً من الحطوات © .
نرجع مرة أخرى إلى | . وفى هذه الحالة هى عدد الحدود » وسيان عندنا أن نبدأ ْ
من أى حد . وق هذه الحالة لا تكون « بين » معينة » إلا حيث يوجد ثلاثة حدوم ,
متعاقبة » وتشتمل المتسلسلة على أكثر من ثلاثة حدود . وبغير ذلك نحتاج الن'.
علاقة أعقد هى الانفصال . 5
)١( رأينا كيف أن الطريقة السابقة تؤدى إما إلى متسلسلات مفتوحة '
أو مقفلة » بشرط أن تكون حدودها متعاقبة . أما الطريقة الثانية الى سنناقشها الآن ..
فإنها تعطى متسلسلات ليس فيها حدود متعاقبة » ولكها لا تعطى متسلسلات
مقفلة!'2 . وتستخدم فى هذه الطريقة علاقة متعدية لا تمائلية ىه » ومجموعة من.
الحدود تقوم بين كل حدين مباء إما العلاقة سء ىء صء: أو صء وء سه. وعندما
تتحقق هذه الشروط تكون الدود بالضرورة متساسلة' واحدة . ولا كانت العلاقة ,
لا تماثلية فإنه يمكن القييز بين س. ىء ص.ءء صء ى. سوء ولا يمكن أن يجتمعا.
معا 1" رونا دامت ف متعدية » فإن سن فَه ص,ء صض, ىه ط تؤديان إلى سعفوط-
وينتج منهذا أن قة هى أيضآ لا ماثلة ومتعدية!'. وهكذا فبالنسبة لأىحد سه
من المجموعة تقع جميع الحدود الأخرى من المجموعة فى فصلين » تلك الى لها العلاقة
س وء صءء وتلك الى لها العلاقة طاىء سه . وإذا رمزنا لهذين الفصاين بالرمزين
جر س ء جر س ء على البرتيب » رأينا أنه نظراً لتعدى ىء إذا كانت صء تابعة.
)1 الطريقة الآثية هى الطريقة الوحيدة الى يشرحها فيفانى والمذكورة فى كتاب عط هذ فصع 1
ععصه هله دعت امع ممم عط ص6“ “مقصلة© برط مكلج, 7 8/6 ,2 8 ,1 , (وو18) رمب وذام كاله( مل «تتماسوممع_ر
1 له/ 1.5( لططاط . ''لاواتممد امممعضق ١
وسنجد أن هذه الطريقة عامة بمعبى لا أجده ق أى طريقة من طرقذا .
(؟) إف أستخدم اصطلاح لا متاثل كضاد لا كتناقض 'عاثل . فإذا كانت س ف ص وكانت
العلاقة مّاثلة كان عندذا دائماً ص ى س . وإذا كانت لا تمائلية فلن نحصل أبداً على ص ف س . وبعضن. -
العلاقات - كالازوم المنطى مثلا - ليست متائلة ولا لا متاثلة . وبدلا من افتراض ف لا متاثلة »م
فقد يمكن أن نضع افتراضاً مكافتاً وهو الذى يسميه الأستاذ بيرس وعلاقة غريبة » » أى علاقة ليس" ٠
لأى -حد علاقة هنا انرا يس مكافتاً للامماثل على العموم بل فقط حين يرتبط بالتهدى 0
() يمكن أن نقرأى الى تسبق ٠: ٠ وق الى تتبع» بشرط عدم السماح بأى أفكار زمائية أو مكانية
بالتدخل . 1
١
للفصللى 171 سه » كانت جر ص, داخلك فى جر سه . وإذا كانت مل تابعة للفصل
7 سمه » كانت 7ز مل داخلة ف رز سمه . وإذا أخذنا حدين س. » ص, يحققان
العلاقة سءىءص, ٠» فإن جميع د الأخرى تفع ق له فصو
التابعة الفصل7رسه » و بالتالى ا (؟) تلك التابعة للفصل77صء » وبالتال 0
للفصل سه ( ") تلك التابعة للفصل7:سه ؛ ولكن ليس للفصل رص . فإذا >
كانت ط من الفصل الأول حصلنا على ط وه سن طق ص وإذا كاتت و
من الفضل الثانى حصلنا على سن قء ف » ص وه ف وإذا كانت و من الفصل
الثالك حصلنا على سدفء و » ووه صه. وقد استبعدنا حالة صءقء ى» ى ى.سه» 5
ا او ا يتمق مع
وهكذا نحصل فى الحالات الثلاث على ( )١ سه بين ط ل لاف عو بن
سن ,ف ؛ (*) وبين س. ء ص, . ويترتب على ذلك أن أى ثلاثة حدود فى
المجموعة فهى بحيث يكون واحد منها بين الآخرين وتؤلف الجموعة كلها متسلسلة
واحدة ص دعا رمه إن عاد ©
علاقات كثيرة ىه : : 500
أن ىه هى علاقة ا » وكانت مجموعتنا هى مجموعة اللحظات فى فرة
معينة من الزمن أو فى سائر الزمان » فهناك لحظة بين أى لحظتين فى المجموعة .
. وكذلك الحال فى المقادير الى سميناها فى الباب الآخير من الحزء الثالث م2
وليس ف الطريقة الراهنة كما كان الحال فى الطريقة السابقة ما يوجب أن تكون ه:
حدود متعاقبة » مالم يكن العدد الكلى للحدود فى الجموعة متناهيا . ومن جهة أخرة
لا تسمح هذه الطريقة بالماسلسلات المقفلة » إذ' أنه نظراً إلى تعدىالعلاقة ف »
فإن' كانت المتسلسلة مقفلة» وكان سء أىحد من حدودهاء لحصلنا على س :سه »
وهذا محال لأن وء لامّائلة . وبذلك لا يمكن أن تكون العلاقة المولدة فى المتسلسلة
المقفلة متعدية١'' . وكا كان الحال فى الطريقة السابقة » ربما كان للمتسلسلة
طرفان » وربما كان لما طرف واحد » وربما لم يكن لما أى طرف . وى الحالة
الأولى وحدها قد تكون متناهية » ولكن حتى فى هذه الحالة قد تكون لا متناهية »
2
كلام
لي
<عدهع
دع ١
. انظر شرحاً أكثر دقة فى الباب الثامن والعشرين )١(
1
أما فى الحالتين الآخريين فيجب أن تكون كذلك . ّ
9 (") وقد تتكون المتسلسلة بواسطة المسافات » كا بينا ذلك جزئينًا فى
الحزء الثالث ٠ وسنوى شرح ذلك فها إلى . فى هذه الحالة إذا بدأنا من حد معين
س فسنحص عل علاقات هى مقادير بين سه وبين عدد من الحدود الأخرى صء؛
مل .. . إلخ . وبحسب هذه العلاقات من حيث | إنها أكبر أو أصغر بمكننا ترتيب
0 المناظرة . فإذا لم تكن هناك علاقات شبيبة بذلك بين الحدود الباقية صء »
. . فلن نحتاج إلى شىء آخر . ولكن إذا ل
0 » احتجنا إلى بعض البديبيات حنى نضمن أن الترتبب قد يكون مستقلا -
عن الحد الخاص الذى نبدأ منه . نذا توشيعنا اسن اط روزا للمسافة رون عر اط
فإذا كان س. ط أصغر من سه و » فلا بد أن تكون صء مل أصغر من صء و١
وينتج عن ذلك - وهى نتيجة لم يكن لها #ل عندما كانت سه هى الحد الوحيذ
الذى له مسافة أن المسافات لا بد أن تكون علاقات لا مماثلة » وما كان من
المسافات له جهة واحدة فلا بد أن تعتبر أصغر من صفر . لأن قولنا و سه ط أصغر'
من و سه » يتضمن أن ٠ و مل أصغر من وو » أى و ط أصغر من صفر ٠ وبهله .
الطربقة ترتد الحالة الراهنة عملينًا إلى الثانية ٠ لأن كل زوج من حدود سه » ضضنه
سيكون بحيث أن سه صء أصغر من صفر : أو سء صء أكبر من صفر . ويمكن
أن نقول فى الحالة الأولى ص وء س.ء وف الثانية س. ىء صه. ولكننا نحتاج إلى
بدمبية أخرى لكى يمكن إجراء العرتيب دون إبهام . فإذا كان س مز - صضء و
وكان ط و ع س ص, » فلا بد أن يكون وء 3 نفس النقطة ٠ وببذه البديبية
الإضافية يكون إرجاع هذه الحالة إلى الحالة ( 1) كاملا .
١95 - ( 4) وحالات العلاقات المثلثة دددوةغداءم «ملسهمة:ة لها القرة على
إنشاء الترتيب . ولنفرض العلاقة ع تقوم بين صهء ء (سه ٠» ط) وبيناط »
(صهءى) وبين ى » ( مل » )١ وهكذا . أما بين » فهى نفسها هذه العلاقة م
وحينئذ ربما كانت هذه هى الطريقة الأعظ مباشرة وطبعا لتكوين الترتيب ٠ فتقولم |
فى هذه الحالة إن صء بين سه » م[ عندما تقوم العلاقة ع بين صء والزوج سه » ْ
مل . ولا بد لنا من فروض بالنسية للعلاقة ع تثبت أنه إذا كانت ص بين سه»
١6
٠٠ صل » وكانت مل بين صء ؛ و ء عندئذ صء ء مل يقوم كل مهما بينم[ » وء
أى أنه إذا كانت صه ع (سه؛ ط)؛ مل ع ( صهء و)» فلا بد أن تكون صمع
(سمهء و ) » صل ع ( سمهء و ) . وهذا نوع من التعدى الثلاثى الحدود . كذلك
إذا كانت صء بين سه » و وكانت مل بين صم» و» إذن مل لا بد أن تكون بين
سمه » وء وأن تكون صء بين سه » مل أىأنه إذا كانت ص ع ( سه ء و)
وكانت ءل غ ( ص!ه.ء و ) إذن مل ع ( سه ء و)» صهع (سه» مل ) . كذلك
يحب أن نكون ص ع (سه : ط) مكافئة .اع (ط ء سه)7 . وبهذه
الفر وض يتكون ترتيب لا ايام فيه بين أى عدد من الحدود بحيث تقوم لأى ثلاثة
مها العلاقة ع . أما أن هذه المسائل تقبل أو لا تقبل مزيدا من التحليل فأمر أرجئء
ببله للباب التالى .
19( 0)لم نجد حى الآن طريقة" لتكوين المتسلسلات المتصلة المقفلة »
ومع ذلك فهناك أمثلة هذه المتسلسلات كالزوايا ٠ والح المستقم الناقصى » والأعداد
المركبة الى ها مقياس «علوم . ولذلك لزم أن توضع أظرية تسمح بإمكان
وجود هذه المتسلسلات . وى الحالات البى تكون الحدود فيها علاقات لا مئائلة
كالمستةيات » أو عندما تكون هذه الحدودمرتبطة ارتباطاً وحيدا وعكسينًا عثل هذه
العلاقات » فالنظرية الآآتية تتى , بالغرض المطلوب . أما ى الحالات الأخرى فيمكن
استخدام الطريقة السادسة الى سارها بعد
ليكن س.. صدء مل ... . مجموعة من العلاقات اللامعاثلة» لتكن ع علاقة
لاا مهائلة تقوم بين كل اثنين سه . صء . أو صء . مل ؛ إلا بى الحالة الى تكون
فيها صء هى العلاقة العكسية ( سه . ولنفرض كذلك أن العلاقة ع هى بحيث إذا
قامت بين سه ؛ ره فإنها نقوم بين صء وعكس سه . وإذا كانت سه أى حد
فن حدود المجموعة . فلنفترض أن جميع الحدود الى لها مع س العلاقة ع أو حم هى
حدود امجموعة . وجميع هذه الشروط متحققة فى الزوايا » وحيمًا تتحقق كانت
ا . لأن سدع صء تستلزم صء ع متةء ومن م"
عض وإذن ص ع س . أى أنه بواسطة العلاقة ع يمكن أن نسير من مره ونعود
3
١ ) ( انظر 2 2 12 ,11آلا مصماعة . و188 ,مترب]” ب3ْكأعصوع2) لل لتمتعصلوط 1 ضوعم
1
إلى سه مرة أخرى . وأيضا ليس ف التعريف ما بمنع من أن تكون المتسلسلة متصلة .م
ولكن لما كانت المتساسلة مقفلة » فلا يمكن تطبيق فكرة « بين» تطبيقا كليا »
ولكن فكرة الانفصال يمكن تطبيقها دائما . والسبب فى وجوب افتراض أن الحدود
إما أنها علاقات لا معائلة أو مترابطة مع مثلهذه العلاقات » أن هذه المتسلسلات
لما عادة أقطاب مقابلة وعهمم نهد » أو« مقابلات» كما قد تسمى فق بعض الأحيان»
وأن فكرة « المقابل ٠ +انومومه بظهر أنها مرتبطة جوهريًا بعكس العلاقة اللامهاثلة .
4 - (5) وبنفس الطريقة الى شرحناها فى ( 4) لتكوين متسلسلة من
علاقات ١ بين » » نستطيع أن نكوّن المتسلسلات مباشرة من علاقات الانفصال
الرباعية الحدود . وى هذه الحالة أيضا تلزمنا بعض البديبيات . وقد بين قايلانى 2١١
نندانه” أن البدبيات الحمس الآنبة كافية ٠. كا بين بادوا ومفدط أن لا
استقلالا ترتيبينًا أى لا بمكن استنتاج أى واحدة منها من سابقانما'' . وللرمز لقولنا
9اءت يفصلان ح عن و » بالرمز | ب ١1ح وء فنحصل على :
)١( إدااحو تكاف حواااب
(؟) إداادى تكائ إدااوح
(“) إداااحو ا ستبعد إحااب و
( 4) لأىأربعة حدود من مجموعتنا يوب أن يكون لات 1ح ء أو | حداات ء
أو إوااباح. ش
(ه)إذا كانتا تف ااحىء | اا به إذن | <حااوه.
ورؤامطة هذه الفزولين” القمية تكاس لدو 1 اا وس ا
ترتيباً لاإبهام فيه نبدأ فيه من علاقة بين زوجين من الحدود. وهو ترتيب غير معين
إلا بالقدر الذى تعينه الفروض المذكورة . وسأرجئ إلى مرحلة_متأخرة المزيد من
بحث هذه الحالة عندما نبحث فى علاقة الانفصال . ٠
الطرق الست المذكورة لتكوين ال سلسلات هى الطرق الرئيسية الى أعرفها »
وجميع الطرق الأخرى يمكن ردها فيا أعلم إلى هذه الطرق الستث. والطريقة الأخيرة
000 ,76 .رم رلا رقع كقطسع ه384 تل ماماونظ
( ؟ ) ال مرجم السابق ص 186 .
1
وحدها هى الى تؤدى إلى تكوين متسلسلة متصلة مقفلة ليست حدودها علاقات
لا معائلة ولا مرتبطة يمثل هذه العلاقات١! . لهذا يحب أن تطبق هذه الطريقة
الأخيرة على الهندسة الإسقاطية وا هندسة الناقصية» حيث يظهر أن ترابط النقط على
مستقم مع المستقهات الحارجة من نقطة : تابع منطقينًا لترتيب النقط على المستقم .
ولكن قبل أن نقرر إذا كانت هذه الطرق الست ( وخاصة الرابعة والسادسة ) مستقلة
ولا يمكن ردآها ٠ فلا بد أن نبحث فى مع الترتيب (وهو مالم نقم به حى
الآن) » كما يجب أن نبحث ف المكونات المنطقية (إن' وجدت) » الى يتركب
ها هذا المبى . وهذ! ما سنفعله فى الباب القادم .
. انظر الباب الثامن والعشرين )١(
2)
الباب الحامس والعشرون
معبى الترتيب
١98 تبينت لنا الآن ااظروف الى يوجد فيها ترتيب بين مجموعة من
الخدود » فحصلنا ذه الطريقة على معرفة استقرائية معينة عن طبيعة الرتيب .
ولكنالم نواجه حى الآن هذا السؤال وهو : ما البرتيب ؟ وهو سؤال صعب لم أيكتب
فيه شى ء على الإطلاق فما أعلم . وجميع المؤلفين الذي ن اطلعت على كتبيم يكتفون
بعرض الكيفية الى يتكون بها الترتيب . ولا كان معظمهم إما يعرض فقط طريقة
واحدة من الطرق الست الى بيناها فى الباب الرابع والعشر ين» من اليسير عليهم
ا حاط بين تكوين الترتيب وطبيعته . وقد تبين لنا هذا الحاط من تعدد الطرق السابقة )
إذ من الواضح أننا نعى بالترتيب شيئا معينا تماماً » ويب أن يكون من حيث إنه
ل سر ا اا
يتكون ومتميزا عنبا كلهاء اللهم إلا إذا كانت إحدى هذه الطرق هى الرئيسية وأن
الأخرى ترد إليها . والهمدف من هذا الباب توضيح هذا العخصر المشترك قى جميع
المتسلسلات مع عرض الحجج المنطقية المنصلة به . وهذه المناقشة ذات أهمية.
فلسفية خالصة + ويمكن ا |
ري ل
انفراد شرعنا بعد ذلك فى الجمع بينهما ؛ والنظر فى ذلك الأمر المشترك بينهما .
وسأبدأ الحديث عن « بين » لأنها أسمل الفكرتين .
5 ( بين » تتميز ( كما رأينا فى الباب الرابع والعشرين ) بأمها علاقة حد
صه مع ول » علاقة' ما ليست للحد صء مع سه » ولا للحد ط مع صء » ولا للحد
طّ مع س١١) '
00
)١( الشرط القائل بأن ط ليس له مع س العلاقة المذكورة شرط غير جوهرى نسبياً ٠ من جهة أئنا
148 1
19
وهذه الشروط لا شلك أنها « كافية » للبينية : أما أنمها ٠ ضرورية » فوضع
نظر . ولا بد لنا من المييز بين عدة آراء محتملة فى هذا الصدد . )١( فقد نذهمب
إلى أن الشروط المذكورة تعطى معنى « بين » بالذات . وأنها تكون التحليل الفعلى
له لا أنها مجرد مجموعة شروط تحقق وجوده )١(. وقد نذه ب إلى أن « بين » ليست
علاقة الحدود س. , ص, . ط أصلا . بل هى علاقة العلاقة من ص إلى سمه »
ومن صء إلى ط . أىعلاقة اخختلاف اللحهة .( 8 ) وقد نذهب إلى أن ( بين» فكرة
لا يمكن تعريفها مثل ١ أكبر » و« أصغر » . وأن الشروط السابقة تبيح لنا استنتاج
أن ص, بين س. » ط » ولكن بمكن أن تكون هناك ظروف أخرى تحصل فيها البينية »
بل قد تحصل دون أن تتطلب وجود أى علاقة سوى التعدد بين الأزواج
(سةء صة) . (صةء: ط): رد ء ط) . ولكى نفصل فى أمر هذه
النظريات بحسن بنا أن نبحث كلا منها على حدة .
: فى هذه النظرية نعرف قولنا و صء بين سه ء ط © بأنه يعى )١( - ١99
» هناك علاقة ع بحيث تكون س. ع ص, » ص, ع ط ولكن ليس صء ع سه «
ط ع صم ؛ . أما هل نضيف إلى ذلك « ليس ط ع سه » وضع نظر. وسنفترض
بادئ الأمر أن هذه الإضافة لم تحدث . وينشأ عن ذلك أن القضايا الآتية نسلم
: عموماً بأنها واضحة بذاتها
)١( إذا كان ص, بين س. . ط : وكان ط بين ص : و » إذن صه بين
ص ) 5 .
(ت)إذا كان ص بين سء . ط ٠ وكان و بين سه » صء » إذن صه بين
وء ط . ومن باب الاختصار دعنا نتفق على أن نرمز للعبارة « صم بين سه » ط »
بالزمز س. صء ط ٠. وبذلك يمكن كتابة القضيتين السابقتين هكذا :
ش )١( س ص ط ؛) صضرط و تستلزمان سن ض و ء. (ن ) سن صل طء
س و ص, تستلزمان و ص ط .
إنما نحتاج إليه فى حالة ما إذا كان فق ين من انق 41 يكن انين عو 1 امن © أرباط بين
3 ص ء» فإذا شئنا أن تسمح بأن يكون كل حد مها بين الحدين الآخرين ؟الحال مثلا فى زوايا
ال مثلث » فيمكن حذف الشرط المذكور يتات . أما الشروط الأريمة الأخرى فيظهر على المكس أ
أكثر جوهرية . ش
"٠
ويجب أن نقيت أن العلاقة « بين » مماثلة فها يختص بالطرفين » أى أن
سء صء ط تستلزم ط صوسه . وهذا الشرط ينتج مباشرة من تعر يفنا . وما نجدر
ملاحظته بالنسبة للبديتين(١)؛ ( س) أن « بين» من الوجهة الراهنة للنظر تكون
بأننا إنما نفترض صعة البديهتين عندما تكون العلاقة ٠» دائما مضافة لعلاقة ما ع
بعينها هى القائمة فى كلا المقدمتين . ولننظر الآن فى هاتين البديبيتين أهما نتيجتان
لتعريفنا أو لا . وسنصطلح على كتابة ع بدلا" من لا ع .
سء ص ط تعى س ع ص . صا ع طاء ص ع سه » ط لح ص
صرط و تعى ص عط .» طع وء. طح ص.. وعغط.
وهكذا نجد أن صء ط و إنما تضيف إلى سء صء ط الشرطين وهما ط ع و »
وع ط . فإذا كانت ع متعدية حقق الشرطان سء صء و ء وإذالم تكن ع كذلك
فلا . وقد رأينا كيف يمكن أن تتولد بعض” المتسلسلات من علاقات واحد بواحد
ع ليست متعدية : ومع ذلك فى مثل هذه الحالات إذا رمزنا بالرمز ع" للعلاقة
بين سه ؛ ط الى تلزم عن سء ع صء » صء ع ط » وهكذا للقوى الأعلى »
أمكننا أن نستبدل بالعلاقة ع علاقة متعدية ع » حيث تدل ٠ع على قوة ما موجبة
للعلاقة ع » . وبهذه الطريقة إذا حصت سء ص, ط على علاقة هى قوةٍ ما معينة
لعلاقة ع » إذن سه صء ط تصح للعلاقة ع بشرط ألا تكون أى قوة موجبة
للعلاقة ع مكافئة للعلاقة 2 : إذ" فى هذه الحالة الآخيرة لا بد أن نحصل على
صرعصء كلما كان عندنا س:عصء . ولا يمكن وضع ع بدلامن ع فى نفسير
س صء ط . ولكن هذا الشرط مرا كوم اح اذ كو يز بي
اع ء يكاف' الشرط القائل بأن متسلسلتنا لا يحب أن تكون مقفلة . لأنه إذا
كانت ع - عه »إذذع ع - عمها . .١ ولكن ن ما دامت ع علاقة واحد بواحد »
فإن ع ع يستلزم علاقة التطابق . وبذلك فإن 2+ ١ من الحطوات تعود بنا من
س. إلى س مرة ثانية ٠ وتكون متسلسلتنا مقفلة » وعدد حدودها هو 2 + ١ . ولقد
سبق أن اتفقنا على أن « بين » لا تنطبق تماماً على المتسلسلات المقفلة » ومن هنا
كان هذا الشرط ء وهو ألا تكون ع ال ليا
من القيود سوى ما نتوقع أن تكون خاضعة لا .
"١
أما بالنسبة لابديبية (س ) فيحصل عندنا :
سن صء و[ >< سا ع صء . صرء عوط .له ع سه ٠. ط جح مره
س و ص ع اس غ و . و ع صة . واع سس س ص جح و
والحالة الى تشير إليها هذه البديبية إنما تكون ممكنة إذا لم تكن ع علاقة واحد
بواحد » ما دمنا نحصل على سه ع صء: س ع و . واستنتاج و صه ط هو ههنا
نتيجة مباشرة للتعريف دون الحاجة إلى أى شروط إضافية .
أن ليختت هل يمكن الأنتعياء عن تقرط لاغ ماف اتعريت :لابين +
فإذا فرضنا أن ع علاقة واحد بواحد . وأن ط ع سه متحققة » حصلنا على
سء ص, ط - سء ع صء . صء ع ط . ط ع صء . صء ع سه وعندنا كذلك
وع سه فرضا » فها دامت ع علاقة واحد بواحد . وما دامت سه ع صء » فإن
سء ع ط . ومن ههنا نحصل بمقتضى التعريف على صء ط سه » وبالمال نحصل
على طاسء صء . فإذا تمسكنا بالبديبية )١( حصلنا على سء ط س.ء . وهو محال .
إذلا شك أن جزءاً من معنى « بين » هو أن الحدود الثلاثة فى العلاقة لا بد أن
تكون مختلفة » ومن انال وجود حد بين سء : سه . وبذلك إما أن ندخل الشرط
وهو ط ع سه » وإما أن نضع الشرط الحديد فى التعريف وهو أن سه » ط ء
لا بد أن يكونا مختلفين . ( وينبغى ملاحظة أن تعريفنا يستلزم أن سء مختلف عن
ص ء وأن صء مختلف عن ط . وإذا لم يكن الأمر كذلك لكانت سء ع صم
تستدعى ص, ع س. . وكذلك صء ع ط تستدعى ط ع صم) . وقد يبدو من
الأفضل إدخال الشرط القائل بأن س. : ط متافان . لأآن هذا على أى حال
ضرورى » وليس لازماً عن ط ع سه . يحب إذن إضافة هذا الشرط إلى البديهية
)١( » وهو أن سء ص, ط . صء ط و تستلزمان سه صء و إلا إذا كان سه : و
متطابقين . وليست هذه الإضافة ضرورية ق البدمهية ( س) : ما دامت متضمنة
فى المقدمات. وإذن ليس شرط ط ع سه ضروريًا إذا شئنا أن نسلم بأن سء ص ط
تتفق مع صء ط و - ومثال زوايا المثلث تجعل هذا التسلم مكنا . وقد نضع بدلا
من ط ع سه الشرط الذى سبق أن وجدنا أنه لازم للصحة العامة البديبية )١( وهو
ألا تكون أى قوة للعلاقة ع مكافئة لعكس ع . لأنه لو صصت سن ص, طاء
"1
صء مز سه مآ فسنحصل ( على الأقل بالنسبة إلى سهء صء ء ل ) على غ5 -
غ ؛ أى إذا كانت س ع صء ء ص عمل إذن مل ع سه . ويبدو أن هذا السبيل
الأخير هو الأفضل . وإذن فى جميع الحالات الى أول ما تعرف فيها « بين »
بعلاقة واحد بواحد ع» نستبدل بها علاقة ع الى تدل على ١ قوة موجبة ما لعلاقة
ع » . عندئذ تكون علاقة ع متعدية . ويكون الشرط القائل بأنه لا قوة موجبة
لعلاقة ع مكافئة لعكسها أى ع : مكافتاً للشرط بأن ع لامعائلة . وأخيراً كن
تبسيط الموضوع كله فها يل :
القول بأن ص, بين سء : ط يكافئ القول بوجود علاقة ما متعدية لا ممائلة
تعلق كلا من سه » صء وتعلق ى؛ ول .
وهذه العبارة البسيطة الموجزة كما يتبين من المناقشة الطويلة السابقة ليست أكثر
ولا أقل من تعر يفنا الأصلى : مع التعديلات الى وجدنا تدر يجيا أنها لازمة . ومع
ذلك يبى هذا السؤال : هل هذا هو معبى «١ بين ») ؟ .
8 - لو أجزنا هذه العبارة « ع علاقة ” بين “ سء . صم » ليرتب عليها
فوراً حالة نى . فالعبارة كما بلاحظ القارىء قد استبعدت بصعوبة من تعر يفات
وبين » » لأن إدخافا فى التعريف يجعله على الأقل لفظيا يدور ق حلقة مفرغة .
وربما لا بكون لهذه العبارة سوى أهمية لغوية أو عسى أنها تشير إلى نقص حقيقى
فى التعريف المذكور . ولنشرع فى فحص علاقة العلاقة ع مع حديها سء؛ ص .
أول كل شىء لا نزاع فى وجود مثل هذه العلاقة . فأن' يكون هناك حد له العلاقة
ع مع حد آخر ما : فلا شك أن له علاقة مع ع : وهى علاقة يمكن التعبير عا
بأنها « تنتمى لميدان ع » . فإذا قلنا س ع ص, ء كانت سه منتمية لميدان ع »
ص يدان غ . فإذا رمزنا هذه العلاقة بيس عع ؛ أو بين صىء ع بالرمز 8 »
حصلنا على س م ع : ص, 8 خ . وإذا رمزنا بعد ذلك لعلاقة ع بالعلاقة جٌ
بالرمز 1 » حصلنا على رع وع 1 ت. وإذن نحصل على سمه 8 غ »
ص18 ع. ولكن لما كانت 81 ليست بأى حال عكس م » فلا ينطبق تعريف
و بين » المذكورء إذا عوّلنا على هذا السبب فقط . ولا كذلك, 8 أو 1 8 متعدية .
وإذن فتعريفنا لعلاقة « بين » لا ينطبق بالمرة فى مثل هذه الحالة . وربما يساورنا
رف
الشك فى أمر « بين » ألا فى هذه ا حالة أصلا نفس المعنى الذى لما فى الأحوال
الأخرى . ولا ريب أننا لا نحصل ببذه الطريقة على متسلسلات : لأن سء » صء
لا يقعان فى نفس الحهة مثل ع بين ع والحدود الأخرى . وعلاوة على ذلك لو سلمنا
بعلاقات حد مع نفسه » لسلمنا بأن مثل هذه العلاقات هى « بين » حد ونفسه )
وهو ما اتفقنا على استحالته . ومن “ثم قد ميل إلى اعتبار استخدام « بين » فى هذه
الحالة عرضاً لغويًا برجع إلى أن العلاقة تذكر عادة بين الموضوع وا محمول » "كا نقول
«|هو والدب » . ومن جهة أخرى قد يقال إن العلاقة لما بالفعل علاقة خاصة
مع الحدين اللذين تقوم بينهما » وأن « بين » لا بد أن ندل على علاقة حد واحد
مع حدين آخرين . ونقول فى ارد على الاعتّراض بأن علاقات حد مع نفسه أن مثل
هذه العلاقات تكون فى أى نظام صعوبة منطقية خطيرة » وأنه يحسن إن أمكن
إنكار صما الفلسفية» وأنه حنى حيث تكون العلاقة القائمةهى التطابق » فلا بدمن وجود
حدين متطابقين » فهما إذن غير متطابقين تماماً . ولا كانت هذه المسألة تثير
صعوبة” جوهرية لا نستطيع مناقشتها ههنا » فقد بحسن أن تمر بالحواب مر
الكرام 2١١ . وربما يقال بعد ذلك إن استخدام نفس اللفظ فى مقامين مختلفين يدل
دائما على وجه ما من الشبه يجب أن يحدد مداه كل من ينكر أن المعى فى الحالين
واحد » وأن وجه الشبه ههنا لا ريب أنه أعمق من مجرد ترتيب ألفاظ فى جملة »
وهو على كل حال شبه أكثر تغيراً فى هذا الصدد من العبارة القائلة بأن العلاقة هى
بين حديها . وردنا على هذه الملاحظات أن المعترض نفسه قد بين وجه الشبه تماماً
من أن علاقة العلاقة بحديها هى علاقة حد واحد بحدين آخرين » كالحال فى علاقة
« بين » » وهذا هو الذى يجعل ا حالتين متشابهتين . وهذا الرد الأخير صحيح فى
نظرى ٠ ويمكن أن نسمح بأن علاقة العلاقة بديها مع أنها تنطوى على مشكلة
منطقية هامة » إلا أنها ليست نفس علاقة « بين » الى عليها يقوم البرتيب .
ومع ذلك فتعريف « بين » المذكور على الرغم من أننا سنضطر فق آخر الأمر
إلى قبوله ٠ بكاد يبدو لاول وهلة ناقصًا من وجهة نظر فلسفية » لآن الإشارة إلى
علاقة لامهائلة « ما » إشارة مبهمة » يظهر أنها تحتاج إلى استبدالها بعبارة أخرى
(1) انظر الفقرة 0
”3
لا تظهر فيها هذه العلاقة غير المعينة » وإتما تظهر فيها الحدود والبينية فقط . وهذا _
يفضى بنا إلى البحث ف الرأى الثانى عن « بين » . ٠
4 -(؟) قد يقال إن « بين » ليست علاقة ثلاثة حدود بالمرة بل علاقة
حدين هما اختلاف الحهة . فإذا اصطنعنا هذه الوجهة من النظر » فأول ما يجب
ملاحظته » أننا نفتقر إلى العلاقتين المتقابلتين » لا بصفة عامة فقط . بل
بالتخصيص من حيث انَْاهما إلى حد واحد بالذات . وهذا المييز مألوف لدينا .
من قبل عندما بحثنا حالة المقادير والكميات . ثم إن « قبل » و « بعد» مأخوذين
حردين لا يكونان « بين » » وإنما ينشأ « بين » حين يكون حد واحد بعينه هو
قبل وبعد فى آن واحد » وعندئذ يكون هذا الحد بين ما هو قبله وما هو بعده .
ومن ثم كانت هناك صعوبة فى رد « بين » إلى اختلاف اللحهة . والعلاقة المتخصصة
شىء محير منطقيا » وقد رأينا فى الحزء الأول ( بند هه ) أنه من الضرورى إنكارها »
وليس من السهل تماماً القييز بين علاقة ذات صلة بعلاقتين ومتخصصة بانماثما
لنفس الحد » وبين علاقة الحد المذكور مع حدين آخخرين . وف الوقت نفسه
هناك مزايا عظيمة يحققها رد « بين » إلى اختلاف الحهة » إذ' نتخلص من ضرورة
الالتجاء إلى علاقة مثلثة ربما يعترض عليها كثير من الفلاسفة » ونعين عنصراً
مشتركا فى جميع الحالات الى تقوم فيها « بين » ؛ وهى اختلاف اللجهة » أى
الاختلاف بين علاقة لا مهائلة وعكسها .
والسؤال عن العلاقة المثلثة أيمكن أن توجد على الإطلاق ؛ سؤال
حله بالفعل صعب وغير مهم فى آن واحد : ولكن صياغته بدقة فى غاية الأهمية .
ويلوح أن الفلاسفة يذهبون عادة” - ولو أن ذلك ليس بصراحة فها أعلم إلى أن
العلاقات ليس فا أبدأ أكثر من حدين ٠ بل إن مثل هذه العلاقات يردونها بالقوة
أو بالحيلة إلى امحمولات . أما الرياضيون فيكادون يجمعون على الكلام عن علاقات
متعددة الحدود . ومع ذلك فلا يمكن أن نحل المسألة بمجرد الرجوع لأمثلة رياضية ؛
لأننا نرجع بالسؤال على هذه الأمثلة أتقبل التحليل أو لا تقبله . ولنفرض مثلا أننا
عرفنا مستوى الإسقاط بأنه علاقة بين ثلاث نقط . فأكبر الظن أن الفيلسوف
سيقول دائما كان ينبغى تعريف هذا المستوى كعلاقة بين نقطة وخط » أو كعلاقة
36>
بين خطين متقاطعين - وهو تغيير لا يحدث إلا فرقاً قليلا من الناحية الرياضية
أو لا يحدث فرقا بامرة . ولننظر الآن فى معبى السؤال بالضبط . فنقول : من بين
الحدود يوجد نوعان يختلفان اختلافا جوهريناء وعلى أساس هذا الاختلاف تقوم
حقيقة مذهب الذات والصفات . فهناك حدود لا يمكن أن تقع إلا حدوداً » مثل :
النقط » اللحظات ٠ الألوان . الأصوات , أجزاء المادة » وبوجه عام الحدود من
النوع الذى تتكون منه الموجودات . ومن ناحية أخرى هناك حدود يمكن أن تقع
على نحو آخر غير الحدود : مثل : الوجود : الصفات عموماً . والعلاقات . وقد
اتفقنا على تسمية هذه الحدود تصورات وئمءءمه0 2١١ . وورود التصورات
لا على أنها حدود هو ما ييز القضايا عن مجرد التصورات ؛ وف كل قضية يوجد
على الأقل تصور واحد أكثر ما فيها من حدود . أما النظرية التقليدية البى يمكن
تسميتها نظرية الموضوع وا محمول - فإنها ذهب إلى أن كل قضية فيها حد واحد
هو الموضوع ؛ وتصور واحد ليس حدً! هو النحمول . ويجب اطراح هذه الوجهة
من النظر لأسباب كثيرة!"2 .
وأيسر اختلاف عن الرأى التقليدى يقع فى تسايمنا بأنه حيث لا تقبل القضايا
أن ترد إلى صورة الموضوع وامحمول فهناك دائما حدان فقط » وتصور واحد ليس
حد | . ( قد يكون الحدان بالطبع مركبين: وقد يشتمل كل مهما على تصورات
ليست حدوداً) . ومن هنا تنشأ الفكرة القائلة بأن العلاقات تقوم دائماً بين حدين
فقط » إذ يمكن تعريف العلاقة بأنها تصور يقع فى قضية تشتمل على أكثر من
حد واحد . ولكننا لا نجد سببا « أوليا » لقصر العلاقات على حدين ٠» وهناك
حالات تؤدى إلى ما يخالف ذلك . فأولا حين نحكم بتصور عدد على مجموعة .
وكانت الجموعة مركبة من ي من الحدود : فهناك 2 من الحدود » وتصور واحد
فقط ( وهو 2) ليس حدا . وثانيا أن العلاقات ال بى هى من قبيل الموجود الذى
يبعد عن زمان ومكان وجوده إنما يمكن أن ترد بطريقة مشوشة إلى علاقات مع
حدين”"' . فإذا ذهبنا إلى أن هذا الزد أسامى. ٠. فند و أله وانما مكن. :ضوريًا
)١( انظر الحزء الأول الباب ا
ا 53
(؟) انظر للمؤلفت . 810 ,11 .مقط .هنوت يعولل عطصيهن يعتصطئع,آ كه ببطممومائاط عط
(؟) انظر اهزه السابع الباب الرابع والحمسين .
ف
بتأليف جزء من القضية فى حد واحد مركب ؛ ثم تقرير علاقة ببن هذا الحزء وبين.,
باق القضية الذى يمكن كذلك أن برد إلى حد واحد . وقد تكون هناك حالاات
لا مكن فيها إجراء ذلك » ولكنى لم أصادف مئل هذه الحالات . أما أن مثل هذا
الرد الصورى مما يحب إجراؤه دائما » فسألة فيا أعلم ليست بذات أهمية عملية أو
نظرية كبيرة .
٠0١ من كل ذلك نرى أنه ليس ثمة سبب « أولى » صعيح برجح تحليل
وبين » إلى علاقة تربط بين علاقتين » إلا إذا رأينا أن العلاقة امثلثة أفضل . وهذا
السبب الآخر فى ترجيح كفة تحليل « بين » هو الأه . إذ ما دامت « بين )
علاقة مثلثة بين الحدود » فلا بد أن تؤحذ إما على أنها لا تتُعَرّفء وإما على أمها
ذات صلة بعلاقة ما متعدية لا منائلة . غير أننا إذا جعلنا « بين » تقوم أساساً على
تقابل علاقتين ينتميان لحد واحد» فنسى أن يزول أى أثر للإبهام . قد يقال ق.
الاعتراض على هذه الوجهة من النظر إنه لاسبب يظهر الآن لم وجب أن تكون
العلاقات المذكورة متعدية » وأن نفس معنى « بين » - وهذا هو الأهم - يتضمن |
الحدود ؛ لأن الترتيب حاصل لها هى لا لعلاقاتها . ولو أن العلاقات كانت هى
وحدها الى لا مدخل فى الأمر » فلم يكن من الضرورى كما هو الواقع أن
نخصها بذكر الحدود الى تقوم بيئها . جملة القول ينبغى أن نتخلى عن الرأى القائل
بأن « بين » ليست علاقة مثلثة .
”.« (#) . ونتناول الآن بالبحث النظرية القائلة بأن « بين » علاقة أولية.
لا تقبل التعريف . يما يعزز هذه الوجهة من النظر أننا فى جميع طرقنا لتوليد
لمنسلسلات المفتوحة نستطيع أن نتبين نشوء حالات من البينية » ونستطيع اخقبار
التعاريف المقترحة . وربما ظهر من هذا أن التعاريف المقترحة كانت مجرد شروط
تتضمن علاقات وبين » ول تكن تعاريف صعيحة هذه العلاقة . وسؤالنا : هل مثل
هذه الشروط أو تلك تضمن لنا وقوع صء بين س ء ط ؟ سؤال نستطيع دائها
الإجابة عنه بغير رجوع ( على الأقل عن شعور ) إلى أى تعريف سابق . وما بؤيه
أن طبيعة ( بين » لا تقبل التحليل هو أن العلاقة ممائلة بالنسبة للطرفين » ولم تكن
1"
الحال كذلك بالنسبة لعلاقات الأزواج ابى استنتجنا منها « بين » . بيد أن هناك
عقبة كأداء فى سبيل هذه الوجهة من النظر » ذلك أن لمجموعات الحدود تراتيب كثيرة
مختلفة قد نجد فى ترتيب مها أن صء بين سه » ط ٠ وق ترتيب آخر ممه بين صه »
ط "١١ وهذا يبين فها يظهر أن « بين » أساساً تتطلب صلة بالعلاقات الى استنة.جت
منها » وإلا فعلينا على الأقل أن نسلم بأنهذه العلاقات داخلة فى تكوين المتسلسلات
لأن المتسلسلات تتطلب حا أن تكون هناك على الأكثر علاقة واحدة للبينية بين
ثلاثة حدود . ودن أجل ذلك لا بد لنا فى الظاهر أن نقبل أن « بين » ليست المصدر
الوحيد للمتسلسلات ء بل يحب أن نلحقها بذكر علاقة مما متعدية لا مهائلة عنها
اتنشأ البينية . وكل ما يمكن قوله هو أن هذه العلاقة المتعدية اللامهائلة بين حدين
ربما تكون نفسها تابعة” منطقينًا لعلاقة ما ثلائية الحدود ومشتقة منها : كتلك الى
بحثناها فى الباب الرابع والعشرين عند ذكر الطريقة الرابعة ى تكوين المتسلسلات .
فعندما تحقق مثل هذه العلاقات البدمبيات المذ كورة سابقا » فإنا تؤدى بذاهها
إلى علاقات تقوم بين أزواج الحدود . لأننا قد نقول إن ب تسبق ح حين تستلزم
إ<؛ ناحوء لبأنن تتبعح حين تستازم انف ءءء حيث|ء و
حدان ثابتان . ومع أن مثل هذه العلاقات إنما هى مشتقة فقط » إلا أنه بفضلها
نقع ١ بين » فى مثل هذه الأحوال . و يبدو أننا مضطرون آخر الأمر لإغفال الإشارة
إلى العلاقة اللامهاثلة ى تعر يفنا : فنقول
يقع الحد صء بين الحدين سه : ط بالنسبة إلى علاقة متعدية لا مماثلة ع
حين تكون سء ع ص, . ص, ع ط . ولا بمكن القول إن صء تقع حقنًا فى أى حالة
أخرى بين سه ؛ ط . وهذا التعريف لا يعطينا مجرد معيار بل يعطينا معنى البينية
ذاتها .
ولك - وعلينا أن ننظر بعد ذلك معبى بى انفصالالآز واج .وءاصنامء كه هناد مدمعة
وهى علاقة أكثر تعقيداً من علاقة « بين » ٠ ولم “بلتفت إليها قليلا حى أبرزت
١) )قله اطالة ترفيغها: الأغداد المنطقة ااتى مكن أن تؤخذ بترتيب المقدار أو فى ترتيب من
التراتِيب مثا العرتيب المنطو الم تحوك قا غس معدودة . والعرة بن مذ 3 لمم 5 الم عرق 6
0 و م 0 0
هذا السر: راع ليع 5ل 5 2 4؛....
1 وس
ل
الهندسة” الناقصية أهميتها. فقد بين فابلاتى ١! أن هذه العلاقة تتطلب داتماء مثل ,
علاقة « بين 0». علاقة متعدية لامماثلة بين حدين . غير أن هذه العلاقة الحاصة ”
بزوج من الحدود ذا ذانها صلة بثلاثة حدود ثابتة أخرى من المجموعة » كالحال
5200 رأنا أنها متصلة بحدين ثابتين . كذلك من الواضح أنه حيما وجدت
علاقة متعدية لا مهائلة تعلق كل زوج من من الحدود فى مجموعة لا تقل عن أربعة
حدود » وجدت عندئل أزواج من الأزواج لها علاقة الانفصال سمندمدمء: .
ويذلك يكون ؛ فى استطاعتنا التعبير عن الانفصال ا فعلنا ى « بين » بواسطة
علاقات متعدية لا مهاثلة مع حدودها . ولنشرع الآن أولا ؛ ذ عت تعن الأنقصال .
يمكن أن ندل على أن | » ح منفصلتان بواسطة ب ٠ 0
فإذا كانت[ ب ء حء وه أىخسة دود فى ا مجموعة احتجنا إلى أن تكون
ا حواص الآنية قائمة بالنسبة لعلاقة الانفصال ( ويلاحظ أن الآخيرة مها فقط هى
الى تحتوى على خمسة حدود) .
(١)إناحجح:و<ب [|أوحجح 3 ل
(؟١)انا ىو |وحب
(“1)أآنس ع و تستبعد أاح ب د 2 4
(5) يجب أن تحصل على ات ح وأو ردت أواوهوب
(ه)اب حوء|حوه معاً ستلزمان اب وه" ,
ويمكن توضيح هذه الحخواص بوضع خس نقط على محيط دائرة » كما هو 0
موضح بالشكل . وأى علاقة بين ) زوجين ٠ من الحدود ها هذه الحواص سنسميها
علاقة الانفصال بين الزوجين . وسيتبين أن هذه العلاقة معاثلة ولكما لسنبت عل
العموم متعدية .
٠ 3 - حيما وجدت علاقة متعدية لا ممائلة ع بين أى حدين مجموعة
لا تقل عر ن أربعة دود ؛ نشأت بالضرورة علاقة الانفصال . فى أى متسلسلة
إذا كان لأربعة ا دود هذا الرتيب وهو|ا ب ح وى . كانت . عتسكة
بواسطة ب » و . وقد رأينا أن كل علاقة متعدية لامهائلة تولد متسلسلة” بشرط
)1١ -مع0 ملاعل تتمعصعط 1 تعلط معلوعمك -- 8ج - و7 .مم ,لا .معتأهصطع 812 أل عامتدلع
.7 8 .8و18 ,ملعب" رعمماعتدمم أل وتعاعمر
0 هذه الخواص !الحمس مأخوذة عن قايلاق 3 انظر المرجم السابق ص 8#
الى
وجود حالتين متعاقبتين على الأقل من ن العلاقة المذكورة . وق هذه الحالة يكون
الانفصال مجرد امتداد لعلاقة « بين » . فإذا كانت ع علاقة متعدية لا مهاثلة »
. وكانذاع ب .نا ع ح » ح ع وء إذن | . ح متفصلان بواسطة ن © و.
فوجود مثل هذه العلاقة شرط كاف للانفصال .
وهى أيضا شرط ضرورى . ولتفرض أن هناك علاقة انفصال ٠ ولنفرض 1 »
ب » ح ء وء هر خمسة حدود من المجموعة الى تنطبق العلاقة عليها . فإذا اعتبرنا
أءب » ح ثوابت» واعتبرنا و » هر متغير ين» أمكن أن تتولد اثنتا عشرة حالة .
0 الأساسية الحمسة المذكورة سابقا يمكننا إدخال الرمزا ب ح وهر
ليدل على أنه إذا حذفنا حرفاً من هذه الحمسة كان للأربعة الباقية علاقة الانفصال
المبينة بالرمز الناتج . وهكذا من الخاصية الخامسة نجد أن اب ح و» اح وهر
تستلزمان | ب حر وهر ''' . وهكذا تنشأ الوالات الاثنتا عشرة من تبديل و » هر
مع إبقاء | » ب ء ح ثوابت . ( من الملاحظ أن ظهور حرف فى الهاية أو البداية
لايحدث أى فرق . مثال ذلك أن ]ب ح وهر هى عين الحالة البى تكون فيها
هر | ب ح ء . وبذلك يمكننا أن نقررعدم وضع ء أوه قبل |). من هذه الحالات
الاثننى عشرة نجد أن ستا فيها ه قبل هر ء وستا فيها هر قبل , . وفى الحالات الست
الأول نقول إن و تسبق هر بالنسبة لجهة | ب ح. وف ال حالات الأخرى نقول إن هر
تسبق , . ولكى نبحث فى حالات محدودة ستقول إن | تسبق كل حد آخر . وأزذب
تسبق ح'"! . سنجد إذن أن علاقة السبق لا متائلة متعدية » وأن كل زوج من
الحدود فى مجموعتنا فهو بحيث يسبق أحدها ويتبعه الآخر . وبهذه الطريقة تختزل
علاقة الانفصال من الناحية الصورية على الآة| ل إلى ما اجتمع من ( | يسبق ب »
23نبه) يسبق حم) ) وح سبق 5و).
هذا الاختزال 00 المذكور ر عظم الأهمية لأسباب كثيرة 1
أولا بين أن الأبيز بين المتسلسلات المفتوحة والمقفلة سطحى بعض الثبى ء 0
,0 ع( الرهان عل ذلك ا بعص الثىء واذلك اضرق عنه النظر ؛ وهو موحود علد قابلاقى
وافرجم السابق .
(١ ) انظر ا مرجع السابق .52 .م ,نط
ا
المسلسلة ولو أنها قد تكون فى أول الأمر من النوع المسمى مقفلا ٠ فإما تصبح,
بعد إدخال العلاقة المتعدية المذكورة مفتوحة » ويكون | بدايتها ولكن عسى ألا يكون
ها حد أخبر ولا ترجع من أى جهة إلى | . وهو ثانيا بالغ الأهمية فى الهندسة » لأنه
يوضح كيف ينشأ الترتيب على اللدط المستقم الناقصى بخواص إسقاطية بحتة وذلك
بطريقة أكثر إرضاء من طريقة ذتاوت 1١7 عسو . وهو أخيراً عظم الأهمية
من جهة أنه يوحد بين مصدرى الرتيب © وا ١ بين » والانفصال ٠ لأنه يبين أن
العلاقات المتعدية اللاممائلة تكون موجودة دائما حيث تحصل أيبما » وأن أى واحدة
يها تارم الأخرى . ذلك أنه بواسطة علاقة السبق بمكن لنا أن نقول إن حداً
واحداً بين حدين آخرين : مع أننا بدأنا فتقط من انفصال الأزواج .
٠6 وف الوقت نفسه لا يمكن أن تعتبر هذا الاختزال أكثر من إجراء
صورى ( ويبدو كزيك أن هذه الحال باانسبة للاختزال المناظر له ى حالة
« بين )1١ أى أن المحدود الثلاثة | . ب . ح جوهرية” للتعريف ولا بمكن حذفها ؛
لأنها هى الى بالعلاقة معها أمكن تعر يف علاقتنا المتعدية اللاممائلة . وليس فى
هذا الاختزال من سبب لاففراض وجود أى علاقة متعدية لا مماثلة مستقلة عن
( جميع ) الحدود الأخرى غير تلك المتعلقة بها على الرغم من أن اختيار هذه
الحدود الأخرى هو اختيار تحكمى . وما يوضح هذه الحقيقة أن الحد | الذى
لا بمتاز يخاصية جوهرية يظهر كأول المتسلسلة . وحيما توجد علاقات متعدية
لا متائلة مستقلة عن كل صلة خارجية » فلا يمكن أن يكون للمتسلسلة طرف
أول تحكمى » علما بأنها ربما لا يكون لها طرف أول بناتا . وبذلك نب العلاقة
الرباعية الحدودللانفصال سابقة منطقيا على العلاقة الثنائية الحدينالناتجة» ولا يمكن
تحليل الأولى إلى الأخيرة .
06 - ولكن ليس قولنا إن الاختزال صورى أنه لا مدخل له ق توليد
الترتيب » على العكس إمكان هذا الاختزال كان سبيا فى جعلالعلاقة الرباعية الحدود
تؤدى إلى الترتيب . والعلاقة المتعدية اللامماثلة الناجمة هى فى الواقع علاقة بين
)١( تتضح مزايا هذه الطريقة ى كتاب بيرى المذكور سابقاً ».حيث أمكن بالدقة استنتاج
كثير من الأشياء الى كان يظهر أنها لا تخضع للبرهان الإسقاطى من مقدمات إسقاطية .انظر اهز
السادس الباب الخامس والأربعين .
فل
خمسة <دود » ولكن حين يحتفظ بثلاثة منها ثابتة » فإنها تصبح بالنسبة للحدين
الآخرين علاقة لامتائلة ومتعدية . وهكذا مع أن « بين » تنطبق على مثل هذه
المتسلسلات » ومع أن جوهر الترتيب يقوم هنا وق أى مكان آخر على أن <دا
واحدا له مع حدين آخرين علاقات عكسية لامئائلة ومتعدية » إلا أن مثل هذا
الُرتيب إنما يمكن أن ينشأ فى مموعة تشتمل على الأقل على خمسة حدود » لأن
هذه العلاقة اللماصة تحتاج إلى خ+سة <دود . وينبغى أن نلاحظ أن ( جميع )
المتسلسلات حين نفسرها على هذا النحو فهى متسلسلات مفتوحة بمعبى وجود
علاقة ما بين أزواج الحدود . وليست أى قوة من قوى هذه العلاقة مساوية لعكسها
أو لعلاقة التطابق .
7٠07 ولنلخص الآن هذه المناقشة الطويلة المعقدة » فنقول : الطرق الست
الى سردناها فى الباب الرابع والعشرين لتوليد المتسلسلات هى جميعا طرق متميزة
تميزا أصليناء ولكن الثانية مها هى وحدها فقط الأساسية » وأما الحمسة الباقية
فتتفق فى أنها يمكن ردها إلى الثانية . فضلا عن أن إمكان ردها إلى الثانية هو وحده
الذى يحعلها تؤدى إلى نشأة الترتيب . وأقل قضية :رتيبية يمكن وضعها كلما كان
هناك ترتيب أصلاء فهو من هذه الصورة : « صم بين سه » ط © . وهذه القضية
تعبى أن ١ هناك علاقة متعدية لامماثلة تقوم بين سه » ص وبين ص ؛ ط ).
وكأن'ق الإمكان كمي هله التيحة السطة جدا| من أول'الأمن + ولكن كان
عليئا أن نبحث فى جميم الحالات الى يظهر أنها استثنائية قبل أن نرسى النتيجة
على قواعد سليمة . -
الباب السادس والعشرون 0
العلاقات اللامائلية
- لقد رأينا أن الترتيب كله يتوقف على العلاقات المتعدية اللاثمائلية ,' ْ
ولاكان مثل هذه العلاقات مما لم يقبل المنطق التقليدى التسلم به ٠ وكانعدم اسلم . ْ
ها أحد المصادر الرئيسية للتناقض الذى وجدته الفلسفة النقدية فى الرياضة » كات: ١
من المستحسن قبل أن مضى فيا نحن بصدده أن ذرتاد روضة المنطق البحتث ِ
ونرسى الأساس الذى يجعل التسلم هذه العلاقات لازما . وبعد ذلك » أى ى الباب ا
امداق واللتكييان ف الل 0 سأحاول الرد على الاعتّراضات العامة للفلاسفة |
عل العلاقات . وكل بها يعنيى فى الوقت الحاضر هو العلاقات اللاتمائلية ٠ 7
ويعكن تقسم العلاقات إلى أربعة فصول من حيث أن لحا إحدى خاصتين » ٠. '
التعدى )١( ا ؛ والعلاقات من مثل س ع صء تستازم دائهاً ص ع سه تسمى ” ْ
”مياثلة “ » والعلاقات الى هى بحيثس. ع صء؛ ص ع مل تستلزم دائما سدع ط
تسمى ”متعدية“ ١ والعلاقات الى ليس تا ااه كرو ماي غير ال 1
والعلاقات اتى ها العلاقة المقابلة » أى الى فيها س. ع صء تستبعد دائماً ص ع سه ١
سأسعيها لاتمائلية . والعلاقات الى ليست لها الحاصية الثانية فأميها غير متعدية .
أما تلك الى ها الحاصية أن س. ع صء . صء ع مل يستبعدان دائماً سناع ط 0
فسأسميها لا متعدية ؛ وجميع هذه | الحالات يمكن توضيحها من العلاقات الإنسانية , '
فالعلاقة أخ أو أخت . متائلة ومتعدية إذا سلمنا بأن الرجل يمكن أن يكون أخ ا
نفسه » 7 المرأة يمكن أن تكون أختاً لنفسها . فالعلاقة « أخ » غير معائلة ولكلها .
متعدية « والأخ غير الشقيق » أو م الأخت غير الشقيقة » علاقة مهائلة ولكنها غير
متعدية» « والزوج ) عوناممظ علاقة مهاثلة ولكنها لا متعدية» والحفيد لا>اثلية ولكنها ,
متعدية » والأخ غير الشقيق للأب (أو للأم) غير مهاثلة وغير متعدية؛ وإذا حرم زواج م :
0 يبدو أن ديمورجان كان أول من اتخدم هذا الاممطلاح بهذا المنى . انظر .اننظ .ده م
46 ار ك1 .ج10 .م ,135 لقصو والاصطلااح ق الوقت الحاضر شائع ف الاستعمال .
7 ؟
0
الطبقة الثالثة ممودنعهد لمن فإنها تكون لامتعدية. وابنالزوج( أو ابن الزوجة )
لتهائلية وغير متعدية » وإذا حرم زواج الطبقة الثانية مهتمهم 4ددمهة فإما
تكون لا متعدية » وأخ الزوج ( أو الزوجة ) غير مهاثلة وغير متعدية . وأخيراً فالأب
لإتمائلية لامتعدية . ومن العلاقات غير المتعدية وغير اللامتعدية توجد إلى حد
علمنا حااة هامة واحدة وهى حالة التعدد بؤزومءبوزل » ممن العلاقات غير
القائلية » ولكنها غير لا تمائلية » توجد أيضاً على ما يبدو حالة هامة واحدة وهى <الة
اللروم ؛ وى الحالات الأخرى الى نصادفها عادة” تكون العلاقات إما متعدية أو
لامتعدية » وتكون متائلة أو لاتمائلية .
7٠ والعلاقات الى هى متعدية وتائلية مع » تكون صورما من طبيعة
التساوى. وأى حد من مجال هذه العلاقة تكون له العلاقة المذكورة مع نفسه » ولو
أنه قد لا نكون له مثل هذه العلاقة مع أى حد آخر . ذلك أننا إذا رمزنا للعلاقة
بغلامة التساوى » وكانت | أى حد من مجال العلاقة » فإنه لا يوجد حد آخر ب
يحيْث يكون | - ب . فإذا كان | » سب متطابقين فإن |- ١ . وإذالم يكونا متطابقين
فا دامت العلاقة تمائلية فإن ب > [ » ولا كانت العلاقة متعدية » وكان | - ب
فإن ف > ! » وينتج منهذا أن" |- | » وقد سمى بيانو خاصة العلاقة الى تضمن
أنها تقوم بين الحد ونفسه الانعكاس ووعده::»28 » وأثبت - على خلاف
ماتكان عليه الاعتقاد قبله أنه لا يمكن استنتاج هذه الحاصة من العاثل والتعدى .
فلك أنه لا واحدة من هاتين الخاصيتين تقرر أنه توجد ب بحيث أن إع-اب
طا من ال ار » وإذا لم توجد هذه الباء »
فلخ إثبات أن ١ - | يهار'" . ومع ذلك فخاصة الانعكاس هذه تؤدى إلى
صعَوْبات »؛ ولا توجد غير علاقة واحدة تصح فا هذه الخاصة دون قيد وهى
ملاقة التطابق . وى جميع الحالات الأخرى تقوم هذه الخاصة فقط بين حدود
ففنل معين . فالتساوى الكمى مثلا” يكون انعكاسيا فقط من حيث كونه ينطبق
على الكميات ؛ أما بالنسبة للحدود الأخرى أن لغط القول أن نقرر أن لها تساوياً
كبا مع نفسها . والتساوى المنطى : كذلك » يكون انعكاسيا فقط ى حالة الفصول
(١ ) انظر مثلا عناوتعمآ عل كصوتاها0] :22 . ع ,1/11 "1 رعناو هصغ طاج4ة عل عع
.ظ ,1901 .لآ و4 .2 ,1894 رصأعناك1" عناوتأهصمعط مقط
0
4"
أو القضايا أو العلاقات . والآنية إنما تكون انعكاسية بالنسبة للأحداث فقط 6س
وعلى ذلك فإننا إذا أعطينا علاقة تماثلية متعدية » غير علاقة التطايق» فلايمكننا.
تقرير الانعكاس إلا بالنسبة لحدود فصل معين . وعن هذا الفصل » فها عدا مبدأ.
التجريد ( الذى ورد ذكره فى الحزء الثالث » الباب الرابع عشر » والذى سيأ
الكلام عنه بالتفصيل عما قليل ) فلا حاجة بنا إلى تعريف ما فيا خخلا امتداد العلاقة
القائلية المتعدية موضوع الكلام . وعندما يكون الفصل معرفا على هذا النحو ».
فالانعكاس دال هذا الفصل ينتج كا رأينا عن التعدى والمائل .
- وباستخدام ما أسميته مبدأ التجريد'! يمكن توضيح فكرة الانعكاس
توضيحاً أفضل إلى حد ما . ولقد عرّف''! بيانو عملية أسماها التعريف بالتجريد »
وأوضح أنها شائعة الاستخدام فى الرياضيات . وببان هذه العملية كما يأنى :
عندما تكون لدينا علاقة متعدية وتمائلية وانعكاسية ( داخل مجاها ) فإذا قامت هذه
العلاقة بين و » ف فإننا نعرف شيئاً جديداً 8 ( و) بحيث تكون مطابقة إلى
(ه) وبذلك نكون قد حللنا العلاقة إلى عينية العلاقة بالنسبة للحد االحديد (و) .
أو 9 (ف) ء ولكى تكون هذه العملية مشروعة كما وضعها بيانو يلزمها بديبية .
وهى البدمبية الى تقول إنه إذا وجدت حالة للعلاقة الى نتكلم عنها » وجدت # ( و)
أوف (ف) »ء وهذه البديبية هى المبدأ الذى أسميه مبدأ التجريد» وهو الذى تجرى '
صياغته على وجه الدقة كما يأق : «١ كل علاقة متعدية مهّائلة يوجد منها على الأقل .
حالة واحدة » يمكن تحليلها إلى علاقة جديدة لحد جديد» والعلاقة الحديدة هى,
بحيث لا يمكن أن توجد هذه العلاقة بين أى حد وبين كر من بحد واحد براك
عكسها ليست له هذه الخاصة » » وهذا المبدأ بالكلام الدارج " يقرر أن العلاقات,
المماثلة المتعدية تنشأ عن خاصة مشتركة » مع إضافة أن هذه الخاصة تقوم بالنسبة
للحدود البى :: تتصف بها » فى علاقة لا مكن لأى شىء آخر أن يقوم بها بالنسية,
لهذه الحدود . وهى بذلك تعطى النص الدقيق للمبدأ الذى كثيراً ما يطبقه الفلاسفة »
9 البديهية المفروض أنها متطابقة مع هذا المبدأ ولكنها ليست مصائة بالدقة الضرورية )١(
مبرهنة » وموجودة عند. 345 .5 ,]3 .أ0/آ .كصةء'1 , انطط .طصدن) ,رصدعءه84 12
0( 45 .2 رعنا ا قصخغط 112 عناوتهومءآ عل كده1 )غ20
وم
زهو أن العلاقات المائلة المتعدية تنشأ من تطابق المضمون . ومع ذلك فتطابق
المضمون عبارة غاية فى الغموض » تعطيها القضية السالفة الذكر » ى الحالة الراهنة »
معبى دقيفاً ولكنه معنى لا يحقق بأىحال الغرض من تلك العبارة» وهو على ما يبدو
رد العلاقات إلى صفات للحدود المتعلقة :
ونستطيع الآن أن نأتى على بيان أوضح لخاصة الانعكاس . ولتكن ع هى
علاقتنا المَاثلة . ولتكن ع هى العلاقة اللامعاثلة الى يجب أن نقوم بين حدين من
الحدود ذات العلاقة ع وبين حد ثالث ما . فتكون القضية سء ع ص”مكافئة إلى
« يوجد حد ما | بحيث أن س. ع | » صء ع | » وينتج عن هذا أنه إذا كان سه
تابعة لما أسميناه ميدان ع أى أنه إذا كان هناك أى حد بحيث أن س ع | » فإن
سءعس » ذلك أن س, ع س ما هى إلاس ع [» سمع| . ولاينتجعن هذا بطبيعة
الحال أنه يوجد حد آخر صء بحيث يكون سء ع صء » وبذلك تكون اعتراضات
بيانو على البرهان التقليدى للانعكاس صعيحة . ولكنا بتحليل العلاقات الماثلة
المتعدية قد حصلنا على برهان لخاصة الانعكاس مع بيان القيود الدقيقة الى
تخضع لا .
١ - نستطيع الآن أن نرى الأسباب البى من أجلها استبعدنا طريقة سابعة
من طرق توليد المتسلسلات . وهى طريقة قد يكون بعض القراء توقعوا وجودها »
وهذه هى الطريقة الى يكون فيها الوضع مجرد وضع نسبى ؛ ولم نقبل هذه الطريقة
بالنسبة الكميات كما سبق فى البند ١84 من الباب التاسع عشر . ولا كانت فلسفة
المكان والزمان كلها مرتبطة بموضوع مشروعية هذه الطريقة » الى هى فى الواقع
موضوع الوضع المطلق أو النسبى » يجدر بنا أن نبحها هنا . ونبين كيف أن مبداً
التجريد يؤدى إلى النظرية المطلقة للوضع .
فإذا نظرنا فى متسلسلة مثل متسلسلة الأحداث ٠ وإذا رفضنا التسلم بالزمان
المطلق » كان علينا أن نسلم بغلاث علاقات أساسية بين الأحداث وهى : الانية
.والقبلية والبعدية . ويمكن تقرير مثل هذه النظرية صوريا "كا بأ : ليكن معلوماً
فصلا" من الحدود هو بحيث أن" أى حدين س, : صء لمما إما علاقة لاممائلة
متعدية ى. أو العلاقة العكسية ىء أو علاقة ماثلة متعدية ع » ولنفترض أيضا أن"
إضن
سءعص,: صء وء و[ تستلزمان سه وء و[ » وأن سه وه صء» صءع ل تستلزمان”
سه وء مل عندئذ يمكن ترتيب جميع ال حدود فى متسلسلة مع احمال أن يكون كثير
من الحدود لها نفس الموضع فى المتسلسلة . وعلى حسب النظرية العلاقية للوضع »
ليس هذا الموضع إلا العلاقة المتعدية المهائلة ع لعدد, من الحدود الأخرى » ولكن
طبقا لمبدأ التجريد ينتجأنه توجد علاقة مما ع بحيث إذا كان سء ع صء فإنه يوجد
حد واحد ما عن حقق سء ع عن ص م م ء وسترى عندئذ أن جميع هله ا جدود م
الى تقابل مجموعات ممتلفة من ا حدود الأصلية » تؤلف هى أيضا متسلسلة ولكنها
بحيث يكون فيها كل حدين مختلفين لما علاقة لا مهاثلة ( صوريا حاصل الضرب
م- ع م » وهذه الحدود من هى إذن الأوضاع المطلقة للسينات والصادات » ونكون .
قد رددنا طريقتنا السابقة لتوليد المتسلسلات إلى الطربقة الأساسية الثانية »
وبذلك لا تكون هناكمتسلسلاتذات أوضاع نسبية فقط ٠ وإنما هى الأوضاع
ذاتها الى تكوّن المتسلسلات ق جميع الأحوال7 ,
وبمكننا الآن أن نواجه بُغض الفلسفة للعلاقات . وجميع ما ذكرظ .
عن الترتيب » والكلام الحالى عن التجر يد : سيكون بطبيعة الحال موضع اععراضات
شديدة من أولئك الفلاسفة_وأخحشى أن يكونوا الغالبية_الذين يقولون بأنه ليس هنالك
علاقات ذات صعة مطلقة وميتافيزيقية . ولست أربى هنا إلى الحوض فى الموضووع,
العام ولكنى سأكتق باستعراض الاعتراضات على أى تحليل للعلاقات اللاتمائلية ..
والرأى السائد - عادة بصفة لا شعورية ويستخدم ق"اظائحة معلل من
لا ينادون به صراحة .أن جميع القضايا تتكون فى اللهاية من موضوع ومحمول .؟,
وعندما يصادف هذا الرأى قضية علاقية فهناك طريقتان لمعابحتها » ويمكن نسمية,
إحداها بالطريقة المونادية 21:86 جمدم والأخرى بالطريقة الواحدية تامهم صر
فإذا أعطينا القضية | ع ب حيث ع علاقة منّاء فإن وجهة النظر المونادية تحللها.
إلى قضيتين ؛ يمكن أن نسميهما [ عن » ب عنبء وهاتان القضيتان تعطيان أ» ب
على التوالى صفتين مفروض أنهما معآ تكافئان ع . أما وجهة النظر الواحدية فى ..
)١( تجد بحن صوونا عن الوضع النسى ذما كتبه شر ودر - انظر عل وواممعاعة عمن عوظ
5 .2 ,1701.111 رتنعهصه0 ,عملجه'ل 106" 1 ١
م
على عكس ذلك تعتبر العلاقة خاصية للكل المكون من 1 » ب وبهذه الكيفية تكون
مكافئة لقضية يمكن أن ترمز إليها بالرمز (1 ب ) ممء ويمثل ليبنتز ( وبوجه عام )
لوتر وجهة النظر الأول ؛ ول الثانية سبينوزا ومسير برادلى . ولنفحص هاتين
الوجهتين من النظر على التعاقب عند تطبيقهما على العلاقات اللاتمائلية » وعلى
وجه التحديد فلننظر فى علاقى الأكبر والأصغر .
3١ - وقد عبر ليبنتز فى وضوح بدبع عن وجهة النظر المونادية فى العبارة
الثالية . ٠ النسبة أو التناسب بين خطين ل » م يمكن النظر إليها من عدة طرق »
كالنسبة بين الأكبر ل إلى الأصغر م ٠ أو كالنسبة بين الأصغرم إلى الأكبر ل
وإما أخيراً كشىء ما مستخرج منهما معأ على أنه النسبة بين ل » م» دون اعتبار إلى
أيهما المقدم وأيهما التالى أو أيهما الموضوع ٠ وأمهما المحمول. . . وف الطريقة الأولى
نجد أن ل الأكبر ٠ وف الثانية م الأصغر هى موضوع ذلك العرض الذى يسميه
الفلاسفة علاقة . ولكن أيهما سيكون الموضوع فى الطريقة الثالثة ؟ ولا يمكن القول
إن كلا من ل ؛ م مع هما موضوع مثل هذا العرض ٠ إذ لو كان الأمر كذلك
الحصلنا على عرض 20010676 فى موضوعين إ<دى قدميها فى الواحد وقدمها
الأخرى فى الآخر » وهذا يخالف فكرة الأعراض . وعلى ذلك فيجب أن نقول
إن العلاقة فى الطريقة الثالئة هى فى واقع الأمر خخارج العسرَضَّيْن» ولكنها لما كانت
لا بالمادة ولا بالعرض فيجب أن تكون جرد شبى ء مشالى ؛ والنظر فيه مع ذلك لا يخلو
من فائدة ) .
4 - والطريقة الثالثة للنظر إلى علاقة الأكبر والأصغر هى على وجه التقريب
ما بقول به الواحديون ٠ وف ,أيهم أن" الكل المركب من ل » م هو الموضوع وعلى
ذلك فنظرمم إلى النسبة لا ترغمنا » كا افترض ليبنتر . على وضعها بين ذوات
القدمين . وسنقصر اهمامنا فى الوقت ال حاضر على الطريقتين الأولتين » فى الطريقة
الأول للنظر إلى الأمر أى ٠ ل ( أكبر من م) » نجد أن الكلمات الموضوعة بين
قوسين تعتبر صفة تصف ل . ولكنا عندما نفحص هذه الصفة نجدها مركبة »
فهى تركب على الأقل من الحزأين أكبر ء م ؛ وكل من هذين المزأين أسابى .
فقولنا إن" ”لأكبر“ لايدل أبداً علىما نقصدمن معنى؛ ومن امحتمل جداً أن ”م أكير»
0
أيضا . فالصفة الى نفرض أنبا تصف ل نتضمن إشارة” إلى م ٠ ولكن النظرية,
المذكورة لا توضح معبى هذه الإشارة . والصفة البى تتضمن إشارة إلى م من الواضح
أنها صفة" بالنسبة إلى م : وما هذه إلا طريقة ملتوية لوصف العلاقة . بعبارة
أخرى ٠١ إذا كانتل ذات صفة تناظر حقيقة كونها أكبر من م » فهذه الصفة
من الوجهة المنطقية تابعة للعلاقة المباشرة بين ل . م وليست سوى محرد اشتقاق من
هذه العلافة . وإذا استبعدنا م : فلا شىء يبدو ف تحليل ل يز بيها وبين م .
ومع ذلك فى نظرية العلاقات الى نتكلم عنها . ل يجب أن تختلف اختلافاً ذاتيا
عن م2 ولذلك فسنجد أنفسنا مرغمين: قف 0 العلاقات اللاتمائلية »
على التسلم باختلاف نوعى بين الحدين المتعلقيآن : ولو أن تحليل أى مهما
لا يكشف عن وجود أية خاصية متصلة بالموضوع يملكها الواحد ولا نجدها فى
الآخر. ويعد هذا بالنسبة للنظرية المونادية تناقضاء وهو تناقض .هدم النظرية ذاتما
الى بنبع 5
وض فى تطبيق النظرية المونادية على العلاقات الكمية ٠ فالقضية « | أكبر .
من ب » يمكن تحليلها إلى قضيتين » إحداهما تعطى | صفة . والأخرى تعطى بن
صفة أخرى . وأكبر الظن أن القائل بالرأى الذى نحن بصدده سيذهب إلى أن | »
ب كيتان لا مقداران وأن الصفتين المطلو بتينهما مقدارا ١ . ب ولكن عليه ى هذه
ا حالة أنيسل بعلاقةبين المقدار ينهن النوع اللامماثل . وابى كان على المقدارين تفسيرها
وحينئذ بحتاج المقداران إلى صفتين جديدتين وهكذا إلى ما لا نماية له » والعملية
اللامهائية يجب أن تم قبل أن نجد معبى للقضية الأصلية . وهذا النوع من العمليات
اللامهائية موضع اعتراض لأن ١ لغرض الوحيد منه هو تفسير معبى قضية معينة »
ومع ذلك فلا تقرينا أى خطوة من خطواته إلى هذا المعبى'"' ٠ فلا يمكننا لهذا
. » انظر البح المنث رؤقيلة .نه .200 285 .20100 بعئوان « الملاقة بين العدد والكمية )١(
وقد ,25-5 هذا البحث سين ا | زال ا داننظر د د المونادية عن اأملاق! الت »2 ومن 7 ذلك ك كان
ى ذنقلها عن د كانط تير المس المسألة '١ لعالية "١ التناقفض المذكورأ مرالا مكن تجذيه : والفترة
0 حيثٌ نحتاج إلى لى خملية لا مهاذية من النوع المذ كور للحن بالضرورة بصسدد قضية و
الوحدة اللانهائية بالمعى المبين فى اخزء الثافى الباب السايم 0
كل
السبب أن تأخذ مقادير | : ب أنمما الصفتان المطلوبتان . تقض فى البحث فنقول :
ولكننا إذا أخذنا أى صفات كانت ماعدا تلك البى لما بالحد الآخر صلة »
فلن نتمكن حتى من الناحية الصورية أن نقرر شيئا عن العلاقة دون افتراض مثل
تلك العلاقة بين الصفتين . لأن محرد اختلاف الصفتين لن يترتب عليه سوى علاقة
تمائلية . مثال ذلك لو كان الحدان المذكوران لونين ممتلفين لوجدنا أن ما بين | »
ب هى علاقة الاختلاف فى اللون وهى علاقة لن تجعلها عناية بحثنا لما لاتمائلية .
وإذا رجعنا إلى المقادير فلا يمكن أن نقول سوى أن | يختلف عن ب فى المقدار
ما لا يعطينا أى إشارة إلى أسهما الأكبر . وهكذا يجب أن تكون صفتا | » ب بحيث
يتعلق كل منهما بالحد الآخر : كا جاء فى تحليل ليبنتز . فصفة | يجب أن
تكون « أكبر من ب » . وصفة ب يجب أن تكون « أصغر من | » . وبذلك يختلف
| عن ب » مادام لهما صفتان محتلفتان لأن ب ليس أكبر من ب » و ! ليس
أصغر من | ولكن الصفتين خارجتان بمعبى أن صفة | لا صلة مع ن » وصفة ب
ها صلة مع | . وفذا السبب تفشل محاولة تحليل العلاقة ٠» فنضطر إلى التسلم
بما قصدت النظرية" إلى تجنبه وهو العلاقة التى تسمى « خارجة » أى تلك العلاقة
الى لا تستلزم أى تعقيد فى أى حد من الحدين المتعلقين .
ويمكن إثبات نفس النتيجة من العلاقات اللاتمائلية بوجه عام : ما دامت
هذه النتيجة إنما تتوقف على أن كلا من التطابق والتعدد ماثلان . وليكن | » ب
بيهما علاقة لا تمائلية ع » بحيث يكون | ع ب . ب 2 | . ولتكن رمز الصفتين
المفروضتين ( رهما ؟! رأينا من قبل لا بد أن يكون لكل منهما صلة بالحد الآخر)
م ؛ » على التوالى بحيث “بصبح الحدان على النحو الآتى :١1م : ب . وهنا
نجد أن » له صلة مع | . وممع بت . ونحن نعلم أن م » م يختلفان
ما داما لا مائلين . ولكن | . ب ليس بيئهما اختلاف ذاتى مناظرٌ للعلاقة ع
وسابق عليها . وحتى إذا كان بينبما اختلاف » فإن نقط الاختلاف لا بد أن يكون
ها ذاتها علاقة شبيبة بالعلاقة ع . وبذلك لننظفر بشىء . فإما أن ى أو م يعبر
عن اختلاف بين | وب . ولكنه اختلاف بعيد عن أن يكون «تقدماً على العلاقة
وإنما هر ف الواقع العلاقة ع نفسها : ما دام » أو م يتطلب صلة” محد
:5
غير الحد الذى هو صفة له . وما دام م و م كلاهما يفرض العلاقة ع » فلا يمكن
استخدام الاختلاف بين » و م للدلالة على اختلاف ذاتقى بين وب . وهكذا
نصبح مرة أخرى إزاء اختلاف ليس كن برا وان أن بعض
العلاقات اللاتمائلية لا بد أن تكون مطلقة ٠ وأن إحدى هذه العلاقات
المطلقة اللاتمائلية على الأقل يحب أن تكون عنصا مكوناً لأى علاقة تمائلية قد
نفرضها .
من السبل انتقاد النظرية المونادية من وجهة نظر عامة باستخراج المتناقضات
الى. اتنشاً من علاقات الحدود بالصفات المتصلة بالعلاقة الأولى الى حللناها .
وليست هذه الاعتبارات مرتبطة ارتباطاً خاصاً باللاتمائل » ولكها تنتمى الفلسفة
العامة ٠ وقد بسطها أنصار النظرية الواحدية . أما عن النظرية المونادية فإليك
ما يقوله عنها برادلى١١) واختصار القول : نحن مسوقون بمبدأ الانشطار دون أن
نصل إلى غاية . فكل صفة لها علاقة » لا تبعا لذلك ضرب من التعدد داخخل
طبيعتها ذاتها » وهذا التعدد لا بمكنأن يكون ثابتا مباشرة للصفة » ومن ثم يحب أن
تتنازل الصفة عن وحدتها لعلاقة داخلية » فإذا تحررت الصفة على هذا النحو »
فينبغى أن يكون كل مظهر من المظاهر المتعددة؛ من حيث إنه شىء له علاقة »
شيئاً كذلك وراء العلاقة . وق هذا التعدد اللقضاء البرم على الوحدة
الداخلية لكل مظهر منها بحيث تحتاج إلى علاقة جديدة » وهكذا إلى غير الهاية ؛ .
ويبق بعد ذلك أن نفحص عن أمر النظرية الواحدية ألا تصبح حين نتجنب هذه
الصعوبة خاضعة لصعو بات أخرى لا تقل عنها خطورة .
تذهب النظرية الواحدية إلى أن كل قضية علاقية | ع ب تنحل إلى
قضية تتصل بالكل الذى يتركب من ! » ب وهى قضية يمكن أن ندل عايها بقولنا
(إت) ع . ويمكن أن نفحص هذه الوجهة من النظر "كنا فحصنا الوجهة الأخرى
إما بالإشارة خاصة” إلى العلاقات اللاتماثلية » وإما من جهة الفلسفة العامة . ويقول
أصعاب هذا المذهبإن الكل يشتمل بذاته على تعدد» وإنه يأ ركب الاختلافات »
وإنه يحقق أعمالا أخرى شبيبة بذلك . أما أنا فأصرح بعجزى عن نسبة أى مععى
000 ام رهه6 501 او د ,تلمع امه معسدممعممق
لكف
مضبوط لهذه العبارات ٠ ومع ذلك فسأبذل قصارى جهدى .
يقولون: | إن القضية « | أكبر من ب » لاتقررفى الحقيقة شيثاً عن | أو عن
ب » بل علهما معآ . ولا كانت القضية تدل على الكل الذى يتألف من (1ات)
فسنفرض أن" (1س) يشتمل على تعدد فى المقدار » . وإذا نحن أغفلنا جانبا
جميع الحجج ذات الصفة العامة فى الوقت الراهن » نجد اعتراضا خاصاً يوجه
ل ال . ذلك أن (إت) مماثلة بالنسبة [] »ا ب »
وتنطبق بذلك خاصية الكل بالضبط ف الحالة الى تكون فيها | أكبر من ب وكذلك
فى حالة ما تكون ب أكبر من | . وقد أدرك ليبنتز الذى لم يقبل النظرية الواحدية
ل ل 0
ذلك إنه طبقا لطريقته الثالئة ى النظر إلى النسبة 200 لا نعتبر أى اللحزأين
المقدم وأيهما التالى » والحق أنه من الواضح بما فيه الكفاية أن الكل (!ات) من
حيث أنه كذلك ليس فيهمقدم ولا تال : فلكى يز ينكل هو (ات) من كل
ل ل ا ا ٠ فسنضطر إلى
الرجوع عن الكل إلى الأجزاء وما بينها من علاقة . لأن (ات) و (ت)
يشتملان بالضبط على الأجزاء نفسها ل
العلاقة بين ( » با . وقولنا « | أكبر من ب » و ون أكبر من |» قضيتان
بشتملان بالضبط على نفس المكوئات . وينشأ علهما تبعا لذلك بالضبط نفس
الكل » ولا يقومالحلاف بينهما إلا ى فى أن أكبر فى الحالة الأولى علاقة من | لب»
٠ وق الحالة الثانية من ب [| . وبذلك يكون تمييز الحهة » أى المييز بين علاقة
لا تمائلية وعككسبا » تمييزا 7 تعجز النظرية الواحدية عن العلاقات عن تفسيره بالكلية .
ويمكن أن نبسط من الحجج ذات الصفة العامة ما لا حصر له » غير أن
الحجة الثالية يبدو أنها داخلة فى موضوعنا بوجه خاص . فعلاقة الكل بالحزء هى
نفسبا علاقة لاتمائلية » والكل -- كا يبوى الواحديون بوجه خاص أن يقولوا -
متميز عن جميع أجزائه » تعديداً وجملة' فى آن واحد . ولذلك حين نقول : |١
اجزه من ان » فنحن نعى فى الواقع بفرض معة النارية الواحدية أن نقرر شيئا
عن الكل المكون من | و ب والذى لا يحب أن يلتبس مع ب . ولو لم تكن القضية
1:
المتعلقة بهذا الكل الحديد قضية كل” وجزء : فلن يكون نمة أحكام صادقة عن
الكل والحزء » ويكون من الحطأ تبعا لذلك القول بأن العلاقة بين الأجزاء هى حقا”
صفة * الكل . أما إذا كانت القضية الحديدة قضية كل” وجزءر ؛ فستحتاج إلى
قضية جديدة لتفسيرها : وهكذا دواليك . ولو ذهب الواحدى كإجراء يائس إلى
القول بأن الكل المركب من ! ؛ ب ليس متميزا عن ب ٠ فإنه مضطر إلى التسللم
بأن الكل هو ( بمعى المنطق الرمزى ) مجموع أجزائه » وهذا إلى جانب هجرانه
موقفه تماءاً جعله لا مناص له من اعتبار الكل »اثلا بالنسبة لأجزائه - وهى وجهة
نظر رأينا من قبل أنها محتومة . ومن ثم" نجد أن الواحدبين مسوقون نحو وجهة النظر
القائلة بأن الكل الوحيد الحق ٠ وهو المطلق : لا أجزاء له أصلا » وأنه لا قضية
خاصة به أو أى شىء آخر صادق - وهى وجهة نظر لا مفر من تناقضها عند
جرد تقريرها .ولا ريب ف أن الرأى القائل بأن جميع القضايا ينتهى با الأمر إلى
أن تتناقض مع ذاتها » لهو رأى مقضى عليه إذا سلمنا به أن يكون أيضا متناقضا
0
5 رأينا حتى الآن أن العلاقاتاللاتمائلية غير معقولة طبقا لكلا النظريتين
العاديتين للعلاقات'! . ولذلك ما دامت مثل هذه العلاقات داخلة” فى العدد »
والكمية ٠ والترتيب . والمكان : والزمان . والحركة فن العسير أن نطمع فى فلسفة
أمرضية للرياضيات . ما ددنا متمسكين بالنظرية القائلة بأنه لا علاقة يمكن أن"
تكون « خارجية بحتة » . ولكن سرعان ما نصطنع نظرية مختلفة عنها حبى يتضح
أن الألغاز المنطقية التى حار فيها النلاسفة قد أصبحت مصطنعة . ومن بين الحدود
الى تعتبر عادة” أنها علاقية وهى المائلة والمتعدية مثل التساوى والآنية قادرة
أن ترد إلى ما سمى فى م 0 ن الإجبام بتطابق المضموك عوعاصم أن لعناصع10 ©
ولكن هذا بدوره يجب أن 0 إلى عينية ووعمعد: العلاقة مع حد ما آخر .
ذلك أن الحواص المزعومة لحد من الحدود ليست فى الواقع سوى حدود أخرى تقوم
بيبا علاقة مما . والخاصية المشتركة لحدين هى حد ثالث هما به نفس العلاقة .
10 بعشك أسين هاتين النظري دتين م وجهة ذغار أعم فق ابمزء السادس الباب الواحد والحمسين .
وذ
هذا الاستطراد الطويل الذى خاض بنا ى بحر المنطق أوجبته أهمية المرتيب
الحوهرية » كا أوجبته استحالة تفسير الترتيب دون أن نصرف النظر عن أعز العقائد
الفلسفية وأكثرها شيوعا . ذلك أنه فما يتعلق بالترتيب كل شىء يتوقف على اللاتماثل
واختلاف اللحهة » غير أن هذين المفهومين لا يعقلان فى ظل المنطق التقليدى .
وسنفحص ف الباب التالى عن علاقة اختلاف الحهة » بما بظهر فى الرياضيات
باسم اختلاف العلاءة «هنزه . وسنتناول فى هذا الفحص الموضوعات الرياضية
مرة أخرى » ولو أن الحديث لا يزال فى حاجة إلى بعض المنطق البحت . وهذا
ما يشغل جميع الأبواب الباقية من هذا الحزء .
الباب السابع والعشروث
اختلاف الجهة واختلاف العلامة
رأينا حتى الآن أن الترتيب يتوقف على العلاقات اللاتمائلية » وأن
هذه العللاقات اللاتمائلية لها على الدوام جهتان» مثل القبل والبعد» الأكبر والأصغر»
الشرق والغرب » إلخخ . واختلاف الحهة مرتبط ارتباطا وثيقا ( ولو أنه ليس متطابقا)
مع اختلاف العلامة الرياضى . وهذه فكرة لا أهمية جوهرية فى الرياضيات »
ولا يمككن بمقدار علمى تفسيرها بعبارات من أى أفكار أخرى . ويبدو أن أول
فيلسوف تنبه لأهميتها هو كانط . فى كتابه “محاولة لإدخحال فكرة المقادير السالبة
فى العا“ الى
نجده علىبينة من التقابل المنطى وتقابل السلب والإيجاب . وف المناقشة الى
أوردها فى كتابه *فى السبب الأول للتمييز بين المساحات فى المكان “!")
نجدإدرا كا كاملا لأهمية اللاتمائل فى العلاقات المكانية » كرانجددليلا يستند إلى تلاك
الحقيقةعل أن المكازلا يمكن أن يكونعلاقيا تماما'". ولكن يبدو من المشكوك فيه .
أنه أدرك الصلة بينهذا اللاتمائل وبين اختلاف العلامة. فى عام 158 من الثابت أنه
لم يتنبه إلى هذه الصلة » لأنه اعتبر الألم مقدارا سلبيا من اللذة » وزيم أنه من
لمكن إضافة لذه كبيرة إلى ألم صغير فيحصل عنبما لذة أصغر''' » وهى وجهة
نظر تبدو فاسدة منطقيا ونفسانيا على حد سواء . وق كتابه ( المهيد » ( ١0817 )
دمعصروعءاه:2 » ( الفقرة ١1 ) جعل كا هو معروف - العلاقات اللاتمائلية
المكانية أساساً لاعتبار المكان مجرد صورة للحدس » لا كما يظهر من مناقشته
عام ١1/54 2 أن المكان لا بمكن أن يقوم - كما ذهب إلى ذلك ليبنتز - على
جرد علاقات بين الأشياء » ثم عجز » تبعا لسكه بالاعتراض المنطى على العلاقات
17 لناقصاءع تتعطولء سساء18 عنل سذ موق صعلاتتديء 21 بعل #قتوع8 صعل طعتوع ( ١
(و176) مععطلاة .
0 ( 10 سه ص معلمععء ) بعل وملعتطعو مامتا علصيصة مع معل صملا
(*) انظر بوجه خاص ذشرة نوو ,386 .مم ,11 .أولا .1106
0 6 نشرة .83 11 أو امو
1
:6
والذى ناقشناه فى الباب السابق » أن يخلص فكرة المكان المطلق ذى العلاقات
اللاتمائلية بين أجزائه من التناقض . ومع أنى لا يمكن أن أعتبر هذه النظرية
الكانطية الأخيرة والأكثر تميزا » تقدمآ عما رآه سنة 21778 إلا أن الفضل يرجع
دون نزاع إلى كانط فى أنه أول من لفت النظر إلى الأهمية المنطقية للعلاقات
اللاتمائلية .
- لبأعنى باختلاف اللحهة . على الأقل فى المناقشة الراهنة » الاختلاف
بين العلاقة اللاتمائلية وعكسها . ومن الحقائق المنطقية الأساسية أنه إذا فرضت أى
علاقة ع . وأى حدين | . ب ء أمكن تكوين قضيتين من هذين العنصرين »
الأول تجعل العلاقة من إلى ب ( وأسميها | ع ب) » «الثانية (ب ع |) تجعل
العلاقة من ب إلى ؛ . وهاتان القضيتان هما أبداً مختلفتان» ولوأنه فى بعض الأحيان
( ها فى حالة التعدد) تستلزم كل منهما الأخرى . وى أحوال أخرى » مثل
اللزوم المنطى . لا تستلزم إحداهما الأخرى ولا سلبها . على حين أنه فى أحوال
ثالثة تستلزم إحداهما سلب الأخرى . وان أتكلم عن اختلاف اللحهة إلا فى الحالات
من النوع الثالث . فى هذه الحالات | ع ب تستبعد ب ع | . ولكن هنا تنشأ
حقيقة منطقية أخرى أساسية » وهى أنه فى جميع الأحوال الى لا تستلزم ! ع ب
ب ع ١ ء هناك علاقة أخرى متعلقة ب ع يجب أن تقوم بين | » ب . وبعبارة
أخرى هناك علاقة ج بحي ثأن | ع ب تستلزم ب ع |؛ وكذلك ب ع | تستلزم
اع ب . فعلاقة ع لخ هى اختلاف الحهة » وهذه العلاقة هى علاقة واحد
بواحد » ومعاثلة » ولا متعدية » ووجودها أصل المتسلسلات» والقييز بين العلامات»
وقدر كبير من الرياضيات فى الواقع .
4 - وئمة سؤال ذو أهمية عظمى فى المنطق : وبوجه خاص ف الاستنباط
يمكن أن يثار بالنسبة لاختلاف الجهة . هل ٠ ع ب » ب ع | قضيتان متلفتان
فى الحقيقة » أو أرما يختلفان لغويا فقط ؟ فقد يمككن أن نذهب إلى أنه ليس ممة
إلا علاقة واحدة هى ع ؛ وأن جميع المّييزات الضرورية يمكن الحصول عليها من
القضيتين | ع ب . باع | . وقد يمكن أن يقال إن مطالب النطق والكتابة
تضطرنا إلى أن نذكر إما | أو ب أولا » مما يخيل إلينا فرقا بين« | أكير من ب »
1.5
وبين وب أصغرمن | » ء أمنّا فى الحقيقة فهما قضيتان متطابقتان . غير أننا إذا”
اصطنعنا هذه الوجهة من النظر » لكان من العسير علينا أن نفسر المييز الذى
لا شك فيه بين أكبر وأصغرء لأن لكل من هاتين اللفظتين دون ريب معبى »
حتى لولم يكن ثمة أى حدود مذكورة يتعلقان بها . ولانزاع فى أن لهما معان
مختلفة : ولا نزاع فى أنهما علاقتان . لهذا إذا كان لا بد لنا أن نتمسك بأن |
أكبر من ب » و وس أصغر من | ) قضية واحدة » فلا بد لنا من القول بأن كلا
من أكبر وأصغر يدخلان فى كل من هاتين القضيتين مما يبدو ظاهر البطلان +
أو نقول إن ما يحصل بالفعل هو شىء مختلف عن الاثنتين : وهو تلك العلاقة
الثالثة المجردة المذكورة عن ليبنتز فما نقلناه عنه سابقا . وق هذه الحالة يكون الفرق
بين أكبر وأصغر فرقاً فى أساسه يتطلب تعلقاً بالحدين ! » ب . ولكن التسلم بهذه
الوجهة من النظر لا يخلو من دور ٠ إذ ليس الأكبر أو الأصغر هو بالذات
المقدم » ولا حيلة لنا إلا أن نقول إنه حين يكون الأكبر مقدماً فالعلاقة هى أكبر »
وحين يكون الأصغر ٠ فالعلاقة هى أصغر . ويترتب على ذلك فها يبدو أنه يحب
التسلم بذع » ع علاقتان متميزتان . ولا مهرب لنا من هذه النتيجة بتحليل '
الصفات الذى حاولناه قالباب السابق» وذلك حين خللنا ١ ع ب إلى 1م » نب »
ويناظر كل ب صفتان هما م » م : كنا يناظر كل | صفتان هما .ى » 2 . وهكذا
إذا كانت ع"هى أكبر : كانت + أكبر من [2 » وكانت ج «أصغر من 61
أو العكس بالعكس . غير أن الفرق بين ب ٠ > يفترض من قبل وجود فرق بين
أكبر وأصغر » بين ع ٠ ع ٠ ولذلك لا يمكن أن يفسره . من أجل ذلك لا بد
من أن يكون ع » تم متميزين » وأن واعس تستلزم ب ع | » لابد أن يكون
ستنباطا حقيقيا .
وأنتقل الآن إلى الصلة بين اختلاف الحهة وبين اختلاف العلامة . وسنجد أن
.ختلاف العلامة مشتق من اختلاف اللحهة » حيث أنه اختلاف لا يوجد إلا بين
حدود هى إما علاقات لامتائلة . أو مترابطة بها . ولكئنا سنجد ق
حالات معينة بعض التعقيدات فى التفاصيل تتطلب مزيدا من المناقشة .
لا يتصل اختلاف العلامات تقليديا إلا بالأعداد والمقادير » ويرتبط ارتباطا
3
ويقا بالجمع . قد يقال إن وضع العلامة » عملية” لا بمكن استعخدامها استخداما
مفيدا حيث لايكون تمةجمع ؛ بل إنالجمع من بعض الوجودقد يكونعلى الحملة كذلك
مكنا » حيث بمكن تمييز العلامة . ولكننا سنجد أن اختلاف العلامة ليس له
صلة وثيقة بالجمع والطرح . ولكى نوضح هذه المسألة لا بد أول كل شىء أن
ندرك فى وضوح أن الأعداد «المقادير الى ليس الا علامة » تختلف
اختلافا أساسيا عن الأعداد والمقادير الموجبة . والحلط فى هذه النقطة يقضى على
أى نظرية صحيحة للعلامات بالفشل .
_- إذا أخذنا أولا الأعداد المتناهية رأينا أن الأعداد الموجبة والسالبة تنشأ
على النحو التالى'') . إذا كانت ع تدل على العلاقة بين عددين ديحين بفضلها
الثانى مهما يتلو الأول» كانت القضية م ع هج مكافئة لما يعبر عنه عادة بقولنا
م + ١ > 3ت غير أن النظرية الراهنة ستطبق على المتواليات بوجه عام » ولا تتوقف
على النظرية المنطقية للأعداد الأصلية الى بسطناها فى الحزء الثانى . فى القضية
م ع ج يعتبر العددان م » 2 خاليين تماما من العلامة» وذلك بحسب استنتاجهما
من التعريف المنطى. فإذا قلنا م ع ه » د ع مه » ثم قلنا مع' ىمء وهكذا فى
القوى الأعلى » كانت كل قوة اع علاقة لا تمائلية : ومن السهل بيان أن عكسها
هونفس قوة ع » كما أنها هى نفسها قوة ع . وهكذا فإن" م ع ١ وء تكاقء
وه ها م. وهاتان هما القضيتان اللتان تكتبان عادة هكذا م +|ع وغ
وء - | ح م . وهكذا فإن ع! . غ! هى حقاً الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة»
وهى مع أنها مرتبطة ب | إلا أنها متميزة تماماً عن ١ . وعلى ذلك فى هذه الحالة نجد
الرابط مع اختلاف الحهة ظاهراً ومستمراً .
9١ أما بالنسبة للمقادير فلا بد من العييز بين عدة حالات . فعندنا
)١( مقادير ليست علاقات . ولا امتدادات وعطءسمه (؟) امتدادات
(") مقادير هى علاقات .
)١( . المقادير من هذا الفصل ليست فى ذاما موجبة ولا سالبة . ولكن
)١( مأذكر خلاصة النظرية هنا ء وستبحث بشكل أكل وأعم فى الياب الخاص بالمتواليات
فقرة 58# .
14
مقدار ين مهما » ا بينا فى الحزء الثالث » يان إما مسافة وإما امتداداً )ب
والمسافة أو الامتداد تكون داثما إما موجبة أو سالبة » ؟ا يكونان علاوة على ذلك
دائما قابليئن للجمع . ولكن لما لم تكن مقاديرنا الأصلية علاقات ولا امتدادات »
فالمقادير الحديدة الى نحص عليها هى من نوع #تلف عن المقادير الأصلية .
مثال ذلك أن الفرق بين لذتين » أو مجموعة الاذات المتوسطة بين لذتين » ليس
لذة ؛ فهو فى الحالة الأولى علاقة » وفى الحالة الثانية فصل .
(؟) ليس لمقادير الانقسام بوجه عام علامة » ولكن حين تكون مقادير
امتدادات تكتسب علامة بطريق الترابط .800داء:,ه0 . ويتميز الامتداد عن
النديقات الأخرى بأنه يشتمل على جميع ال حدود فى متسلسلة متوسطة بين حدين
معلومين . وإذا ضم الامتداد إلى جهة من جهى العلاقة اللاممائلة الى لا بد من
وجودها بين الطرفين الهائيين » يكتسب الامتداد نفسه جهة” ويصبح لا مماثلا .
ومعبى ذلك أننا نستطيع اله ييز بين ( ١ ) مجموعة الحدود القائمة بين | » ب بصرف
النظر عن الترتيب ؛ (7) الحدود من | إلى ب ؛ (") الحدود من ب إلى ١ .
وهنا نجد أن الحالتين الثانية (8) والثالثة ( "9) معقدتان » لأن كلا منهما يركب
من الحالة الأولى ( ١ ) وهن أحد جهبى العلاقة . ولا بد من تسمية إحداهه| موجبة
والأخرى سالبة . وقد جرت العادة واستعمال المع إلى القول بأنه حيث تتألف
المتسلسلات من مقادير إذا كانت | أصغر هن ب كانت الحالة (؟) موجبة
والحالة ( ") سالبة . أما حيث لا تكون المتسلسلات 15 هو الأمر فى الهندسة غير
لقاش مقادرز )نيم اتحديد أبما ونح وأبها سال تنتكها بحست ماالشاء :
فعندنا فى كل من الحالتين نفس العلاقة بالندية إلى الجمع » والنى تجرى على
النحو التالى : أى زوج من من ا موعات يمكن جمعهما لتكوين مجموعة جديدة »
ولكن لا يمكن جمع أى زوج من الامتدادات لتكوين امتداد جديد ؛ إذ لكى
يمكن ذلك يجب أن تكون نباية أحد الامتدادين متعاقبة مع بداية الآخحر . وبذلك
يمكن جمع الامتداد | ب : مع الامتداد ب ح لتكوين الامتداد | ح . وإذا كان
إن » نح هما نفس الحهة » كان | ح أكبر من كل" منهما . وإذا اختلفت
جهما كان | ح أصغر من أحدها . وق هذه الحالة الثانية يعتبر جمع |اب »
1110000 1 ذ 1 1[ 1 111 11110أإ
1:5
ب ح كطرح بين إن » حب ؛ حيث أنا تح ء ح ب موجب سالب على
التوالى . وإذا كانت الامتدادات موضع بحثنا قابلة للقياس عدديا » فجمع أو طرح
مقابيسبا يعطى مقياس حاصل جمع الامتدادات أو طرحها إذا كانت بحيث
تسمح بالجمع أو الطرح . غير 0 5 هو واضح يتوقف
7 هذه الحقيقة الموهرية وهى أن المتسلسلة موضع البحث تنشأ عن علاقة لامهاثلة
(") المقادير الى هى علاقات إما أن تكون علاقات متاثلة أو لا مائلة . فى
الحالة الأولى إذا كان ! حدا فى مجال إحداهما . فالحدود الأخرى فى الحالات
المتعددة يمكن أن ترتب فى متسلسلة بشرط توافر شروط معينة''2 وذلك حسب
علاقاتما بالحد | من حيث أن هذه العلاقات أكبر أو أصغر . وقد يكون هذا التنظم
مختلفاً حين نختار حدا آآخر غير الحد | . أما فى الوقت الراهن فسنفرض اختيار |
على الدوا م . وحين يم ترتيب الحدود فى متسلسلة فقد يحصل أن بعض المواضع ى
المتسلسلة أو كل المواضع يشغلها أكثر من حد . ولككن فى أى حالة فإن اجماع
الحدود بين | وبين حد آخر وليكن م هو اجماع معين » يؤدى إلى
امتداد له جهتان . وعندئذ يمكننا أن نربط بين مقدار علاقة | لم » وبين أى جهة
من هاتين الجهتين . ونحصل بذلك على علاقة لا مماثلة بين | » م » وهى علاقة
لها كالعلاقة الأصلية مقدار . وهكذا بمكن أن نرد حالة العلاقات الممائلة للعلاقات
اللاممائلة . وهذه العلاقات الأخيرة تؤدى إلى العلامات ٠ وإلى الجمع
والطرح بنفس الطريقة بالضبط الى تؤدى إليها الامتدادات ذات اللحهة . اشرق
الوحيد بينهما هو أن اهمع والطرح من النوع الذى سميناه فى الحزء الثالث علاقيا
لقده1)داء: . وهكذا فى جميع أحوال المقادير ذات العلاقة يكون الاختلاف بين
جهبى العلاقة اللامعائلة منبع اختلاف العلامة ,
الحالة الى ناقشناها فما مختص بالامتدادات ذات أهمية جوهرية فى الهندسة .
اهنا نقاان: ,نر اكت + رقاؤقة جلك مر له زر ممقلا "ل وازتيا علد ما وليف لك
الاثنين . والجمع بينهما معاً يعطى مقداراً له علامة . وجميع المقادير الندسية
ذات العلامة تنشأ على ذلك النحو . غير أننا نجد تعقيداً غريبا فى حالة العماي
فالأحجام كا يبدو 0 وهلة يات لا علامة لما » ولكنها تظهر داتما فى الهندسة
(1) انظر بلد 5146 ,
):0
66
التحليلية موجبة أو سالبة . وهنا نجد العلاقات اللاممائلة ( إذ هناك علاقتان ) نظهرٍ
كحدود بينها علاقة متّائلة » ولكنها مع ذلك ها مقابل من نوع شديد الشبه بعكس
العلاقة اللامهائلة .
؟ 77 د اللط المستقم الوصى هو علاقة متساسلة بفضلها نكون النقط
متسلتيلة” 17 يكن أن لتنهى لك جيه من جه اط ادم و شا
بردم » وندل على الحهة بسهم . وأى شعاعين ليسا فى مستوى واحد . فلهما
إحدى علاقتين بمكن أن نسميها بمينية أو يسساء ية على التوالى » وهذه العلاقة
“ب 7
مراثلة ولكنها غير متعدية » وهى جوهر المبيز المألوف بين المين واليسار .
وهكذا تكون: علاقة العمود المرتفع على خط من الشمال إلى الشرق بمينياء والمرتفع
على خط من الحنوب إلى الشرق يساريا . ولكن مع أن العلاقة متائلةء إلا أنمها تتغير
إلى مقابلها بتغيير أىحد من العلاقة إلى عكسها. فلو فرضنا علاقة المينى وعلاقة
اليسار سه ( وهى ليست ى) » فإذا كان | » ب شعاعين بمينيين بالتبادل » كان
اده اونية :6 ]كوا ااانه ا نح اع ا
َى ١ ممعنى ذلك أن كل زوج هن الخطين المستقيمين اللذين ايسا فى مستوى
واخل ينقاً عنما عانى علاقات من هذا القبيل » منها, أربعة بمينية وأر بعة
يسارية. ومع أن الاختلاف بين سهء ى ؟ا هو قاتم ليس اختلاف جهة إلا أنه
مع ذلك اختلاف إيجاب وسلب » وهو العلة فى أن أحجام الأجساءالرر باعية السطوح »
لما داثما بحسب محددانما علامات . ولكن ليس ثمة صعوبة فى تتبع منطق الرجل
العادى حين يرد المين واليسار للعلاقات اللاممائلة . فالرجل العادى يأخذ أحد
الشعاعين ( وليكن )١ ثابتا وإذا كان واعيا بأخذ | عمودا رأسيا ثم يعتبر المين
واليسار خاصتين للشعاع المفرد ىن »ء أو علاقتين لأى نقطتين تحددان ب »
000 انظر الحزه السادس .
آه
وهما تعبيران لشىء واحد . وببذه الطريقة يصبح المين واليسار علاقتين لاممائلتين
بل يصبح لهما درجة محدودة من التعدى من ذلك النوع الذى بيناه ى الطريقة
الحامسة لتوليد المتسلسلات ( ف الباب الرابع والعشرين) . هذا وينبغى ملاحظة
أنما نتخذه ثايتا يجب أن يكونشعاعاً لا جرد خط مستقم. مثال ذلك إذا كان مستويان
غير متعامدين بالتبادل فليس أحدهما يمينا والآخر يسارا بالنسبة خط تقاطعهما »
ولكن ذلك فقط بالنسبة لكل من الشعاعين المتعلقين بهذا الحط 2١١ . فإذا جعلنا
هذا فى بالنا واعتبرنا المستويات الكاملة لا أنصاف المستويات فإن المين واليسار
بطريق الشعاع المذكور يصبحان لا مهاثلين ويصبح كل منهما عكس الآخر .
وبذلك تكون العلامات المتصلة بالعين واليسار قائمة كجميع العلامات الأخرى على
العلافات اللاتمائلية . وهذه النتيجة بمكن اعتبارها نتيجة عامة .
77# اختلاف الجهة أعم طبعا من اختلاف العلامة » ما دام ذلك الاختلاف
موجودا فى أحوال تعجز الرياضة (علىالأقل فى الوقت الحاضر ) عن بحتها . ويكاد
يبدو أن اختلاف العلامة قلما ينطبق على العلاقات البى ليست متعدية » أو ليست
ذات صلة وثيقة بعلاقة ما متعدية . فن التناقض, مثلا أن نعتبر علاقة حادثة بوقت
حدوثها » أو علاقة كلية بمقدارها . على أنها تعطى اختلاف علامة . لآأن هذه
العلاقات هى الى يسميها الأستاذ شرودر #مقطوصة9" 2 أى نبا إذا قامت
بين | »ب فلا يمكن أبدا أن تقوم بين ب وبين حد ما ثالث . وبلغة الرياضة
يكون مربعها صفرا . فهذه العلاقات لا ينشأ عنها اختلاف علامة .
وجميع المقادير ذات العلامة 5 أدى بحثنا السابق إِمدّا علاقات» أو تصورات
مركبة تدخل العلاقات فيها . ولكن ماذا نحن قائلون فى أمر أحوال التقابل العادية
كالخير والشر » اللذة والألم » الحمال والقبح » الرغبة والنفور ؟ أما الزوج الأخير
فى غاية التعقيد » ولو عرضنا لتحليلهما لبسطت عنهما أحكاماً أجمعت الاراء
على بطلانما . أما بالنسبة للأزواج الأخرى فيبدو عندى أن تقابلها من نوع شديد
)١( وهذا يحتاج إن الانتقال من أحد المستويين إلى الآخر يجب أن يم بطريق إحدى الزوايا
الحادة الحادثة من تقاطعهما .
؟) انظر .428 .ص ,111 ٠01 ,عازعمآ ععل وعطععلة . هذا ود الأستاذ بير مثل هذه
4 المي ارس مسن
العلاةات يالى لا تتكرر
اه
الاختلاف عن العلاقتين اللاممائلتين المتبادلتين بالعكس ٠ والأؤلى أنهما أشبه
بتقابل الأحمر والأزرق : أو بمقدارين مختلفين من نوع واحد . وتختلف الأزواج
من التقابل المذكورة آنا عن هذه الأنواع من التقابل الى تقوم على ما يمكن
تسميته باللاتوافق التركيى '' تؤتلاط :سمدم ءنعطصر ٠ بأن الأولى لا تشتمل
إلا على حدين لامتوافقين فقط بدلا من متسلسلة بأسرها . ويقوم اللاتوافق على
أن حدين ها بالطبع لا متوافقان » لا يمكن أن يتعايشا فى نفس الموضع الزمكانى »
أو لا يمكن أن يكونا محمولين لموجود واحد . أو بوجه أعر لا يمكن أن يدخلا معا فى
قضيتين صادقتين من صورة معينة لا تختلفان إلا فى أن إحداهما تشتمل على أحد
اللامتوافقين والأخرى تشتمل على الثانى . وهذا النوع من اللاتوافق ( الذى ينتمى
عادة” بالنسبة لفصل ما من القضايا إلى حدود متسلسلة معينة ) فكرة فى غاية الأهمية
فى المنطق العام : ولكن ليس متطابقا بأى شكل مع الاختلاف بين العلاقات
المتبادلة بالعكس . الواقع هذه العلاقة الأخيرة حالة خاصة للمثل هذا اللاتوافق »
ولكنها الحالة الخاصة الوحيدة الى ينشأ عنها اختلاف العلامة . وهكذا بمكن أن
ننهى مناقشتنا بأن كل اختلاف علامة ينشأ أصلا من علاقات لا متائلة متعدية »
ثم يمتد هذا الاختلاف عنما بالترابط إلى حدود لها صلات متعددة بتلك العلاقات7")
ولكن هذا تابع داتما للتقابل الأصلى الناشى' عن اختلاف اللحهة .
.57١-|9!صضص)960 كبردج ١ انظر كتاب وفلسفة ليبنتز, من قلم المؤاف )١(
)١( ف الاقتصاد الرياضى يمكن أن ذمتير الأم واللذة إيجاباً وسلبا دون ارتكاب خطأ منطق
وذلك طبقاً للنظرية (ولا ريد الخوض فى ها النفسافية ) القائلة بأن المره جب أن يأخذ أجرأ على
تحمله الأم » ويحب أن يدفع أجراً للحصول على لذة . و بذلك يرتبط تقابل الأم واللذة بالحصول على المال
«دفعه ع وهذا تقابل إيحاب وسلب فى مفهوم الحساب الابتدائى .
الباب الثامن والعشر ون
قَْ الفرق بين المتسلسلاات المفتوحة والمقفلة
114 وإذ” قد بلغنا آخر الشوط فى المناقشات المنطقية البحتة عن الرتيب »
فلنوجه عنايتنا فى حرية فكر إلى الحوانب الألصق بالرياضة من الموضوع . ولا كان
حل أقدم المتناقضات وأليقها بالنظر فى فكرة اللامباية معتمداً فى أساسه على فلسفة
صحيحة عن الترتيب ٠ فلا مناص من الحوض فى مسائل فلسفية ؛ لا لها داخلة
فى موضوعنا » بل لأن معظ الفلاسفة يظنونها كذلك . وسنحصد ما زرعنا خلال
بقية هكذا الكتاب .
السؤال الذى سنعرض لناقشته فى هذا الباب هو : هل يمكننا أن نميز فى مهاية
. الأمر بين المتسلسلة المفتوحة والمقفلة؟ وإن أمكننا ذلك فعلى أى أساس يقوم القييز ؟
لقد رأينا أن جميع المتسلسات من الناحية الرياضية مفتوحة » بمعنى أنها كلها تتولد
من علاقة لا معائلة «تعدية . أما من الناحية الفلسفية فلا بد لنا من المييز بين
الطرق المحختلفة الى بمكن أن تنشأ عنما هذه العلاقة . وبوجه خاص لا يجب أن
نخلط بين الحالة الى لا تتطلب هذه العلاقة فيها رجوعا إلى حدود أخرى » وبين
الحالة البى تكون مثل هذه الحدود جوهرية . ومن الواضح عمليا أن ثمة فرقاً ما بين
المتسلسات المفتوحة والمقفلة مثلا بين خط مستقم ودائرة 4 أو بين تفاتكرا بلس
وجماعة تتقارض الثناء . ومع ذلك ليس من السهل بيان الفرق على وجه الدقة .
© ا حيث يكون عدد الحدود فى متسلسلة متناهيا ٠ وتتولد المتسلسلة
بالطريقة الأولى الى شرحناها ف الباب الرابع والعشر ين ٠ فإن الطريقة الى بها نحصل
على علاقة متعدية من أخرى غير متعدية نبدأ بها ٠» تختلف تماماً سب المتسلسلة
أمفتوحة هى أم مقفلة ؟ . فإذا فرضنا ع العلاقة المولدة . بم عدد الحدود فى
متسلسلة » نشأ عن ذلك حالتان . وإذا رمزنا إلى علاقة أى حد بالذى ليه
لل واحدا بالرمز ع" » وهكذا للقوى الأعلى. فإن علاقة ع ليس ا إلا إحدى
قيمتين : صفر و«التطابق . ( بفرض أن ع علاقة واحد بواحد) . لأننا إذا بدأنا
2
6:
بالحد الأول » ( بفرض وجود مثل هذا الحد : نشنبى مع عنه-١ إلى الحد الأخير » ,
وبذلك لا يعطى ع** حداً جديدا : وليس ثمة حالة لعلاقة ع** . ومن جهة أخرى
قد يحصل إذا بدأنا بأى حد أن يرجع ينا عل إلى ذلك الحد مرة أخرى . وهاتان
الحالتان هما البديلتان الوحيدتان الممكنتان . وى الحالة الأول نسمى المتسلسلة
مفتوحة » وق الثانية نسميها مقفلة . وللمتسلسلة فى الحالة الأولى بداية وماية
محدودتان » وليس الها 5| هو الحال فى زوايا المضلع حدود معينة .
وى الحالة الأولى' العلاقة اللامئاثلة المتعدية هى علاقة منفصلة ٠ هى ” قوة
ع ليست أكبر من الحدود النونية ناقصا واحد » ( له )١ “ وإذا استبدلنا بهذه
العلاقة ع علاقة يمكن أن نسميها ع تصبح متسلسلتنا من الصنف الثالى من
الأصناف الستة . ولكن فى الخالة الثانية لا يمكن أن نفعل هذا الرد البسيط إلى
الصئف الثانى » لأنه فى هذه الحالة بمكن اتخاذ أى حدين من المتسلسلة وليكن
| » م ليكونا قوة أو قوة ع على حد سواء . ويصبح السؤال عن أى حدود ثلاثة
بين الحدين الآخرين أمراً تحكميا تماما . وقد نستطيع الآن أن 'ند'خل أولا علاقة
الانفصال ومنهءدمءة بين حدود أربعة. ثم بعد ذلك علاقة الحد الحامس النانجة
كا هو مبين فى الباب الحامس والعشر ين . ثم بعد ذلك نعتبر ثلاثة حدود من علاقة
الحدود الحمسة ثابتة . فنجد أن العلاقة الناتجة عن الحدين الآخرين متعدية
ولامهاثلة . ولكن هنا اختيار الحد الأول فى متسلستنا تحكمى تماماً » ولم يكن
كذلك من قبل ٠ كا أن العلاقة المولدة هى فى الواقع حد واحد من خمسة لاا من
اثنين . ومع ذلك هناك طريقة أبسط فى الحالة الى ننظر فيها ٠ ويمكن توضيح
هذه الطريقة بها يأقى : فى متسلسلة مفتوحة أى حدين | » م يعرفان جهتين يمكن
وصف المتسلسلة بهما » جهة منهما هى | الى تأنى قبل م » وجهة هى م تألى قبل ١ .
وعندئذ يمكننا القول عن أى حدين آخرين سه . صء أن جهة اللرتيب من سه إلى
صء هى عين جهة التَرتيب من ١ إلى م ٠ أو أنها مختلفة حسب الأحوال . وبهذة
الطريقة إذا اعتبرنا » م ثابتين » سه . صسء متغيرين ٠ نحصل على علاقة
متعدية لا متّائلة بين سء : صء ناتجة من علاقة متعدية لا متائلة قائمة بين الزوج'
س. ء ص وبين الزوج ١ و6 ١ على حسب الحالة ) . ولكن هذه العلاقة.
المجعدية المائلة بمكن عبد التجريد مونعدنوطاد؟ه امعدنرم أن تحلل فنجد أنها'
66
حاصلة على نخاصية مشيركة » وهى فى هذه الحالة أن ب » م ثم سم ء صء لما علاقة
مولدة بعين الحهة . و بذلك لا تكون العلاقة الرباعية الحدود جوهرية ى هذه الحالة .
ولكن ف المتسلسلة المقفلة لا تعرف ؛ و م جهة المتسلسلة حى حين يقال لنا إن ١
تسبق م » إذ يمكن أن نبدأ من ١ فنصل إلى م من أى اتجاه شئنا . غير أننا إذا
أخذنا حدا ثالنا ليكن : وقررنا أن نسير من | إلى م مارين ب : فى طريقنا » عندئذ
تتحدد جهة المتسلسلة . والامتداد طععميئو وم إما يشتمل على جزء واحد من
المتسلسلة دون الآخر . مثال ذلك يمكن أن نذهب من إنجلرا إلى نيوز يلندا إما من
الششرق وإما من الغرب ٠ لكن إذا قررنا المرور بالهند فى الطريق فلا بد أن نذهب
شرقا . ولنتأمل الآن حدا جديدا ليكن ك ؛ له موضع محدود فى المتسلسلة الى
تبدأ من ١ ووتصل إلى م مارة ب » فنجد أن ك إما أن تأنى بين ١ » ء أو بين و » م
أو بعد م . وهكذا فإن العلاقة الثلاثية الحدود | » و ء م كافية فى هذه الحالة لتوليد
متسلسلة معيئة تماماً . وعندئذ تقوم علاقة فابلاتى الحماسية الحدود على ما يأنى :
. أنه بالنسبة للترتيب ١ م تأى ك قبل ( أو بعد) أى حد آآخر ل من المجموعة .
وليس من الضرورى أن نلجأ إلى هذه العلاقة فى الحالة الحاضرة ما دامت العلاقة
الثلائية كافية . وهذه العلاقة الثلاثية الحدود يمكن تعر يفها صوريا على النحو التالى:
هناك بين أى حدين من المجموعة علاقة هى قوة ع أقل من النونية . ولتكن العلاقة
بين| » و هى عس ء والعلاقة بين | » م هى عم . فعندئذ إذا كانت سه أصغر
من صء عيّنَا جهة واحدة ( | و م . وإذا كانت سه أكبر من صم عيدنا المهة
الأخرى . وكذلك سيكون بين ١ ء :العلاقة غمصس . وبين ٠ء م العلاقة
عسى . فإذا كانت سه أصغر من ص,ء . كانت بم سه أكبر من به صعء
وإذن كان اللاتمائل بين الحالتين مناظراً لما بين ع ء خم . وحدود المتسلسلة
ترتب ببساطة بالترابط مع عدديها س. . صء ء بحيث تسبق الأعداد الأصغر
الأكبر . وهكذا لا حاجة هنا إلى العلاقة الحماسية : ما دام كل شىء خاضعا
للعلاقة الثلاثية » وهذه بدورها ترتد إلى علاقة متعدية لا مائلة لعددين . ولكن
7 أن الممساسلة المقفلة لا تزال متميزة عن المفتوحة بأن اختيار حدها الأول
"تحكمى .
5 وتنطبق مناقشة شديدة الشبه بذلك على ال حالة الى تتولد فيها المتسلسلة
إن
منعلاقات ثلاثة حدود . ولكى نحتفظ بعاثل علاقة واحد بواحدمع الحالة السابقة”
سنضع هذه الفروض . لتكن هناك علاقة ب لحد واحد مع حدين آخرين» ولنسمى
الحد الواحد الوسط والحدين الآخرين الطرفين . ولنفرض أن الوسط لا ينفرد بالتحديد
إلا حين يعلم الطرفان : ولنفرض أن أحد الطرفين لا يتحدد إلا بواسطة الوسط
والطرف الآخر . ثم لنفرض بعد ذلك أن كل حد يقع وسطا بقع كذلك طرفاً »
وأن كل حد يقع طرفا ( باستثناء حالتين على الأكثر ) يقع كذلك وسطا . وأخيرا
إذا كانت هناك علاقة ح وسطها : ثم ب » , طرفاها . فليكن هناك داتما ( فما عدا
إذا كان ب أو و أحد الحدين الاستثنائيين الممكئين ) علاقة ب هى الوسط » حم
أحد الطرفين : وأخرى فيها هى الوسط » ح أحد الطرفين . فعندئذ لا يقع ب » حم
معاً إلا فى علاقتين . هذه الحقيقة تؤلف علاقة بين ب » ح ء وإن يكون هناك
سوى حد واحد بجانب ب له هذه العلاقة الديدة مع ح . وبواسطة هذه العلاقة
إذا كان هناك حدان استثنائيان » أو لم يكن هناك سوى حد واحد إذا كانت
المجموعة لانهائية » فيمكن أن ننشى؟ متسلسلة مفتوحة . فإذا كانت العلاقة الثنائية
الحدين لامتائلة فالأمر واضح » ولكن يمكن البرهنة على نفس النتيجة إذا كانت
العلاقة الثنائية الحدين مّائلة” . ذلك أنهسيكونعند كل نمايةواتكن | علاقةلامعائلة ١!
مع ان الوحت الل هو وستظ نية (واية خل ار ما ل وهدة العلاقة![ذا مريت
فى القوة النونية للعلاقة الثنائية الحدين . حيث ير + ١ هو أى عدد صميح أصغر
هن عدد حدود المجموعة » أعطت علاقة تقوم بين ١ وبين عدد (لا يزيد على
نم + )١ من حدود المجموعة ليس فيها سوى حد واحد فقط هو بحيث لا يعطى
أى عدد أصغر من بم علاقة | مع هذا الحد . وبذلك نحصل على ترابط الحدودنا
مع الأعداد الطبيعية 1دس0دم البى تولد متسلسلة مفتوحة فيها ؛ أحد طرفيها .
أما من ناحية أخرى إذا لم يكن لجموعتنا حدود استثنائية ولكنها متناهية » فسنحصل
عندئذ على متسلسلة مقفلة . ولنفرض أن علاقتنا الثنائية الحدين هى ىء ٠ ولنفرض
أولا أنها مائلة . (إنها متّاثلة إذا كانت علاقتنا الأصلية الثلاثية الحدود مهائلة
بالنسبة للأطراف . عندئذ كل حد ح من مجموعتنا سيكون له العلاقة ىء الحدين
آخرين هما بالنسبة لبعضهما العلاقة ى.' . وق جميع العلاقات من صورة وه '
تقوم بين حدين «علومين سيكون هناك علاقة م هى الأصغر وهذه هى الى يمكن
/اه
تسميبها العلاقة الرئيسية للحدين . ولنفرض أن عدد حدود المجموعة لم . عندئذ سيكون
لكل حد من الجموعة علاقة أساسية وءس لكل حد آخر »حيث أن سه هو عدد
صميح ما ليس أكبر من © . فإذا فرضنا أى حدين ح ء من المجموعة » بشرط
ألا يكون عندنا ح وى سل ( وهى حالة لا تنشأ إذا كان مم فرديا ) فلنفرض وجود
عو مق عيك ناد دن درون 2 :0 وهذا الفرض يعرف جهة” للمتسلسلة
يمكن أن نوضحها كالآتى : إذا فرضنا ح ىء”ك » حيث صر أصغر أيضا من
© » فيمكن أن تنشأ ثلاث حالات بفرض أن صء أكبر من سه . فقد نحصل
على ص و م-م|ق » أو إذا كان س + ص أصغر من 4 فقَد نحصل على
س وءس+ساك أو إذا كانت س, + اص أكبر من 2 فقد نحصل على
وه لمحب لك ؛ ( ونحن نختار دانما العلاقة لرئيسية) . وهذه الحالاات
6516
' ونقول فما بخقص مه الحالات الثلاث إنه بالنسة للجهة ح ع ( )١ لك تأق
بعد حى و وفى ( 7)؛ ( ") لك تأ قبل ح.صس. وإذا كانتصء أصغر من سه»
وكان ع ى.سسمص . فستقول إن كع توجد بين ح » ص فى اتجاه ح ص . فإذا
كان له عددا فرديا شمل ذلك جميع الأحوال » أما إذا كان زوجا فعلينا أن ننظر
فى الحد ح فنجد أنه بحيث بكون ح وه 4 < . وهذا الحد هو إن شئت أن تقول
مقابل بالقطب إدوممن«ج 1ح . ويعرف بأنه أول حد فى المتسلسلة حين تأخذ
بمنبج التعريف سالف الذكر. وإذا كان بم فردياً كان الحد الأول هو ذلك الحد
م الفصل (") الذى تكون فيه حا وه محا لى ء وبذلك تكتسب المتسلسلة
ترتيبا معينا » ولكن اختيار الحد الأول كجميع المتسلسلات المقفلة تحكمى
مه
50 الحالة الوحيدة الباقية ه تلك البى تبدأ من علاقات رباعية الحدود ٠
ويكون للعلاقة المولدة خمسة حدود على التحديد . وهذه ه حالة الهندسة الإسقاطية
البى نجد فيها أن المتسلسلة هى بالضرورة مةفلة » أى عند اختيار حدودنا الثلاثة.
الثايتة للعلاقة الخماسية الحدود » فليس ثمة أى قيد لاختيارنا » ويمكن أن يعرف
أى واحد من هذه الثلاثة بأنه الأول .
8 - الخلاصة : كل متسلسلة من حيث القن عن لاف يه
لامهائلة بين أى حدين من المتسلسلة » فهىمفتوحة عندما لا يكون لها بداية »
أو كان لها بداية ليست تحكمية . وتكون مقفلة حينيكون اختيار بدابها تحكميا ,
فإذا كانت ع هى العلاقة المكونة كانت بداية المتسلسلة حدا له العلاقة ع لا العلاقة
ع . وحيث تكون ع علاقة أصلية ثنائية الحدين: فيجب أن تكون البداية إن'
وجدت معينة تماماً . ولا يمكن أن تكون البداية تحكمية إلا حين تتطلب ع حدا ما
در ( يكن أن يعتبر ثابتا) بجانب الحدين اللذين تكون العلاقة بالنسبة لما
«تعدية ولا ههائلة ( وعلينا أن نعتبر الحدين متغيرين ) . يْرتب على ذلك أنه فى جميع
أحوال المتسلسلات المقفلة, يجب أن تكون العلاقة المتعدية اللامهائلة علاقة” تتطلب
حدا ثابتا أو أكير من حد ثابت بالإضافة إلى الحدين المتغيرين ٠ على الرغم من
وجود علاقة واحد بواحد لا معائلة إذا كانت المتسلسلة منفصلة مام ىوذل
هذا واو أن كل متسلسلة مقفلة يمكن ا
مفتوحة يكن أن تصبح مقفلة : إلا إنه يوجد بالنسبة لطبيعة العلاقة المولدة تمييز
حقيى بيهما ؛ ولكنه مع ذلك تمييز أهديته أدنى إلى أن تكون فلسفية منها رياضية .
الباب التاسع والعشرون
المتواليات والأعداد الترتيبية
و حان الآن الوقت أن ننظر فى أبسط أصناف المتسلسلات اللامتناهية »
نععى تلك الى تنتمى إليها الأعداد الطبيعية ادسنضدد ذاتما . سأرجئ إلى الخزء
للتالى البحث قف جميع الصعوبات المفروضة الناشئة عن لا نبائية مثل هذه
المتسلسلات » مقتصرا ههنا على بسط النظرية الأولية عنها فى صورة لا تفرض
الأعداد(ا؟ ,
المسلسلات الى نبحها الآن هى تلك الى يمكن أن ترتبط حدا بحد مع
الأعداد الطبيعية دون حاجة إلى أى تغيير فى ترتيب الحدود . ولكن لما كانت
الأعداد الطبيعية حالة” خاصة لمثل تلك المتسلسلات » وكان فى الإمكان استنباط
جميع الحساب والتحليل من أى واحدة من هذه المتسلسلات دون رجوع إلى العدد »
فقد بحسن أن نقوم بتعريف المتواليات البى لا تتطلب أى رجوع للعدد .
المتوالية متسلسلة منفصلة » ذات حدود متعاقبة » لها بداية ولكن ليس اللا
مباية » يها أيضا اتصال . وكنا قد فسرنا معى الاتصال فى الباب الرابع
والعشرين » غير أننا لا نستطيع أن نقدم هذا التفسير الآن . وبوجه عام إذاكانت
المتسلسلة قن مميلة اتسيف إل خزاين ان كن كل مها متسلسلة قائمة بذانها .
فالأعداد واللحظات كلاه بكون ٠:سلسلة غير متصلة » وكذلك الحطان المستقهان
المتواز يان . وحيث تنشأ المتسلسلة أصلا بواسطة علاقة متعدية لا مماثلة 0
التعرير عن الاتصال سذاء الشرط »© وهو أن أى حدين من متساسلتنا يجب أن
تكون لما العلاقة المولدة . ولكن المتواليات فهى متسلسلات من النوع الذى
يمكن أن يتولد بالطريقة الأول من الطرق الست ٠ أى بعلاقة واحد بواحد
لا متائلة . ولكى ننتقل من هذه العلاقة إلى علاقة متعدية استخدمنا من قبل العدد »
60 الياب الحالى محازى ماما حساب ديالو . انظر عدو سقط دكا عل ععلطاتصسضة؟
ل 01.11 وقد حلت هذا الموضوع من الناحية الرياضية فى محلة 111/آ مضه 1'11 .واولا .5031
ويرجع ا موضوع أساسا 9 ديديكند وجورج كانتور 8
64
6
معرفين العلاقة المتعدية بأنها : أى قوة لعلاقة الواحد بالواحد .وهذا التعريف.
لا يصلح الآن ما دمنا سنستبعد الأعداد . ومن «فاخر الرياضة الحديثة ألما
استطاعت الملاءمة بين مبدأ قديم وبين مطالب هذه الحالة .
والتعريف المطلوب علينا أن نحصل عليه بالاستنباط الرياضى . فالمبدأ الذى
كان يعتبر عادة جرد حجة لتوضيح نتائج لا سبيل إلى البرهنة عليها بأى دليل
آخر » أصبح الآن أوثق فحصا . فتبين الآن أنه المبدأ الذى يعتمد عليه قانون
)١)
التبادل وإحدى صور قانون التوزيع ''' » وذلك بمقدار ما يتصل بالأعداد الرتيبية .
وهذا المبدأ الذى يفسح للمتناهى أوسع مدى تمكن . هو العلامة المميزة للمتواليات .
ويمكن تقريره على النحو الآلى :
إذا علم أى فصل من حدود هر الذى ينتمى إليه الحد الأول من أية متوالية والذى
ينتمى إليه حد المتوالية الما بعد معككه »«عص أى حد من المتوالية المنتمية لهر » إذن
كل حد من المتوالية ينتمى [ هر .
ويمكن صياغة المبدأ عينه فى صورة أخرى . ليكن م ( س ) دالة قضية تصبح
قضية محدودة مى علمت س . إذن ي ( س) دالة سن ٠. وتكون بوجه عام صادقة
أو كاذبة بحسب قيمة س . فإذا كان سء عضوا فى متالية ٠. فليكن س, دالا”
على ما بعد سه . وليكن في ( س) صادقا حين يكون سء أول حد فى متوالية
معينة » وليكن م ( عقب سعء) صادقا كلما كان بي ( س) صادقا ٠ حيث سه
أى حد فى المتوالية . فيترتب على ذلك بمبدأ الاستنباط الرياضى أن يي ( سه) صادق
دائما » إذا كان سء أى أى حد فى المتوالية المذكورة .
والتعريف الكامل للمتوالية هو ما بأنّى : ليكن ع أى علاقة واحد بواحد
لا ممائلة ؛ ى فصل بحيث يكون لكل حد من ى العلاقة ع لحد ما ينتمى كذلك
للفصل ى . وليكن هناك على الأقل حد واحد من الفصل ى ليس له العلاقة ع
لأىحد من ى . وايكن هر أى فصل ينتمى له على الأقل أحد حدودى » وينتعى
له كذلك كل حد من ى له العلاقة ع لحد ما ينتمى لكلا ى» ى . وليكن ى بحيث
)/+ هذه الصورة ا - (8 +1 ثث. والصورة الأخرى وهى | (م )١(
فتكون بذلك مستقلة عن الاستنباط ٠ و8 + |/9) تصم كذلك على الأعداد الترتيبية اللانهائية
الرياضى 5
5
يكون داخلا تماماً تحت أى فصل هر يحقق الشروط السابقة . إذن ى » مرتبا هذا
الترتيب بالعلاقة ع » فهو متوالية"") .
8٠ ويمكن إثبات أن كلشىء عنهذه المتواليات له صلة بالحساب
المتناهى . فنبين أولا أنه لا يمكن وجود إلاحد واحد من ى ليس له العلاقة تم بأى
حد من ى . ثم نعرف بعد ذلك الحد الذى له العلاقة ع مع سه بأنه الثالى لس
(من حيث أن سه هى ى) والذى يكتب أنه عقب سه . وبذلك يمكن
بسهولة أن نعلم التعريفات وخصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة ٠ والحدود
الموجبة والسالبة » والكسور المنطقة ودمنعد؟ لددههم : ويسول بيان أنه
بين أى كسرين منطقين كسر ثالث دائما . ومن هذه النقطة يسهل التقدم إلى
اللامنطقات والأعداد الحقيقية .1د, .
وبصرف النظر عن مبدأ الاستنباط الرياضى ٠ شما يهمنا أساساً عن هذه
العملية أنها تبين أن الحواص ااوحيدة المتسلسلة أو الترتيبية للأعداد المتناهية مستخدمة
فى الرياضيات العادية . وهى الحواص البى يمكن تسميتها بالحواص المنطقية الحارجة
تماماً عن الموضوع . وأعنى بالحواص المنطقية للأعداد تعريفها بأفكار منطقية بنة .
باه القملة الى وضحناها فى الحزء الثانى يمكن أن نقدم لها ههنا موجزا مختصرا .
فنقول : يتبين أولا أن علاقة الواحد بالواحد يمكن أن تقوم بين أى فصلين صفر »
رط م 1 دل ل ميد ا من هوا 2 عن" تخدلف عن
س. » فإن س لا يمكن أن يكون ى . والأمر كذلك فى ف . وإمكان مثل هذا
الترابط بين الواحد بالواحد هو الذى نسميه تشابه فصلين ى . ف . والتشابه
وااعدائصنه من جهة أنه ميائل" ومتعد يحب أن يكون قابلا للتحليل ( بمبداً
التجريد ) إلى حصوله على خاصية مشتركة . وهى الى نعرفها بأنها عدد أى فصل
من الفصلين . وحين يكون للفصلين ى .ف الحخاصية المذكورة فإنا نقول إن عددهما
واحد » وكذلك فى الأعداد الأعلى . والتعريف العام للأعداد المتناهية يتطلب
)١ ) ينبفغى يل أن المتسلسلةٌ المفتوحة المنفسلة المتولدة بعلاقة متعدية عكن داماً ردها كا
رأينا فى الباب السابق إلى علاقة متوادة عن علاقة واحد بواحد لا مّائلة » واككن ذلك !ما بشرط أن تكون
“المتسلسلة إما متناهية أو متوالية
(؟) انظر مقالبى عن منطق العلاقات فى مجلة 1/11 ,1021
1
الاستنباط الرياضى » أولا تشابه الكل والدزء » ولكنه بعطى داتماق صيغة منطقية محتة بر
والأعداد معرفة” على هذا النحو ه الى تستخدم فى الحياة اليومية » وهى
ا حوهربة فى أى قول عن الأعداد . وأن يكون للأعداد هذه الحواص المنطقية هو
مصدر أضيتها . ولكن الحساب العادى لا يستخدم هذه الحواص الى يمكن أن
تعرى الأعداد عما دون أى مساس بصدق الحساب والتحليل . فالمطلوب ف الرياضة
إنما هو أن الأعداد المتناهية تكن متوالية . وهذا هو السببق أن الرياضيين - «ثل
هلمهولتز وديديكند وكرونكر قد ذهبوا إلى أن الأعداد الرتيبية متقدمة على .
الأصلية واددتة:ده » لأن الحخواص الترتيبية للأعداد هى وحدها الداخلة فى
الموضوع . ولكن النتيجة القائلة بأن الترتيبيات متقدمة على الأصليات يبدو أمها
نشأت من خلط . ذلك أن الترتيبات والأصليات هما على حد سواء منوالية » وهما
بالضبط عين الحواص الترتيبية . ويمكن إثبات جميع الحساب ابتداء” من أى منهما
دون رجوع لاخر ء من حيث أن قضاياهه! متطابقة رمزيا » ولكن مختلفة فى المعى .
ولكى نثبت أن الترتيبيات متقدمة على الأصليات ٠» لا بد من بيان أن الأصليات
إنما بمكن تعريفها بمميغة الترتيبيات. وهذا باطل لأن التعريف المنطى للأصلبات |
مستقل تماماً عن البرتيبيات 27 . ويبدو فى الحقيقة أنه لا وجه ى الاختيار
في يختص بالتقدم المنطى بين الترتيبيات والأصليات » سوى أن وجود الترتيبيات
مستنبط من متسلسلة الأصليات . وكا سترى ف الفقرة التالية يمكن تعريف الرتيبيات
دون رجوع إلى الأصليات ؛ ولكنها حين تعرف يتضح أنها تستازم الأصليات .
وبالمئل بمكن تعريف الآ صليات دوك اارجوع إلى الترتيبيات » ولكنها ى جوهرها
تكون متوالية » وجميع لمتوليات كا سنبين ذما بعد تستلزم بالضرورة البرنيبيات.
7١ لم نستطع حتى الآن تحليل الترتيبيات تحليلا صحيحا » بسب التحيز
الشائع ضد العلاقات . فالناس يتحدثون عن المتسلسلة باعتبار أنها تشتمل على
حدود معينة مأخوذة” فى ترتيب معبن » وتنطوى هذه الفكرة بوجه عام على عنصر
نفسانى . فجميع امجموعات من الحدود لها بصرف النظر عن الاعتبارات النفسانية
كل ضروب من الترتيب هى قادرة عليه » أى أن لها علاقات متسلسلة ذات مجالاات
هى منظومة معطاة من الحدود» وهذه العلاقات تنظم تلك الحدود فى أى ثرتيب ممكن
د ا 0
(1) لقد اعترف الأستاذ بيانو الذى كان معصوياً بشكل ذادر عن الحطأ مبذه الحقيقة . انظر
.390 .م) عامه رقو18 رعىتةاشتصصمع؟
+
وفى بعض الأحوال تكون علاقة” متلسلة" أو أكثر هى الغالبة بوجه خاص »
إما بسبب بساطها أو أهميتها . مثال ذلك أن ترتيب المقدار بين الأعداد » أو ترتيب
القبل. والبعد بين اللحظات ٠ بظهر أنه بكل تأكيد الترتيب « الطبيعى » ء وأن أى
ترتي آخر يبدو أنه يقحم صناعيا بمحض إرادتنا . وهذا خطأ محض ؛ لأنه لا يمكن
أن نمب الحدود ترتيبا ليس لما من قبل . والأمر النفسانى هو ١ اعتبار » هذا
الترتيب أو ذاك . فنحن حين نقول إننا نرتب منظومة من الحدود فى أى ترتيب
شئنا » فالذى نعنيه فى الواقع أننا نستطيع اعتبار أى علاقات متسلسلة للمنظومة
المعطاة محالها » وأن هذه العلاقات المتسلسلة ستعطى فما بينها توافيق من القبل والبعد
متفقة مع التعدى والارتباط . ويترفب على ذلك أن التَرتيب إذا شئنا الدقة فى التعبير
.ليس خاصة لمنظومة معلومة من الحدود ٠ بل لعلاقة متسلسلة جانها هو المنظومة
المعطاة . فإذا أعطيب العلاقة أعطيت معها مجالها » ولكن إذا أعطى المجال
فلا تعطى العلاقة بأى حال . وفكرة منظومة من الحدود فى ترتيب معلوم » هى
فكرة منظومة من الحدود معتبرة على أمها مجال علاقة متسلسلة معطاة . ولكن اختبار
الحدود أمر زائد عن الحاجة » ويكى جداً اعتيار العلاقة وحدها .
يمكن إذن أن نعتبر العدد الترتيى خاصة” مشتركة لمنظومات من العلاقات
لمتسلسلة الى تولد ترتيبيا متسلسلات متشاببة . ومثل هذه العلاقات هى الى
سأسميها ( الشميسه » موعمعائز © أى إذا كان ىم » ع هما مثل هاتين العلاقتين
فإن مجاليهما بمكن أن يترابطا حدا بحد ؛ إلى درجة أن حدين بين أوهما علاقة ىه
مع ثانيهما ٠ سيرتبطان مع حدين للأول «نهما علاقة ك مع الثانى » والعكس
بالعكس. وهنا » كما فى حالة الأعداد الأصلية » يمكن بمقتضى مبدأ التجريد
أن نعرف العدد الترتيى لعلاقة متسلسلة متناهية معطاة » بأنه فصل مثل هذه
العلاقات . ومن السبل بيان أن العلاقات المولدة للمتواليات متشاببة جميعا . وفصل
مثل هذه العلاقات سيكون العدد النرتيبى للأعداد الصحيحة المتناهية ى ترتيب
المقدار . وعندما يكون الفصل متناهيا فجميع المتساسلات الى يمكن أن تتكون
من حدود متشابهة ترتيبيا ؛ ومختلفة ترتيبيا عن متسلسلات لما عدد أصلى من الحدود
تختلف .أ ومن ثم فهناك ماير بط واحد بواحد للترتيبيات والأصليات المتناهية» وليس
55
ا مثيل بالنسبة للأعداد'اللامتناهية » كما سترى فى الحزء الحامس . نستطيع إذن
تعريف العدد الترتيى ن بأنه فصل العلاقاتث المتسلسلة الى تشتمل مياديبا
ومتهمرمك على 2 ضَ الحدود » حيث 2 عدد أصلى متناه . ومن الضرورى أن
نتخذ هنا اللميادين بدلا من المجالات ولاء:؛ » إلا إذا استبعدنا العدد ١ »
إذ' لا علاقة تستازم التعدد يمكن أن يكون لها حد واحد فى مجاها ؛ على الرغم من
أنها بمكن ألا يكون لها أىحد . وهذا مضايقة عملية بسبب أن د + ١ لا بد من
الحصول عليها بإضافة حد « واحد؛ إلى نجال . والنقطة الى أثرناها تشمل الاصطلاحات
والرموز على حد سواء » وليس لا أى أهية فلسفية .
9م58 ' التعريف المذكور سابمًا للأعداد الترتّبية «باشر وبسيط ٠» ولكنه
لا يعطى فكرة النونية المعتبرة نى العادة أنها هى العدد الترتيى . وهذه الفكرة أشد
تعقيدا : فأى حد ليس قى حد ذاته العدد النوق» ولا بصبح كذلك بمجرد تخصيص
ده - ١ لحدود أخرى. بل الحد هو النونى بسبب علاقة متسلسلة معينة؛ وهذا هو
تعريف العدد النونى » وهو يبين أن هذه الفكرة نسبية ليس فقط باانسبة لسابقاتما
بل لعلاقة متسلسلة متخصصة كذلك . ويمكن بالاستنباط تعريف الترتيبيات.
المتناهية امختلفة دون ذكر الأصليات . والعلاقة المتسلسلة المتذاهية هى علاقة لا تشبه
( ,المعنى المذكور سابقا) أى علاقة تستلزمها » ولكها لا تكافئها . والعدد الترتبى
المتناهى هو عدد يشتمل على علاقات متسلسلة متناهية . فإذا كان جه عددا ترتيييا
متناهيا » كان 3 + ١ عدداً ترتيبيا » بحيث أننا إذا حذفنا الحد الأخير )'١ من
متسلسلة من الصنف 3 + ١ » كان الباق ى نفس الترتيب من صئنف 2 . وبلغة
أكثر فنية » العلاقة المتسلسلة من الصنف 3 + ١ هى علاقة حين تقتصر على
ميذانما لا على مجالها تصبح من الصنف 3 . وهذا يعطى بالاستنباط تعريف كل
عدد ترتيى متناه خاص دون أن تذكر فيه الأصليات أبدا . وهكذا لا يمكجن
القول إن الترتيبات نفترض فى أساسها الأصليات . ولو أنبا أكثر تعقيدا » ما دامت
تفترض كلا من علاقة الواحد بالواحد والعلاقة المتسلسلة . على حين أن الأصليات
)١( الحد الأخير من مسلسلة ( إذا وجد) هو الحد الذى ينتمى اعكس الميدان » ولكن إلى
ميدان العلاقة المولدة » أى الحد الذى يكون بعد لا قبل الحدود الأخرى .
56
لا تفرض إلا علاقة الواحد بالواحد .
ويمكن إعطاء عدة تعريفات مكافئة لذلك للعدد الترتيى الخاص بالترتيبيات
المتناهية فى ترتيب المقدار . ومن أبسط التعاريف نهنا العدة ينتمى لأى علاقة
متسلسلة » هى بحيث أن أى فصل >تويه اها ولا يكون صفرا » فله حد أول .
على حين أن كل حد من المتسلسلة له تال مباشر . وكل حد ما عدا الأول له سابق
مباشر . ومرة ثانية الأعداد الأصلية ليست هنا مفروضة من قبل بأى حال .
وقد أخذنا العلاقات المتسلسلة خلال المناقشات السابقة على أنها متعدية
لا علاقات واحد بواحد. لأن علاقات الواحد بالوحد يسول أن تشتق من العلاقات
المتعدية » بيما الاشتقاقاتالعكسية معقدة بعض الشى ء . وعلاوة على ذلك فإن علاقات
الواحد بالواحد لا تصلح إلا لتعريف المتسلسلات المتناهية : وبذلك لا يمكن أن
يشمل استخدامها بحث اللمتسلسلات اللانبائية : إلا إذا أخذت على أنها مشتقة
من المتعديات .
*م” ولعل هذا موضع ذكر بعض كلمات عن الرتيبيات الموجبة والسالبة .
إذا حذفت الحدود الأولى الى عددها 3 من متوالية ( حيث 2 أى عدد متناه)
فلا يزال الباق يكون متوالية وبالسبة للمعولية الجديدة فقد مك أن تعين اللرضيبيات
السالبة للحدود ا محذوفة . ولكن من المناسب لهذا الغرض اعتبار بداية المتوالية الأصغر
على أنها الحد الصفرى ( أى الحد الذى ترتيبه الصفر ) . ولكى نحصل على متسلسلة
تعطى أى عدد ترتيى موجب أو سالب ٠ نحتاج إلى ما يمكن أن نسميه بالمتوالية
المزدوجة .دمنتعءهممم ءإداروق . والمتوالية المزدوجة متسلسلة من شأنها أننا
إذا اخترنا مها أى حد سه . نشأ عن هذا الحد متوالرتان » إحداهما متولدة من
العلاقة المتسلسلة ع . والأخرى من ع . سنعين ! سه العدد الترتيى ٠ ٠ وسنعين
للحدود الأخرى أعداداً ترتيبية موجبة أو 0 حسب انعاء أى مهما لأى واحدة
من المتواليتين البادئتين من سه أما الترتيبات الموجبة والسالبة ذانها فإنها تكون مثل
هذه المتوالية المزدوجة . وهى تعبر أساساً عن علاقة بالأصل امختار تحكميا من
المتإليتين » ويعبر + 2 ٠. 3 عن علاقتين متعاكستين بالتبادل . و بذلك يكون
هما جميع الحواص الى رأينا ف الباب السابع والعشر ب نأمها تميز الحدود ذاتالعلامات.
)هه
الباب الثلاثون
نظرية ديديكند عن العدد
4" - ترجع أساساً نظرية المتواليات «الترتيبات الى بحثناها فى الباب السابق
إلى رجلين هما ديديكند وكانتور . ولا كانت مساهمات كانتور تختص بوجه خاص
باللانهاية فلا حاجة بنا إلى بحثها فى الوقت الحاضر ٠ وكذلك نؤجل البحث فى ١
نظرية ديديكند عن اللامنطقات . أما نظريته عن الأعداد الصحيحة فهى الى
أود الآن بحهباء وهى النظرية المبسوطة فى كتابه صعاطدة عل معلاو مده فهن لهنه موللا
ولن أتقيد عند عرضى هذا الكتاب بعبارات ديديكند بالضبط » إذ يبدو أنه
فى الوقت الذى كتب فيه مؤلفه لم يكن على علم بالمنطق الرمزى ٠ ومع أنه اخترع
الشنىء الكثير من هذا الموضوع مما يدخل فى صمم غرضه ٠ [ إلا أنه كان من
الطبيعى أن يصطنع عبارات غير مألوفة » ولح تكن دائماً مناسبة تماماً مناسبة مثيلاتها .
المصطلح عليها .
وهذه هى الأفكار الأساسية ف الكتاب المذكور ١ :2"( - ثيل هصنالانططة
النظام ( )1١ ؛ - ؟ - فكرة السلسلة «نددك (/19*) ؛ - ٠" سلسلة عنصر ( 44)
4 الصورة المعممة للاستنباط الرياضى (09) ؛ ه - تعريف النظام
اللانبائى المفرد ( ١/ا) . ويستنبط ديديكند من هذه الأفكار الحمسة الأعداد
والحساب العادى . ولنشرع أولا فى تفسير هذه الأفكار ثم نفحص عن الاستنتاج .
هم ( ) إن تمثيل فصل منّا ى هو قانون به يكون لكل حد من حدود ى
وليكن س.ء مثلا » حد واحد لا غير مناظري ( سه) . ولا نفترض ف هذا أولاهل
في ( سم ) تتبع الفصل ى»ء أو (سه) قد تكون عبنم ( صم) إذا كان سه » صه
حدين مختلفين من حدود ى . وبهذا يمكن أن يصاغ التعريف على النحو الآثى :
)١( الطبعةالشائية برنشفيكم84( الطبعةالأرك:188) . و#تويات هذا الكتاب المعير عنه
بر العلاقات موجود فى مقالى فق مجلة .3 ,2 ,1711 ,2024
)١( الأرقام الموجودة دين قوسين لا تشير إلى الصفحات بل إلى الفقرات المقسم الكتاب إليها .
55
و5
إن ثيل دمنهعمعوعءءمع, فصل ى هو علاقة كثير بواحد يشتمل ميدانه
على ى الذى حدوده قد تنتمى أولذ تع إلى ف ؛ ويبرابط كل حد من حدوده
بحدود ى .2١١ ويكون العثيل مشابمأ إذا كان س.ء يختلف عن ص » وكلاا ينتمى
إلى ى » عندئذ م ( سه ) يختلفعن ي ( صم) ؛ أىعندما تكون العلاقة المذكورة
علاقة واحد بواحد . وديديكند يبين أن التشابه بين الفصول منعكس ومهاثل ومتعد »
ويلاحظ ( 4") أن الفصول يمكن تصنيفها بالتشابه مع فصل معلوم وهذا
إيحاء بفكرة أساسية فى مباحث كانتور .
( ؟) إذا وجدت علاقة » سواء أكانت علاقة واحد بواحد أم كثير
بواحد » لا ترتبط مع الفصل ى إلا بحدود تنتمى إلى ذلك الفصل » فإن هذه
العلاقة يقال علبا إنها تكون تمثيلا ذى ق ذاته (5") : وبالنسية هذه
العلاقة يسمى ى سلدلة (لا) بعبارة أخرى أى فصل ى فهو سلسلة
بالنسبة لأى علاقة كثير بواحد إذا كان ى داخلا فى ميدان العلاقة » وأن المترابط
مع ى هو دائماً ى ذاته . ومجموحع مترابطات 5ع6د[ع+رمه فصل يسمى « صورة )
4 الفصل . وهكذا فإن السلسلة هى فصل صورته جزء أو كل نفسه . ولفائدة
القارئ غير الرياضى بحسن ملاحظة أن السلسلة بالنسبة لعلاقة واحد بواحد
لا بمكن أن تكون متناهية بشرط أن يكون لها أى حد لا ينتمى إلى صورة السلسلة »
لأن مثل هذه السلسلة يحب أن تشتمل على نفس عدد الحدود كجزء صميح
دم معمممم من ذانا'"' .
م٠ (") إذا كان ١ أى حد أو أى مجموعة من الحدود : فد يكون
هناك بالنسبة لعلاقة كثير بواحد معلومة سلاسل كثيرة تشتمل على ١ . والحزء
المشترك بين جميع هذه السلاسل ٠ والذى يدل عليه قولنا ١ . » هوما يسميهديديكند
سلسلة ١ ( 44) . مثال ذلك إذا كان ١ هو العدد د » أو أى منظومة من الأعداد
000 علاقة كثير بوالحد ع لاق شبيبة بعلاقة كية ممقدارها . وهذه العلاقة فا الحد الأيمن الذى
نتجه إليه العلاقة » لا يتحدد إلا حين يع الحد الأيس . أما هل الفكس ديح فأمر تركه بغير أى يفصل
فيه . وهكذا علاقة واحد بواحد هى حالة خاصة من علاقة كثير يواحد .
(؟) قوله جزءصحميح انعط] معغطءعبارة تشبه قولذا كسر صصيج صمنعة؟ معممءط » وتدل على
المزه لا الكل .
14
د أقلها » كانت ساسلة ١ بالنسبة للعلاقة أصغر من ١١ » هى جميع الأعداد التى
لا تقل عن 2 . ٍ
8 (4) ثم يشرع ديديكند (09) فى بسط نظرية هى صورة معممة
للاستنباط الرياضى . وتجرى النظرية على النحوالتالى : ليكن ١ أى حد أو أى
منظومة من الحدود يشتمل عليها الفصل سء ٠ ولتكن صورة الحزء المشترك بين سه
وبين السلسلة ١ يحتويها أيض] س.. فيترتب على ذلك أن السلسلة ١ يحتويها س2 . هذه
النظرية المعقدة بعض الشى' يمكن أن تصبح أوضح إذا صيغت بعبارة أخرى .
فلنسم العلاقة الى تتولد السلسلة عنها ( أو الأول عكس هذه العلاقة) تتابعاً »
بحيث يكون المترابط أو الصورة هو التالى للحد . وليكن ١ حداً له تال أو #موعة
من مثل هذه الحدود . فالساسلة بوجه عام ( بالنسبة للتتالى) ستكون أى منظومة من
الحدود بحيث ينتمى تالى عه يا السو لكر لاه ١ الحد المشترك
لجميع السلاسل المشتملة على ١ . ولكن منطوق النظرية يبرنا أن ١ متضمنة فى
س. : فإذا كان أئ حد من سلسلة ١ هو سء ء فكذلك تاليه . والنتيجة هى أن
كل حد فى السلسة ١ هو س. . هذه النظرية كا هو واضح شبيهة جد بالاستنباط
الرياضى » ولكنها تختلف عنه أولا بأن ١ ليس من الضرورى أن يكون حداً مفرداً »
وثانياً بأن العلاقة المكونة لا يحب أن تكون علاقة واحد بواحد : بل قد تكون علاقة ,
كثير بواحد . ويما هو جدير بالاعتبار حقاً أن فروض ديديكند السابقة تكى للبرهنة
على هذه النظرية .
وم؟ ( ه) وأنتقل إلى تعريف النظام اللامهائى المفرد أو الفصل )7/١( . فهو
يعرفه بأنه فصل يمكن أن يمثل فى ذاته بواسطة علاقة واحد بواحد » ثم يمتد بحيث
يصبح سلسلة لحد مفرد من الفصل لا تشتمل عليه صورة الفصل » وذلك بالنسبة
لعلاقة الواحد بالواحد المذكورة . فإذا سمينا الفصل ل ٠ وعلاقة الواحد بالواحد
ع » نشأ عن ذلك فما يلاحظ ديديكند أربع نقط ىهذا التعريف . )١( صورة ل
متضمنة فى ل » أى كل حد له العلاقة ع معل فهو ل (؟) ل سلسلة حد من
حدوده (") هذا الحد الواحد هو بحيث أنه لا ل له العلاقة ع معه » وبعبارة
أخرى ليس صورة أى حد آخر من ل ( 4 ) العلاقة ع هى علاقة واحد بواحد ؛
54
وبعبارة أخرى التثيل متشابه «دائصة: . والنظام المجرد معرفاً بأنه حاصل على هذه
الحواص ٠ يعرفه ديديكند بأنه الأعداد الترتيبية ( 77#) . ومن الواضح أن نظامه
اللامائى المفرد هو بعينه ما سميناه « متوالية » » وهو يشرع فى استنتاج الحواص
المتعددة للمتواليات . وبوجه خاص بالاستنباط الرياضى (80) مما ينشأ عن
الصورة المعممة المذكورة . فالعدد م يقال إنه أصغر من عدد آخر 2 » إذا كانت
سزسلة 3ج داخلة فى صورة سلسلة م ( 89) » وكا يتبين فى الفقرتين (88 2 )9٠
أله إذا :وقد عدذان مختلفان فأحدهما يحب أن يكون أصغر من الآخر . ومن هذه
النقطة يسير كل شىء ببساطة .
أهم النقط الباقية الى تبدو ذات أهمية بالنسبة لغرضنا هى تعريف
الأعداد الأصلية . فهو يبين )١*5( أن جميع الأنظمة اللانهائية المفردة تتشابه
فما بها وتشبه الترتيبات » وبالعكس ( ١18 ) أى نظام شبيه بنظام لا نمائى مغرد
فهو لا نمانى مفرد . وإذا كان النظام متناهياً. فهو شبيه بنظام نرمز له بقولنا ى 2 »
حيث ى 2 تعى جميع الأعداد من ١ إلى 2. بما فييا ١ : 2: : والعكس بالعكس
)١11١9 . ولا يوجد إلا عدد واحد 2 له هذه الخاصية بالنسبة لأى نظام متناه
معلوم ؛ فإذا اعتبرناه فى علاقته ببذه الخاصية يسمى « عدداً أصلياً ؛ اممتفج
»#طصسسم ٠» ويقال إنه عدد العناصر الى يتألف منها النظام المذكور )151١( .
وأخيراً نصل إلى الأعداد الأصلية . واعمّادها على الترتيبية بحسب تفسيرى لرأى
ديديكند هو كالآنى : بسبب ترتيب الترتيبيات فكل عدد ترتيى 3 يعرف فصلا
من الترتيبيات ى 2 ويشتمل على كل ما لا بتلوه . ويمكن تعريفها بأنها جميع
ما لا تشتمل عليه صورة سلسلة 2 . هذا الفصل من الأعداد الترتيبية قد يكون
شبيهاً بفصل آخر يمال عنه حينئذ إن له العدد الأصلى 2 . وإنما كان كل واحد
مها يعرف فغلا سبيت ترتييث الأعداة الزتبينة وهذا كان هذا لريب مفروف؟
من قبل فى الحصول على الأصليات .
١ - ولست بحاجة إلى التنويه بمزايا اللاستنباط السالف الذكر فهى مزايا معتروف
بها من الجميع . غير أن ثمة بعض النقاط تحتاج إلى مناقشة . فمن جهة يبرهن
ديديكند على الاستنباط الرياضى ؛ على حينيعتبره بيانو بديبية : مما يجعل لديديكند
0
عابر دم منا إلى فحص . ومن جهة أخرى ليس نمة ما يدعو إلى القول
بأن الأعداد ترتيبية مجرد أن الأعداد التى يحصل ديديكند عليها «لا » ترتيب .
ومن جهة ثالثة تعريفه للأصليات معقد بما لا ضرورة له » ؟! أن اعيّاد الأصليات
على الرتيب إما هو اعماد ظاهرى . وسأتكلم عن كل نقطة من هذه النقط على
التوالى
أما فها يختص ببرهان الاستنباط الرياضى فينبغى ملاحظة أن هذا البرهان
يكاف رق العملى من أن الأعداد تكون سلسلة تبدأ من واحد مها . ويمكن
استنباط أى واحدة من الأخرى : أما القول بأن أمهما بديبية وأمهما نظرية فاختيار
ذلك موكول إلى الذوق الشخصى . على الحملة ولو أن البحث فى السلاسل يحتاج
إلى كثير من البراعة فهو أمر صعب بعض الشبىء ٠» ومن مساوثه أن النظريات
المتعلقة بالفصل المتناهى من الأعداد اله ى ليست أكي من 3 هى كقاعدة يجب
أن تستنبط من نظريات مناظرة متعلقة بالفصل اللامتناهى من الأعداد الى هى
أكبر من 2 . ولهذه ل ل ل د
بالاستنباط الرياضى . هذا وينبغى ملاحظة أنه فى طريقة بيانو إنما نحتاج إلى
الاستنباط الرياضى حين نريد البرهنة على نظريات تتعلق بأى عدد . ثم إن
الحساب الابتداتى الذى كنا نتعلمه فى طفولتنا » والذى إنما يبحث فى الأعداد
الخاصة » مستقل تماماً عن الاستنباط الرياضى ٠ ولو أننا حين نريد إثبات صمة
ذلك بالنسبة لكل عدد خاص لاحتجنا إلى الاستنباط الرياضى . ومن جهة
أخرى القضايا المتعلقة بالأعداد الخاصة فى طريقة ديديكند تحتاج كالقضايا العامة
إلى بحث السلاسل . و بذلك نجد فى طريقة بيانو مز يةمتميزة من البساطة » وفصلا أوضح
بين قضايا الحساب العامة والخاصة . ولكن من وجهة النظر المنطقية البحتة يبدو
أن الطريقتين صحيحتان على السواء . هذا وعلينا أن نتذكر أن كلا من بديبيات
بيانووديديكند تصبح فى ضوء النظرية المنطقية للأعداد الأصلية قابلة للبرهئة"1),
7 أما عن النقطة الثانية فهناك نقص فى وضوح ما يقوله ديديكند .
وإلبك نص كلامه ( "/ا) : «١ إذا كنا عند تأمل نظام لا نباى مفرد 2 يقوم
. انظر الباب الثالث عمر )١(
“١
ترتيبه على تمثيل في » نطرح تماماً الطبيعة الخاصة للعناصر مع استبقاء إمكان
تمييزها فقط » ولا نبحث إلا فى العلاقات الى بها توضع برتيب تمثيل م » حينقذ
. » تسمى هذه العناصره أعداداً طبيعية » أو « أعداداً ترتيبية » » أو رأعداداً فقط
ومن المستحيل أن يكون هذا القول صعيحاً تماماً » إذ أنه يستلزم أن حدود جميع
المتواليات ما عدا الترتيبيات مركبة » وأن البرتيبيات عناصر فى جميع مثل هذه
الحدود نحصلعليها بالتجريد . ومنالواضح أنالأمر ليسعلى هذا النحو» إذ يمكن
تكوين متوالية من نقط أو لحظات 0 أعداد ترتيبية لا نهائية » أو من أعداد
أصلية ليست الترتيبيات عناصرها » كما سترى عما قريب . وعلاوة على ذلك من
المستحيل ألا تكون الترتيبيات » سما يذهب إلى ذلك ديديكند » سوى حدود
العلاقات البى تكون متوالية . وإذا وجب أن تكون الترتيبيات شيئاً منّا على الإطلاق
بد أن تكون فى ذاتها شىء ما . ولابد أن تفترق عن غيرها من الأمور كا تفترق
النقط عن اللحظات » أو الألوان عن الأصوات . ولعل ما كان ديديكند يقصده
بالبيان هو التعريف ببد! التجريد » مما حاولنا إعطافه فى الباب السابق . ولكن
) التعريف المصاغ على هذا النحو بدل دائماً على فصل من الأشياء لها ( أو هى
طبيعة حقيقية بذاتها » ولا تعتمد منطقياً على الطريقة الى عرفت بها . فالأشياء
المعرفة يجب أن تكون مرئية على الأقل لعين العقل . أما ما يقرره المبدأ فهو أنه فى
. ظل ظروف معينة توجد مثل تلك الأشياء بشرط أن نعرف كيف نبحث علا
حتى إذا وجدناها أتكون ترتيبية أو أصلية أو شيئاً مختلفاً تمام الاختلاف فأمر
لا يمكن تقريره ابتداء . مهما يكن من شىء لا يوضح لنا ديديكند ما الذى تشيرك
فيه جميع المتواليات . ولا يقدم أى سبب لافتراض أن هذا الشىء المشترك هو
الأعداد الترتيبية » فها عدا أن جميع المتواليات تخضع لنفس القوانين التى تخضع
الترتيبيات لها مما يثبت على حد سواء أن أى متوالية معلومة هى ما تشترك فيه جميع
. المتواليات
وببذا ننتقل إلى النقطة الثالثة » وهى تعريف الأعداد الأصلية 74#
بواسطة الرتيبية . يلاحظ ديديكند ف عقدمته أن كثيراً من الناس لن يتعرفوا على .
الأعداد الطبيعية المألوفة لدهم من زمن طويل فى ظل الأشكال المهمة الى يقدمها
7
إللهم . ويبدو لى فى هذا المضمار أن هؤلاء الناس ٠» وأنا معهم ٠ على حق ٠.
فالذى يقدمه ديديكند لنا ليس الأعداد بل أى متوالية : لها يقوله يصدق على
جميع المتواليات على حد سواء » ولا تتطلب براهينه 0
* أى خاصية تميز الأعداد عن غيرها من المتواليات . ولم ينصب أى
دليل يبين أن الأعداد أسبق من غيرها من المتواليات . حقاً إنه يخبرنا أنها ما تشترك
فيه جميع المتواليات » ولكن ليس ثمة أى سبب للظن أن للمتؤليات أى ثىء
مشارك أكر من الحواص المعينة ى الأعريف » وهذه لاتكون بذاتها »2 الية جديدة .
الواقع كل شىء يعتمد على علاقات الواحد بالواحد الى ظل ديديكند يستخدمها
دون أن بلحظ أنها وحدها كافية فى تعريف الأصليات . ذلك أن علاقة التشابه
بين الفصول وهى العلاقة الى يستخدمها عن وعى ٠ بالإضافة إلى مبد| التجريد
الذى يفترضه ضمناً كافيان فى تعريف الأصليات ٠ ولكلهما لا يكفيان فى تعريف
الترتيبيات » إذ نحتاج كا رأينا تى الباب السابق إلى علاقة الشبه ومعمانا بين
العلاقات المتسلسلة المحكمة الترتيب . وتعريف الأعداد الترتيبية المتناهية الخاصة
يم صراحة فى صيغة من الأعداد الأصلية المناظرة : إذا كان 3 عدداً أصلياً
متناهياً » كان العدد التْرتيى 2 فصل العلاقات المتسلسلة البى 2 من الحدود فى
ميدانها ( أو فى مجاها إذا آ ثرنا هذا التعريف ) . ولكى نعرف مفهوم النونية نحتاج
يحانب العدد الرتيى 2 إلى مفهوم قوى العلاقة . أى حاصل الضرب النسبى لعلاقة
مضروبة فى نفسها عدداً متناهياً منالمرات . فإذا كانت ع أى علاقة واحد بواحاد
متسلسلة . وتولد متسلسلة متناهية أو متوالية . فأول حد فى مجال ع ( وهو اهل
الى ستسيه ع" ) :واه الذى يعى إلى الميذان لآ إلى عكسن الميذاق > أى
له العلاقة ع لا العلاقة تم . فإذا كان ع له ب من الحدود أوأكر من بم » حيث.
دم عدد متناه » فالحد النونى لع هو الحد الذى له مع الحد الأول العلاقة عنم ١ »
أو الحد الذى له العلاقة عه١ ولكن ليس العلاقة نه-١. ولامفر لنا من إدخال
الأعداد الأصلية عن طريق فكرة قوى العلاقة . ولا كانت القوى تعرف بالاستنباط
الرياضى فإن فكرة النونية تبعاً للتعريف السابق لا يمكن أن تمتد إلى هما وراء الأعداد
المتناهية . ومع ذلك يمك أن نبسط الفكرة بالتعريف الأنى : إذا كانت فه
علاقة متعدية غريبة 00]داء:وناج تولد متسلسلة محكمة الترتيب ى, » فالحد النوفى
7
(ى هو الحد سء الذى يكون نحيث إذا كان ى. هو العلاقة ىء محدودة ب سه
وسابقاتها » كان 1اى- العدد الترتيى له . فنحن نجد هنا أن اعمّاد الأصليات جاء
من أن العدد الترتيى له لا يمكن بوجه عام أن يعرف إلا بواسطة العدد الأصلى له .
ومن المهم ملاحظة أنه ليس لأى منظومة من ال حدود بالطبع ترتيب معين أولى
من ترئيب آخر ؛ وأنه لا حد هو الحد النو لمنظومة إلا إذا كان متعلقاً بعلاقة
مولدة خاصة جلها هو المنظومة أو جزء منها . مثال ذلك أنه ما دام فى أى متوالية
بمكن حذف أى عدد متناه من الحدود المتعاقبة بما فيها الحد الأول مع استمرار
ما ببق مكونا متوالية : أمكن إنقاص العدد الترتيى للحد فى المتوالية لأى عدد أصغر
نشاء . وبذلك يكون العدد المرتيى لحد ها نسبياً مع المتسلسلة الذى ينتمى إليها .
ويمكن أن برد هذا إلى علاقة مع الحد الأول من المتسلسلة . ولثلا يظن أننا ندخل
فى دور ؛ فيمكن تفسير ذلك بأن الحد « الأول » يمكن أن يعرف دائماً بعلريةة غير
عددية . وهو ى نظام ديديكند اللانانى المفرد الحد الوحيد الذى لا تشتمل عايه
الصورة فى النظام . وبوجه عام فى أى «تسلسلة هو الحد الوحيد الذى له علاقة
مكونة ذات جهة واحدة دون الحهة الأخرى'''. وهكذا فإن العلاقة الى نعبر عا
بالنونية ليست فقط علاقة مع 2 » بل أيضاً علاقة مع الحد الأول من المتسلسلة .
و « الأول » ذائه يتوقف على الحدود الداخلة ثى المتساسلة » وعلى العلاقة الى با
تترتب بحيث أن ما كان الأول قد يبطل أن يكون كذلك ٠ وما لم يكن الأول قد
يصبح كذلك . وهكذا لابد من تعيين الحد الأول فى المتساسلة ؛ كما هو حاصل
فى رأى ديديكند عن المتوالية أمها سلسلة حدها الأول . ومن ثم كانت العلاقة النونية
تدل على علاقة ر باعية : بين الحد الذى هو العلاقة النونية . والحد المعين ( الأول ) »
وعلاقة مولدة متسلسلة . والعدد الأصلى 2 . وبذلك يتضح أن الترتيبيات كانت
فصولا من قبيل العلاقات المتسلسلة المشاببة : أو أفكاراً كالعلاقات النونية » فهى
أعقد من الأصليات . 15 يتضح أن النظرية المنطقية عن الأصليات مستقلة تماماً
عن النظرية العامة عن المتواليات من حيث إنما تحتاج إلى تطور مستقل ليبين كيف
)01 ولو أنه حين يكون للمتسلسلة طرفان فعليك أن نختار تحكيا ما نسميه بالأول ونا نسميه
بالأخير . وطبيعة الأخير الظاهر أنها غير عددية وتوضح يم المدزا بذة ممه وهو الأول
7ق
تكون الأصليات متوالية . وأن الترتيبيات عند ديديكند ليست بالرورة إما ترتيبيات”
أو أصليات » بل أعضاء فى أى متوالية كانت . وقد أطنبت فى بحث هذه النقطة
لأميتها » ورأنى يختلف عن رأى معظ. فضلاء الباحثين . ولو كان رأى ديديكند
صواباً لكان من الخطأ المنطق أن نبدأ كما هو الحال فى هذا الكتاب بنظرية الأعداد
الأصلية بدلا من الترتيب . والرأى عندى أن البدء بالترتيب ليس خطأ مطلقاً »
ما دامت خواص المتواليات » بل معظم خواص المتسلسلات على العموم » يظهر
أنها مستقلة إلى حد كبير عن العدد . ولكن خواص العدد يحب أن تقبل البرهنة
دون رجوع إلى الحواص العامة للمتواليات ما دامت الأعداد الأصلية يمكن أن
تعرف تعريفاً مستقلا ؛ ويحب أن نبين أنها تكون متوالية قبل تطبيق النظريات
الخاصة بالمتواليات عليها . ومن هنا كان السؤال عن الترتيب أو الأعداد بأيبما نبدأ
أولا يرجع إلى المناسبة والبساطة . ومن هذه الوجهة من النظر يبدو من الطبيعى
أن الأعداد الأصلية تسبق فى بحا المباحث الشديدة الوعورة الحاصة بالمتسلسلات
والى شغلتنا خلال هذا الحزء .
لباب الواحد والثلاثون
المسافة
4 فكرة المسافة من الأفكار المفروض فى الغالب أنها جوهرية فى
المتسلسلات١١! ولكنها يصعب أن تقبل تعريفاً مضبوطاً . وتأكيد القول فى المسافة
بميز بوجه عام أولئك الذين يعتقدون فى الوضع النسبى . فهذا ليبئتز يلاحظ وهو
يناقش كلارك معدا أن :
« فإن قيل : إن المكان والزمان كميتان . أو الأولى أمهما شيئان يمتازان بالكمية»
وليس الأمر كذلك فى الوضع والترتيب .
قلت : للترتيب كذلك كميته ء ففيه ما يأنى قبل » وما يأ بعد . فهناك
مسافة أو فترة . وللأشياء النسبية كينها كا للأشياء المطلقة . مثال ذلك أن النسبة
والتناسب فى الرياضة هما 5يهما . واللوغارتمات تقيسهما » ومع ذلك فهما
علاقات . ويترتب على ذلك أن الزمان والمكان ولو أهما يقومان على علاقات إلا أن
هما كيهما''')
فى الفقرة السابقة عبارة : « ففيه ما بأ قبل ٠ وما يأتى بعد . فهناك مسافة
أو فترة » إذا أخمذت على أنها قياس لم تنتج » لأن مجرد الترتيب لا يدل على وجود
مسافة أو فترة . بل يدل كا رأينا على وجود امتدادات وعطعئعمة » وأن هذه
الامتدادات قادرة على صورة خاصة من الجمع شديدة الشبه بما سميته الجمع العلاق
ده1 200 ادحدوكداء: » وأن لها علامة : وأن الامتدادات ( على الأقل نظرياً)
الى تحقق بديبيات أرشميدس «البديبية الخطية بروضعدممنا! قابلة دائماً للقياس
العددى . ولكن الفكرة كما نبه مينونج بحق متميزة تماماً عن فكرة الامتداد . فسواء
اشتملت أى متسلسلة خاصة على مسافات أو لم تشتمل » فهى مسألة ى معظم
المتسلسلات المتحمة :مدوسم (وهى الى يكون فيها حد بين أى حدين)
. 11/ انظر عد كاج لاسر » الفقرة )١(
4 .م ,آ1آ/ا !ولا اله واالمقطعع© رعطلع للا . انط
37
كا
توجد المسافة إلا إذا كانت متسلسلات نحصل عليها من متواليات كما نحصل
على المنطقات أو الأعداد الحقيقية من الأعداد الصحيحة . وى هذه الحالة لابد
من وجود مسافة . غير أننا سنجد أن الامتدادات كافية رياضياً » وأن المسافات
معقدة وغير مهمة .
48 - ولنبدأ بقولنا إن تعريف المسافة ليس أمراً هينأء وكل ما عمل حتى الآن
لتحقيق هذا الغرض يرجع الفضل فيه بوجه خاص إلى الهندسة غير الأقليدية!"" .
وكذلك سعى مينونج إلى وضع تعريف للمسافة . ولكن ق كلتا الحالتين
نجد العناية بالقياس العددى للمسافة أكبر من تعريفها الفعلى . ومع ذلك ليست
المسافة بأى حال غير قابلة للتعريف . ولنحاول ب فكرتها ما أمكننا إلى ذلك
بعل أل كل شىء ليس من الضرورى أن تكون المسافة لا ممائلة » 0
خواص المسافة الأخرى تسمح لنا دائماً أن نجعلها كذلك . وفذا بمكن أن نأخذها
على أنها لامماثلة 2001 من الضرورى أن تكون المسافة كمية أو مقداراً »
با هعانصل 11 داك . إلا أننا سنرى أن هذا الأخذ بعيد عن
خواصها الأخرى » وبوجه خاص مع قياسها العددى . وثالناً حين تَؤْخذ المسافة
ل له مع حد معلوم مسافة معلومة . ولابد أن
تكون عكس العلاقة مع المسافة المعلومة مسافة من نفس النوع . ( نلاحظ أنه
يحب أولا تعريف «نوع » المسافة . ثم نشرع من ذلك إلى التعريف العام
للمسافة ) وهكذا فإن كل مسافة فهى علاقة واحد بواحد » وبالنسبة لمثل هذه
العلاقات يكون من المناسب أن تأخذ فى الاعتبار عكس العلاقة على أنها قتا
الأول . وبعد ذلك فحاصل الضرب النسبى لمسافتين من نوع واحد يجب أن يكون
مسافة من نفس النوع . وإذا كانت المسافتان متعاكستين بالتبادل كان حاصل
ضربهما تطابقاً » وهو بذلك واحد فى المسافات ( الواقع أنه صفر ) » ويجب أن
يكون الشى الوحيد الذى ليس لا متاثلا . ثم إن حاصل ضرب مسافتين من نوع
(١ 0 انظر مثلا صقط© ٠١1, مها ,8و0 عالتتطصرةت) معاوها!. امصسامنا .اممعطعغتط للا
(؟) المرجع السابق القمم الرابع .
/ا/
واحد يحب أن يكرن تبادلياً مه سصصم'' . فإذا كانت المسافات من نوع
واد مقاذن + فيتجب أن تكن انعا من المقباز يكلا أى سافين يخت أن
تكونا متساو يتين أو غير متساو يتين ذالم تكن القادير : فيجب مع ذلك أن
تكون متسلسلة متولدة بالطريق الثانى من الطرق الست . نعبى كل زوج من مسافتين
#تلفتين لابد أن يكون له علاقة لا معائلة معينة . وهى نفس العلاقة لجميع
الأزواج إلا فما يختص بالحهة . وأخيراً إذا كانت كع هى هذه العلاقة » وكانت
غ- لمج رعيت حيث ع . ع مسافتان من نوع واحد) وإذا كانت ع _أى
مسافة من نه فس النوغ لايد ان خضل كا . وجميع هذه
الحواص بمقدار ما أتبين مستقلة . وعلينا أن نضيف خاصية للمجال هى هذه :
أى حدين ينتمى كل مهما نجال مسافة من نوع ( ليس من الضرورى أن يكون
النوع واحداً لكليبما ) فلهما علاقة هى مسافة من هذا النوع . وإذ قد عرفنا الآن
نوع المسافة . فالمسافة هى أى علاقة تنتمى لنوع معين من المسافة . وبذلك يظهر
أن التعريف قد بلغ امام .
أما فكرة المسافة فهى كنا سنرى معقدة أشد التعقيد . وخواص المسافات
شبيبة مخواص الامتدادات ذات العلامة : ولكنها أقل قدرة على الاستنتاج المتبادل .
أما خواص الامتدادات المناظرة لكثير من خواص المسافات المذكورة آثفاً فهى
قابلة للبرهنة . والفرق بينهما يرجع بوجه عام إلى أن الامتدادات يمكن أن تجمع
بالطريقة المنطقية الابتدائية (لا الحسابية ) علىحين تحتاج المسافات إلى ما ميته
با جمع العلاق» اندمناداء: وهو شبيه جداً بالضرب النسبى
65_ سبق أن شرحنا فى الحزء الثالث شرحاً 0 القياس العددى
للمسافات » و رأينا أنه يحتاج فى تطبيقه الكامل 1 إلى مسلمتين أخريين لا يتعلان
بتعريف المسافات بل ببعض أنواع المسافات فقط . والمسلمتان هما : مسلمة
أرشميدس القائلة بأنه إذا علمت مسافتان من نوع واحد .: فهناك عدد
صميح 2 بحيث نكون القوة النونية للمسافة الأولى أكبر من المسافة الثانية . ومسلمة
ديبوا ر يعوند لصمصء وزد8 1<[ عن الخطية وهى هذه : كل مسافة فلها جذر
000( وهذه خاصية مستقلة . ولتمتير مثلا الفرق بين الحد من جهة الأم : والحد من جهة الآب .
7,8
صحيح ) . فإذا تحققت هاتان المسلمتان أمكن أن نجد ! ع س معنى » حيث ع
مسافة من نفس النوع خلاف التطابق » وحيث سه أى عدد حقيق .2١١ وفضلا
عن ذلك أى مسافة من نفس النوع هى من الصورة ع“ ٠ بفرض قيمة معيئة
١س . أما سه فهى بالطبع القياس العددى للمسافة .
وفى حالة المتسلسلات المتولدة بالطريقة الأول من الطرق الست » فإن القوى
المتعددة للعلاقة ع المولدة تعطى مسافات الحدود . هذه القوى المتعددة ١5 يمكن
أن يتبين القارى من تلقاء نفسه - تحقق جميع خواص المسافات المذكورة .
وى حالة المتسلسلات المتولدة عن متواليات » كالم :طقات أو الأعداد الحقيقيةمن
الأعداد الصحيحة» فهناك داماً مسافات . وهكذا فإنه نى حالة المنطقات ذالما
الى هى علاقات واحد بواحد » فإن الفروق بينها وهى أيضاً منطقات تقيس أو تدل
على علاقات بينها ع هذه العلاقات هى من طبيعة المسافات . وسكرى قُْ الجزء
الحامس أن لهذه العلاقات بعض الأهمية فما يتصل بالهايات .لاذلك أن القياس
العددى فى بعض صوره أساسى فى نظريات معينة عن الهايات ؛ والقياس العددى
للمسافات أدنى إلى الإجراء العملى من الامتدادات .
41 - فما يختص ببذا السؤال العام : أتكون المتسلسلات غير المرتبطة بالعدد
مثل المتسلسلات المكانية والزمانية بحيث تشتمل على مسافات » فن الصعب
إبداء الرأى بالإيحاب . فهناك أمور يمكن أن تذكر ضد هذه الوجهة من النظر .
فأولا لابد من وجود امتدادات » ويجب أن تكون هذه الامتدادات مقادير .
المتساوية تناظر مسافات متساوية . بالطبع يمكن إنكار هذا الفرض » ويمكن أن
نبحث عن تأويل من الحهندسة غير الإقليدية فى هذا الإنكار . وقد ننظر إلى
)١( قو المسافات مأخوة هذا بالمعنى الناثىه من سحاصلى الضرب النسى . وهكذا إذا كان ا » ب
هما نفس المسافة مثل ب . ج ء فهذه المسافة هى الحزه الر بيعى للمسافة بين ٠ ١ ب . ومسلمة الحطية ألى
بمكن التعبير عنها فى لغة عادية بقولةا : « كل كية خطية ممكن أن تنقسم إلى ن من الأجزاء المتساوية »
حيث ن عدد صصيح ( موجودة ى كتاب
.46 .م (1882 ,رسعوصتطي1 ) ندم طاسممناعاس مماءسعوااق .لومصصرعظ وزمق8 ناجل
4
الإحدائيات العادية على أنها تعبر عن امتدادات » وإلى لوغاريمات نسبها غير
التوافقية عندمدمههمه على أنها تعبر عن مسافات. و بذلك يمكن أن تجد الهندسة
الزائدية عنادطمعمبرط على الأقل تأويلاغريباً بعض الشى" ويذهب الأستاذ مينونج
وهو الذى بعد جميع المتساسلات مشتملة على مسافات إلى مبد! شبيه بذلك
فها يختص بالمسافة والامتداد بوجه عام . فهو يرى أن المسافة إنما تزداد بازدياد
لوغار يم الامتداد . ويمكن ملاحظة أنه حيث تكون المسافة ذاتها عدداً منطقاً
( وهذا ممكن ما دامت المنطقات علاقات واحد بواحد) أمكن أن تجعل النظرية
المقابلة مقبولة صورياً بالحقيقة الآتية . يقال إن مربع مسافة ما » "كا رأينا بوجه
عام » هو ضعف هذه المسافة الى هى مربعها . ويمكن أن نقول بدلا من ذلك
حيث تكون المسافة عدداً منطقاً أن الامتداد هو الضعف » ولكن المسافة هى حقاً
مربع المسافة الأول . ذلك أنه حيث تكون المسافة عددية يتعارض التأويل العادى
للقياس العددى مع الرقم عأ ؛ وبذلك نضطر إلى اعتبار الامتداد متناسباً
مع لوغاريتم المسافة . ولكن ما دمنا بصرف النظر عن نظرية المتواليات نشك عادة
فى وجود مسافات » وما دامت الامتدادات فى جميع المتسلسلات الأخرى تقريباً
يظهر أنها محققة الجميع النتائج الى نريد الحصول عليها » فإن استبقاء المسافة يضيف
تعقيداً لسنا كقاعدة فى حاجة إليه . من الأفضل إذن بوجه عام على الأقل فى
فلسفة الرياضيات استبعاد المسافات فما عدا نظرية الممتواليات © وأن نقيسها
فى ظل تلك النظرية بدلالات قوى العلاقات المولدة . وليس ثمة سبب منطق
فيا أعروف لافئراض وجود مسافات فى أى مكان » فيا عدا المكان المتناهى
ذى البعدين » وق الفراغ الإسقاطى . وحى بفرض «جودها فإنها ليست
ذات أهمية رياضية . وسترى فى الحزء السادس كيف يمكن أن تنشأ نظرية
المكان والزمان دون افتراض المسافة . أما المسافات الى تظهر فى المندسة
الإسقاطية فهى علاقات مشتقة لا نحتاج إليها فى تعريف خواص مكاننا . وسترى
فى الحزء الحامس أن وظائف المسافة قليلة جداً بالنسبة للمتسلسلات بوجه عام .
وما يعترض به على المسافة أيضاً أنه إذا وجب أن تشتمل كل متسلسلة على مسافات »
فلا مفر من التراجع إلى ما لا نباية له » ما دام كل نوع من المسافة هو نفسه
متسلسلة . ولست أرى أن هذااعتراض منطى » ما دام التراجع يعد من النوع
/
المسموح به منطقياً » ولكن الاعتراض يبين كيف تنشأ تعقيدات كبيرة من اعتبار
المسافات ضرورية فى كل متسلسلة . جملة القول يبدو أنوجود المسافات بوجه عام
أمر مشكوك فيه: فإن وجدتكان وجودها غير ذى بالفما بظهر . ومصدر تعقيدات
شديدة : ْ
4 أكلنا الآن عرض الترتيب بمقدار الطاقة دون إدخال الصعوبات الخاصة
بالاتصال واللانهاية ٠ فرأينا أن كل ترتيب بتطلب علاقات متعدية لامعاثلة »
وأن أى متسلسلة من حيث هى كذلك فهى مفتوحة . ولكئنا رأينا أن المتسلسلات
المقفلة يمكن أن تتميز بطريقة :ولدها » وبأنها مع أن لما داعا حداً أول فهذا الحد
الأول يمكن داماً اختياره بطريقة تحكمية . ورأينا أن العلاقات اللامهائلة يحب
ألاتقبل التحليل فى بعض الأحيان . فإذا قبلت التحليل فلابد أن تظهر علاقات
لا مهائلة أخرى فى التحليل . ووجدنا أن اختلاف العلامة يتوقف دائماً على الفرق
بين العلاقة اللامهاثلة وعكسها . ورأينا عند مناقشة الصنف الحاص من المتسلسلات
الذى متيناه متواليات كيف أن جميع الحساب ينطبق على متسلسلة من هذه
المتسلسلات : وكيف يمكن بواسطها تعريف الترتيبيات المتناهية . ولكن مع أننا
وحدنا أن هذه النظرية مشتقلة إلى تحن مدا عن الأصليات » إلا أننا لم نر أىسبب
موافقة ديديكند فى اعتباره الأصليات تابعة منطقياً للترتيبيات . وأخيراً اتفقنا على أن
المسافة فكرة ليست جوهرية فى المتسلسلات » وقليلة الأهمية خارج الحساب .
وبهذا الزاد أرجو أن أكون قادراً على حل جميع الصعوبات الى وقف عندها
الفلاسفة عادة عند النظر ف الاتصال «اللانهاية. فإذا استطعت أن أقوم ببذه
المهمة فقد تحل إحدى المشكلات الفلسفية العوبصة . وسنقصر الحزء الحامس
على بحث هذه المشكلة . ٠
المزء الخامس
اللانهاية والاتصال
030
الباب الثانى والثلاثون
قزادفا” اللسلكاذت
8 نشرع الآن فى بحث ما يعتبر بوجه عام المشكلة الأساسية فى فلسفة
الرياضيات - أعى مشكلة اللاماية والاتصال . وقد تحولت هذه المشكلة على
يدى فايرشتراس وكانتور تحولا كاملا . فنذ نيوتن وليبيتر كانت طبيعة
اللامباية والاتصال تلتمس ف المناقشات الى تعرف باسم الحساب التحليلى للكميات
اللامتناهية قى الصغر ونانعاق لصت زدقم1 ٠. وقد تبين أن هذا الحساب
ليس ف الواقع على صلة بأى شكل باللامائى الصغر » وأن فرعا كبيراً عظم الأهمية
من الرياضيات متقدم منطقياً عليه . وعلاوة على ذلك فإن مشكلة الاتصال قد
فصلت إلى حد كبير عن مشكلة اللانماية . وكان المعتقد فه| سبق -- وهنا تقوم
القوة الحقيقية فى فلسفة كائط الرياضية - أن للاتصال تعلقاً جوهرياً بالمكان
والزمان » وأن الحساب اتحليل مسال ( كا توحى بذلك لفظة «مئعدة )
يفترض من بعض الوجوه الحركة» أو على الأقل التغير . وطبقأ لهذه الوجهة فى النظر
فلسفة المكان والزمان أسبق من الاتصال. فالاستطيقا اللرنسندنتالية !' )تسبق الدياليكتيك
الرنسندنتالى . والتقائض ( على الأقل الرياضية منها ) هى أساساً زمكانية - 0ن1دم:
الهمودة: . وكل ذلك قد غيرته الرياضيات الحديثة . وما يسمى يتحسيب
الرياضيات ددنندمنعسطانءه قد بنّن أن جميع المشكلات العارضة ى هذا
الصدد عن المكان والزمان موجودة من قبل فى الحساب البحت . ولنظرية اللامهاية
صورتان : أصلية وترتيبية » فالأصلية تنشأ من النظرية المنطقية للعدد : أما نظريةالاتصال
فيرتيبية بحتة . والمشا كل الى تنشأ فى نظرية الاتصال والنظرية الترتيبية عن اللامباية
ليست متصلة بالعدد بوجه خاص ٠» بل مجميع المتسلسلات هن صنف معين والى
السي ليبا سكم
)00 لفظة ارتسندلةال اصطلاح ق فاسفة كانط ع لفنصعلمعءدمد ويقصد به ما كان
أولياً سابقاً على التجر بة . ( المارجم )
7م
45م
تحصل فى الحساب ولهندسة على حد سواء . وما يجعل المشاكل المذكورة سهلة
البحث بوجه خاص فى حالة الأعداد » فهو أن متسلسلة المنطقات البى سأسميها
بالمتسلسلة « الملتحمة ٠ 6عهمصمم» تنشأ من متوالية هى بالذات متوالية الأعداد
الصحيحة » وهذه الحقيقة هى الى تمكننا من تسمية « كل» حد من متسلسلة
المنطقات - وهى نقطة تختلف فيها هذه المتسلسلة عن غيرها من الصنف عينه .
ولكن النظريات من هذا النوع ٠ والى سنشتغل ببحها فى معظ الأبواب التالية »
مع أننا نحصل عليها فى الساب إلا أن ا ميداناً أوسع فى التطبيق » إذ كانت
ترتيبية حتة ولا تتطلب شيئاً من الحواص المنطقية للأعداد . بعبارة أخرى الفكرة الى
يسميها الألمان اطدعدة: وهى فكرة عدد الحدود فى فصل معين » لا محل ها فها عدا
فقط نظرية الأصليات المتصاعدة عغنمةعصدن وهذا جزء هام ولكنه متميز
عن مساهمات كانتور فى نظرية اللامهاية . وسنجد أنه من الممكن إعطاء تعريف
عام للاتصال لا نرجع فيه إلى جملة الأفكار المتميزة الى لم تحال والى يسميها
الكانطيون « الخدس ») «ه16ن:ه1 . وسنجد فى الحزء السادس أن أى اتصال آخر
غير مطلوب ف المكان والزمان . كما سنجد مع الفسك الدقيق بمذهب النهايات أنه
من الممكن الاستغناء تماماً عن اللانهائى الصغر حبى فى تعريف الاتصال وق
أسس الحساب التحليل
٠ من الحقائق الغريبة أنه بمقدار ما استبعد الحساب اللانبائى الصغر
من الرياضيات ٠» فقد أتيح للانهائى فرصة أرحب للنمو . ويظهر من مباحث
كانتور أن هناك اعتبارين بهما تختلف الأعداد اللامتناهية عن المتناهية . وأول
الاعتبارين ينطبق على الأصليات والترتيبيات على حد سواء » وهو أهما لا يخضعان
للاستنباط الرياضى أو الأحرى أنبما لا يكونان جزءاً من متسلسلة تبدأ من
اأو ٠ وتسير فى ترتيب المقدار ومشتملة على جميع الحدود المنوسطة ف المقدار بين
أى حدين من حدودها ٠ ومتميشة مع الاستنباط الرياضى . والاعتبار الثانى الذى
إنما ينطبق على الأصليات فقط » فهو أن المجموع المكون من عدد لا الى من
- يشتمل دائهاً على جزء يتكون من نفس عدد الحدود . والاعتبار الأول يكون
لتعريف الصحيح للمتسلسلة اللانهائية » أو الأحرى ما يمكن أن نسميه الحدود
28 فى متسالسلة : وهذا التعريف يعطى جوهر اللانمالى الترتيى . والاعتبار
اج ا مدو الوم ليد
هم
الثانى يعطى تعريف المجموعة اللانهائية . وسيقول بلاشك الفلاسفة عنه إنهواضح
التناقفض مع نفسه . ولكن هؤلاء الفلاسفة إذا تنازلوا وحاولوا البحث فى التناقض »
فسيجدون أنه إتما يبرهن عليه بتسلم الاستنباط الرياضى انيم بذلك إنما يقيمون
ارتباطاً مع اللامهافى الترتيى . وعندئذ يضطرون إلى التسلم بأن إنكار الاستنباط
الرياضى د فإن أعمو النظر قليلا فى هذا اموضوع ٠» فقد بحسن
بهم أن يبحثوا الأمر قبل الحكم عليه . فإذا سلمنا بأنه يمكن إنكار الاستنباط
الرياضى بغير تناقض » فستختى بتاتاً نقائض اللاهاية والاتصال . وهذا ما سأحاول
إثباته بالتفصيل فى الأبواب الآنية .
١ ستتاح لنا الفرصة خلال هذا الحزء لبحث فكرة لم تكد تذكر حبى
الآن » وهى ترابط المتسلسلات . فقّد بحثنا فى الحزء السابق طبيعة المتسلسلاات
المنفردة » ولكننا لم نبحث العلاقات بين #تلف اللمتسلسلات . ومع ذلك فهذه
العلاقات ا أهمية عظيمة لم يفطن ا الفلاسفة » ولم يتنبه لها الرياضيون إلا أخيراً .
لقد كان معروفاً من زمن طويل ماذا يمكن عمله فى الهندسة بواسطة التطابق
بإطمدءومصوط ٠. ثما يعد مثالا على البرابط .ممنداءهمه . وقد بين كانتور
أهمية معرفة المتسلسلة المعدودة عإدادعدسامءل ٠ ومعرفة تشابه متسلسلتين هما القدرة
على الترابط . ولكن لم تجر العادة أن يبين كيف أن لمتغير التابع ومتغيره المستقل
هما فى معظر الأحوال اارياضية جرد متسلسلتين مترابطتين : ولا بحثت الفكرة العامة
للترابط عثاً كاملا . والذى يعنينا محثه فى هذا الكتاب فهو الوجوه الفلسفية
للموضوع فقط .
يقال إن متسلسلتين ل ٠ ل مبرابطتان حين توجد علاقة واحد بواحد ع تجمع
بين كل حد من حدود ل مع كل كل حد من حدود ل ؛ والعكس بالعكس ؛
وإذا كان سء » صء حدين فى ل . وكان سه سابقاً على ص, ٠ فإن المترابطين
معهما وهما س .ص فق ل يكونان بحيث يسبق سه صم . ويقال إن فصلين
أو مجموعتين «ثرابطان عندما توجد علاقة واحد بواحد بين حدود الأول وحدود الثانى
بحي تلا يتخلف شىء . وهكذا نرىأن متسلسلتين يمكن أن يترابطا كفصلين دون
أن يترابطا كتسلسلتين » لأن الترابط كفصلين إنما يتطلب نفس العدد الأصلى» على
حين أن اللرابط كتساسلتين يتطلب أيضاً نفس الصنف الترتيى - وهو تميز
ىم
ل ل 8
الفصلين كجرد ترابط : وعن ترابط التسلسلتين كترابط ترتيى . فكلما ذكر .
لترابط بغير صفة . فعلينا أن نفهم أنه ليس تنيع الشروضى أنه كنا
وسنسمى الفصلين المترابطين «تشابهين مدانسنه ؛ اسن ريك
متشاءبتين ترتيبياً مهاف أو بالمصنفءه ؛ وعلاقامهما المولدة سنقول إن ها علاقة
الشبه 5وعمعطنا .
الترابط طريقة بها يمكن إذا أعطيث متسلسلة أزيتولد عنْها متسلسلات أخرى .
فإذا وجدت أى «تسلسلة علاقنها المولدة ىء . ووجدت علاقة واحد بواحد تقوم
بين أى حد سء من المتسلسلة وبين حدآخر نسميه سم ٠ فإن فصل الحدود ماع
يكون سلملة مل تقس الصنف كفصل الحدود س. . ولتفرض ص, أى حد آخر
مخ باينا الأصلية . ولنفرض أن سء وىء صء: عندئذ تحصل على سم ع سه »
ص وء ص, . ص, ع ص . والحاصل هو سرع ع قد ع تام . ويمكن أن
نبين الآن١'! أنه إذا كان ىء متعدياً لا متاثلاء فكذلك وه ع . ومن ثم فإن
مترابطات متسلسلة ىء تكون متسلسلة علاقها اموادة هى غ ىه ع . ويوجد بين
هاتين المتسلسلتين ترابط ترتيى ٠ ويوجد بين المتسلسلتين تشابه ترتيى كامل .
هذه الطريقة #ولد متسلسلة جديدة شبيهة بالمتساسلة الأصلية ٠ وذلك بعلاقة
واحد بواحد يشمل مجاا المتسلسلة الأصلية . ويمكن أن نبين أيضاً أنه بالعكس
إذا كان ى.. فى العلاقتين ال مولدتين فى متسلسلتين متشابهتين » فهناك علاقة واحد
بواحد ع ميدانما هو يجال وه بحيث أن ىه ع فدع ٠
6 - ونستطيع الآن أن 2 مييزاً على أهية عظمى » نعى القييز بين
متسلسلة مكتفية بذاتما أو مستقلة : ومتسلسلة بالترابط . وق الحالة الى شرحناها.
من قبل هناك تمائل رياضى 0 بين المتسلسلة الأصاية و«لمتسلساة
بالترابط . لأثنا إذا ردزنا بالرءز ك للعلاقة ع ىء ع ترتبعلى ذلك أن ى.- ع ك م .
وهكذا يمكن اتخاذ إما متسلسلة كج أو متسلسلة وىء كالمتسلسلة الأصلية ٠ ونعتير
الأخرى مشتقة وبضهبنعك منها . ولكن إذا حدث أن ع بدلا من أن تكون علاقة
)١(١ انظر مقالى فى مجلة 2 .6< ,10/111 .اهما ,30ل
/3/
واحد بواحد كانت علاقة كثير بواحد . فإن حدود مجال كع » واللى سنسميها
ع ٠» سيكون لها ترتيب فيه تكرار . أى أن نفس الحد يقع فى مواضع مختافة مناظرة
لمترابطاتها المختلفة فى يمال ىه ٠ والذى سنسميه ىه . وهذه الحالة العادية للدوال
الرياضية الى ليست خطية . وبسبب انشغال معظل الرياضيين بمثل هذه
المتسلسلات فإنهم يعجزون عن تبين استحالة تكرر نفس الحد فى المتسلسلة
المستقلة . مثال ذلك أنه فى كل جملة مطبوعة تكتسب الحروف ترتيباً بالترابط
مع نقط المكان ء ويتكرر نفس الحرف فى أوضاع مختلفة . والحال هنا أن متسلساة
' الحروف مشتقة أساساً » لأننا لا نستطيع أن نرتب نقط المكان بالعلاقة مع الحروف
فهذا يعطى نقطاً متعددة فى نفس الوضع بدلا من حرف واحد فى أوضاع
عدة . الواقع إذا كانت ىء علاقة متسلسلة » وع علاقة كثير بواحد
ميدانها هو مجال ىء ؛ وكان [ق - ع ىه ع » فإن ك له جميع خواص العلاقة
المتسلسلة ما عدا خاصية استازام التعدد . ولكن ع لك غ لا تكاق ىه ؛ وبذلك
يوجد نقص ف العائل . وهذا السبب كانت عكس الدوال فى الرياضيات مثل
حاسا متميزة تميزاً حقيقياً من الدوال المباشرة » وتحتاج دير عاض أن
أو اصطلاح قبل أن تصبح ولا إبهام فيها . والمتسلسلات الى نحصل عليها من
ترابط كثير بواحد » كنا حصلنا على ىه من قبل » تسمى متسلسلات بالرابط »
وهى ليست متسلسلات أصلية . ومن الأهمية بمكان استبعادها من المناقشات
الأساسية
57 وفكرة الشبه موعدعءانز تنساظر بين العلاقات التشايته” بين الفصول »
وتسُعسرّف ا بأتى : تكون العلاقتان وء ٠ لك شبيبتين عندما توجد علاقة واحد بواحد
ول بحيث أن ميدان مل هو مجال وى ؛ وتكون ك - مل قه ط ٠
ولا تقتصر هذه الفكرة على العلاقات المتسلسلة بل يمكن تعميمها لتشمل جميع
العلاقات . ويمكن تعريف عدد العلاقة «ءطصدم-دونئداءم لعلاقة ما ى, بأنه
فصل جميع العلاقات الى تشبه ى. » ومن هنا نستمر إلى موضوع عام جداً يمكن
أن نسميه حساب العلاقة عنم سطانية-دمنداء: . أما فما يختص بأعداد العلاقةةفيمكن
إثبات تلك العلاقات الخاصة بالقوانين الصورية للجمع والضرب والى تنطبق على
النرتيبيات المتصاعدة » فنحصل بذلك على امتداد لحزء من الحساب الترتيى يشمل
84
العلاقات بوجه عام . ويمكن بواسطة الشبه تعريف العلاقة المتناهية بأنها تلك.
التى لا تشبه أى جزء خاص من ذام' حيث أن الحزء الخاص من اعلاقة هو
علاقة تستلزمها دون أن تكافئها . و ببذه الطريقة بمكن أن نتحرر تماماً من الحساب
الحاص بالأعداد الأصاية . وفضلا عن ذلك فإن خواص المشاببة لما ى ذامها فائدة
وأهمية . وءن خواصها الغريبة أنه إذا كانت مل علاقة واحد بواحد وها الال فىه
ليداناء فالمعادلة المذكورة سابقاً لك - صل ىه مل تكاف مل ك - قد ط أو
ك م[ <- ط فه.
4 - ما دام ترابط المتسلسلات أساس معظم الأمثلة الرياضية عن الدوال »
وكانت الدالة فكرة ليس شرحها واضحاً فى الغالب ٠ فقد يحسن بنا أن نذكر شيئاً
عن طبيعة هذه الفكرة . فى صورتما الأعم جداً لا تختلف فكرة الدالية عن
العلاقة . ويجدر ى هذه المناسبة أن نتذكر اصطلاحين فنيين عرفناهما فى الحزء
الأول . إذا كان س له علاقة معينة مع صء » فنسمى س « المتعلق به) :ممم »
ونسمى ص « المتعلق ) جددهداء: وذلك بالنسبة للعلاقة المذكورة . فإذا عرفنا سه
بأنه ينتمى لفصل ما داخل فى ميدان العلاقة؛ حينئذ تعدرف العلاقة صء بأنمها دالة
دالة سه . بعبارة أخرى يتكون متغير مستقل من مجموعة حدود كل حد منها يمكن
أن يكون متعلقاً به بالنسبة لعلاقة معلومة . وعندئذ يكون لكل حد من هذه الحدود
متعلق أو أكثر من متعلق ٠» وأى خد منها هو دالة معينة لما يتعلق به » من حيث
أن الدالة تعيف بالعلاقة . مثال ذلك أن ١ الأب » يعرف دالة بشرط أن يكون
المتغير المستقل فصلا داخلا فى الحيوانات الذكور الذين ينشرون نوعهم اواسيكت وله:
فإذاكان ١ أب ب » قيل إن ب دالة ١ . امهم هو وجود متغير مستقل » لعبى /
أى حد من فصل منّاء ووجود علاقة تمتد فتشمل المتغير . وعندئذ يكون المتعلق به.
هو المتغير المستقل » ودالته أى واحد من المتعلقات المناظرة .
ولكن هذه الفكرة العامة جداً عن الدالة قليلة الفائدة فى الرياضيات . وهناك
طريقتان أساسيتان لتخصيص الدالة . الأولى أننا قد نخصص العلاقات بحيث
8034, 1/01) 17111,70,2 6. انظر فق هذا الموضوع مقالى فى مجلة )١(
/4
تقتصر على, واحد بواحد أو كثير بواحد : أى بحيث تعطى لكل متعلقبه متعلقاً
وحيداً ؛ والثانية أن نقصر المتغير المستقل على المتسلسلات . والتخصيص اثانى
فى غاية الأهمية ويدخل بوجه خاص ف موضيعنا الحاضر . ولكن حيث كان هذا
التخصيص يكاد يستبعد الدوال تماماً من المنطق الرمزى» إذ المتسلسلات فيه قليلة
الأهمية » فقد يمسن أن نؤفجل اللبحث فى هذا الوجه ااثانى قليلا » ولننظر ى
التخصيص الأول فقط .
فكرة الدالة بالغة الأهمية ؛ والغالب أن بحنها كان مقتصراً على علاقنها بالأعداد؛
لذلك يحسن أن نسوق أمثلة كثيرة على دوال غير عددية . ومن فصول الدوال
العظيمة الأهيةااقضايا المشعملةعلىمتغير 2١١ . ولتكنقضية ما نقع فيها هذه العبارة
وأى إ»ء حيث ١ فصل هنا . ثم نضع بدلا من « أى |) سه » حيث سه عضو
غير هعرف ف الفصل ١ - وبعبارة أخرى أى ! . وعندئذ تصبح القضية دالة سه »؛
وتصبح القضية فريدة إذا أعطيت سه وستكون القضية على العموم صادقة لبعض
قم سه » وكاذية لبعضها الآخر . وام | تى تصدق ا الدالة تكون ما قد نسميه
بلق المنطى ؛ تشبباً بالهندسة التحليلية . وهذه النظرة العامة يمكن فى الواقع
أن نجعلها تشمل المندسة التحليلية . مثال ذلك أن معاداة المنحى المستوى
هى دالة قضية عبارة عن دالة ذات متغيرين سه » صه ؛ والمنحى هو ج#موع
النقط الى تعطى المتغيرين قيماً تجعل القضية صادقة . والقضية الى تشتسل
على لفظة « أى » هى حكم بأن دالة قضية معينة صادقة لجميع قم
المتغير الذى تنطبق عليه . فقولنا : : «أى إنسان فان» تقرر أن : را سه
إنسان يلزم عنها س فان , قضية صادقة لجميع قم سه الى تنطبق عليها »
والى قد تسمى بالقم المقبولة عاطزوونصفج . ودوال القضايا مثل « سم عدد )
لها خاصية أنها تبدو كالقضايا » ويظهر أنها قادرة على استازام دوال
قضايا أخرى » مع أنها ليست صادقة أو كاذبة . الواقع هى قضايا لجميع قم
المتغير المقبوأة » 5 لا تكون كذلك حين يظل لمتخير متغيراً دون أن تعسين
قيمته . ومع أنها قد يلزم عنها لكل قيمة مقبولة للمتغير القيمة المناظرة لدالة قضية
١ ( ) وهذه هى الى سميناها ف الحزء الأول دوال القضايا .
8
أخرئنًا + إلا أنها لا بلزم عنها شىء حين بظل المتغير تغير . الحق إن مسألة ,
طبيعة دالة القضية باعتبار أنها فى مقابل القضية . وبوجه عام للدالة ى مقائل
قيمها » مسألة عويصة لا يمكن حلها إلا بتحليل طبيعة المتغير . ومع ذلك فن المهم
ملاحظة أن دوال القضايا كما بينا فى الباب السابع أساسية أكثر من الدوال الأخرى
بل أكثر هن العلاقات . هذا ومن المناسب لتحقيق معظم الأغراض أن نطابق بين
الدالة والعلاقة : فثلا إذا كان ص, - و ( س) تكاف سه ع صء . حيث ع
علاقة » فن المناسب أن نصف ع بأنما الدالة » وهذا ما سنفعله فها بعد . ومع ذلك
ينبغى أن يذكر القارئ أن فكرة الداية أكثر أساسية من العلاقة . وقد “ثنا ى هذه
النقطة من قبل فى الهزء الأول واستوفينا فيها الكلام ابيان كيف يمكن أن تكون
القضية دالة متغير .
وتقدم لنا معاجم اللغة أمثلة أخرى على الدوال غير العددية . فالتعبير الفرنسمى
عن لفظة »ه و دالة التعبير الإنجليزى .٠ والعكس بالعكس » وكلاها دالتان للحد
الذى 0 عليه . وجذاذة كتاب فى كتالوج مكتبة هى دالة الكتاب : والعدد
فى شفرة دالة اللفظة اابى تنوب عنها . وق جميع هذه الأحوال هناك علاقة يصبح
بها المتعلق فريداً ( أو فى حالة اللغات فريداً على العموم ) حين يعطى المتعلق به .
ولكن حدود المتغير المستقل لا تكون متسلسلة إلا ف الترتيب الحارجى البحت الناشى
عن الأيجدية .
هه - ولنشرع الآن فى البحث عن التخصيص الثانى ٠ وهو أن المتغير المستقل
سيفضى إلى متسلسلة . فى هذه ا حالة المتغير التابع لمتسلسلة بالرابط ٠ وقد يكون
أيضاً متسلسلة مستقلة . مثال ذلك أن المواضع الى تشغلها نقطة مادية ق متسلسلة.
من اللحظات تكون متسلسلة بالترابط مع اللحظات الى هى دالة لها . ولكن بسبب
اتصال الحركة فإنها كقاعدة تكون أيضاً متسلسلة هندسية مستقلة عن كل تعلق
بالزمان . وبذلك تقدم الحركة أروع مثال على :رابط المتسلسلة . وف ااوقت نفسه
توضح علامة هامة جداً إذا وجدت أمكننا القول إن المتسلسلة غير مستقلة . فعندما
يعرف الزمن يتحدد على انفراد وضع الحسم المادى » ولكن حين يعطى الوضع
فقد تكون هناك لحظات عدة » أو حبى عدد لامتناه منها تناظر الوضع المعطى .
ب
( سيكون هناك عدد لامتناه من مثل هذه اللحظات إذا كان الحسم باكا فق
الوضع ا مذ كور . والسكون 6ومم تعبير فضفاض مبهم ١ ولكى أرجى البحث فيه
إلى الحزء السابع ) . وبذلك لا تكون علاقة الزمن بالوضع علاقة واحد بواحد
بالضبط 2 بل قد تكون علاقة كثير بواحد . وقد كانت هذه الحالة موضع محثنا
عند عرضنا العام للترابط » من حيث تنشأ عنه المتسلسلة التابعة . وانسبينا كما نذ كر
إلى أن المتسلسلتين المستقلتين اللراكة كنا تاشاقن نن النترى “ آله إذا
كانت ىء » كع علافتيهما المولدتين » ع علاقة الترابط ٠ استنتجنا أن ىه -
عك تج من ك - ع ىء ع . وببطلهذا الاستنتاج إذا لم تكن ع علاقة واحد
بواحد بالضبط ؛ إذ عندئذ لانحص| على ع خ داخلة ى ١ عرق واحد حيث1 © يععى
التطابق . مثال ذلك أن ابن والدى ليس من الضرورى أن أكون أنا » وأو
أن والد اببى لابد أن يكون أنا . وهذا يوضح لنا هذه الحقيقة وهى أنه إذا
كانت ع علاقة كدر بواحد. فينيغى أن 50 بعناية بين ع ع : ماع » لأن
الصورة الأخيرة داخلة فى التطابق دون الأولى . فحيما كانت ع علاقة كثير
بواحد فقّد يمكن استخدامها لتكوين متسلسلة بالترابط . ولكن المتسلسلة المتكونة
على هذا النحو لا يمكن أن تكون مستقلة . وهذه نقطة هامة تقضى تماما على النظرية
العلافية لازمن .)١(
ولترجع الآن إلى حالة الحركة . عندما يقطع الجسم منحى مغلقاً » أو
منحنى له نقط مزدوجة . أو عندما يكون الجسم فى حالة سكون أحياناً
أثناء زمن متناه » عندئذ تكون متسلسلة النقط الى يشغلها متسلسلة بالترابط أساساً
لا متسلسلة مستقلة . ولكن ؟ا لاحظت من قبل نحن لا نحصل على المنحى
بالحركة فقط . بل هو أيضا شكل هندسى حت بمكن تعريفه دون إشارة لآية
نقطة «ادية مفروضة . مع ذلك فحين يعرف المنحى على هذا النحو ؛ فلايجب أن
يشتمل على نقط من السكون : لآن طريق النقطة المادية الى تتحرك أحياناً »
ولكنها تكون أحياناً فى سكون بعض الوقت ٠ مختلف حين نعتبرها كيماتيكيا وحين
نعتبرها هندسياً . إذ هندسياً النقطة الى فيها سكون هى نقطة واحدة » على حين
أنها كيؤائيكيا تناظر حدوداً كثيرة فى المتسلسلة .
ترضح المناقشة السالفة للحركة بمثال غير عددى حالة تقع عادة فى دوال
)١( انظر مقالى « هل الوضم فى الزمان والمكان مطلق أو تسى ؟ » فى مجلة .:مود ترابال بقمنق8
1
الرياضيات البحتة . وهذه الدوال ( حين تكون دوال لمتغير حقيق ) تحقق فى العادة
الشروط الآنية : أن المتغير المستقل والتابع كليهما فصلان للأعداد » وأن العلاقة
المعرفة للدالة علاقة كثير بواحد'١). وهذه الحالة تشمل الدوال المنطقة » والدوال
الدائرية والناقصية للمتغير الحقيى ٠ «الغالبية العظمى للدوال المباشرة فى الرياضيات '
البحتة . وى جميع هذه الأحوال يكون المتغير المستقل متسلسلة أعداد بمكن أن
نقصرعا على أى وجه نشاء على الأعداد الموجبة » أو المنطقات . أو الأعداد
الصحيحة » أو الأعداد الأولية » أو أى فدل آخر . والمتغير التابع يتكون أيضاً من
أعداد ؛ غير أن ترتيب هذه الأعداد تحدده علاقتها بالحد المناظر للمتغير المستقل.
لا بالأعداد المكونة للمتغير التابع ذاتها . وى عدد كثير من الدوال قد يحدث أن
يتفق اللرتيبان » وق غيرها حيث يوجد نبايات عظمى وصغرى على أبعاد
متناهية » يتفق الترتيبان على طول امتداد متناه ثم ينقلبان متقابلين تماماً على طول
امتداد متناه آخر » وهكذا . فإذا. كان س المتغير المستقل . صء المتغير التابع »
وكانت العلاقة المكونة علاقة كثير بواحد . فإن نفس العدد صء سيكون بوجه عام
دالة لأعداد كثيرة من سء ؛ أى مناظراً لا . ولذلك نحصل على متسلسلة ص
باللرابط ضرورة : ولا يمكن أن تؤخذ على أنها متسلسلة مستقلة . فإن شئنا بعد
ذلك أن نبحث فى عكس الدالة الى تعرف بعكس العلاقة احتجنا إلى تدابير
معينة إذا كنا لا نزال نريد الحصول على ترابط المتسلسلة . وأحد هذه التدابير الذى
يبدو أعظمها أهمية يقوم على تقسم قم سه المناظرة لنفس قيمة صء إلى فصول »
بيث يمكن أن نميز مثلا 2 من السينات التلفة » كل منها له علاقة واحد بواحد
متميزة مع صء ؛ وبذلك يمكن أن :نعكس ببساطة . وهذا هو الطريق المعتاد
مثلا لغييز الحذور التر بيعية الموجبة والسالبة . وهذا ممكن حيما كانت العلاقة المولدة .
لدالتنا الأصلية قادرة صورياً على الظهور كانفصال لعلاقات الواحد بالواحد
ومن الواضح أن العلاقة الانفصالية ع«نءهدزوزك المكونة من 2 منعلاقات واحد
بواحد كل منها تشتمل فى ميدانها على فصل معين ى ستكون على طول الفصل ى
علاقة 2 بواحد . وهكذا قد يحدث أن ينقسم المتغير المستقل إلى ن من الفصول وق
داخل كل واحد مها العلاقة المعرفة هى علاقة واحد بواحد . أى فى داخل كل
)١( 0 واستبعد فى الوقت الحاضر المتغيرات المركبة اتى تؤدى مع إدخال الأبعاد إلى تعقيدات من
نوع متميز ماما .
٠
مها لا يوجد إلا س فقط له مع صء المعينة العلاقة المعرفة . وى مثل هذه الأحوال
المعتادة فى الرياضيات البحتة بمكن أن تجعل علاقة الكثير بالواحد انفصالا
لعلاقات الواحد بالواحد الى ينعكس كل مها على انفراد . أما ى حالة
الدوال المركبة » فهذه مع بعض التغييرات الضرورية طريقة سطوح ريمان
مممصوعنج . إلا أنه لابد من أن نذ كر بوضوح أنه حيث لا يكون دالتنا واحد بواحد
بالطبع » فإن صء الذى يظهر كتغير تابع » يكون عادة متميزاً عن صء الذى
نظهر تغير مستقل فى الدالة العكسية .
الملاحظات السابقة الى سنزيدها توضيحاً مع سيرنا فى البحث قد بينت
فيا أرجو الارتباط الوثيق بين ترابط المتسلسلات : وبين الاستخدام الرياضى العادى
للدوال . وسنصادف كثيراً من الحالات الأخرى على أهمية النرايط خلال البحث .
هذا ويمكن أن نلاحظ أن كل فصل معدود يتعلق بدالة أحادية القم
ومتاعصية لعسلدر - عده مع الأعداد الصحيحة المتناهية » والعكس بالعكس .
وحيث أن هذا الفصل مرتب بالترابط مع الأعداد الصحيحة فإنه يصبح متسلسلة لها
صنف الترتيب الذى يسميه كانتور .ى . وستظهر أهمية الترابط الأساسية بالنسبة
لنظرية كانتور عن الأعداد المتصاعدة حين نعرض لتعريف الترتيبيات المتصاعدة.
وبمناسبة البحث ف الدوال يبدو من المناسب أن نذكر شيئاً عن الصيغة
وضر ورا للتعريف. كان تالدالة أساساً وبعد أن بطل تأن تكون مجرد قوة .»مم »
شيئاً بمكن التعبير عنه ى صبغة . وكان من المعتاد البدء بعبارة تشتمل على متغير س.»
دون ذكر شىء عن ماهية سء خلاف هذا الفرض المفهوم ضمناً من أن سه
نوع ما من العدد . وأى تحديدات بعد ذلك ( سه فهى مشتقة إن وجدت من
الصيغة نفسماء ولذلك اتجهت الرغبة إلى استبعاد مثل تلك التحديدات الب ىأفضت إلى
تعميات شبى عن العدد . هذا التعمم الجيرى ١١ /حل الآن محله محث أكثر ترتيبياً
تعسرف فيه جميع الفصول بواسطة الأعداد الصحيحة ٠ دون أن تدخل الصيغ ى
العملية . ومع ذلك فللصيغة أهمية خاصة عند استخدامالدوال حيث نكون المتغيرات
ا والتابعة فصولا لا متناهية ٠ ولنشرع الآز ى محث تعريف الصيغة .
"١ ااة عا ب ا ه
1[ عامم8 رد امو ,1896 كيه رعنالولأقصقط 842 تملم] بآ 106 أمسنغننه0)
1
الصيغة بمعناها العام جداً قضية أو الأحرى دالة قضية تشتمل على متغير
أو أكثر من متغير » حيث أن المنغير هو أى حد ى فصل معرف » أو حى أى
حد بغير تقييد . وأوع الصيغة الداخلة فى الدوال ذات المتغير المفرد هى صيغة
تشتمل على متغير ين » فإذا عرفنا كلاالمتغير ين كأن يكون أحدهها منتمياً للفصل
ى والآخر للفصل ف » كانت الصيغة صادقة أو كاذبة . فهى صادقة إذا كان
كل ى له مع كل ف العلاقة المعبر عا بالصيغة » وإلا فهى كاذبة . ولكن
إذا كان أحد المتغيرات » وليكن سه » معرفاً على أنه ينتمى للفصل ى » على حين
لا يعوف المتغير الآخر ص, إلا بواسطة الصيغة » عندئذ يمكن اعتبار الصيغة
معرفة ص, كدالة [ سه . ولنسم الصيغة ىرس . فإذا كان ق الفصل ى حدود
هى س.ء بحيث لا بوجد حد هو ص يجعل ىوسي قضية صادقة » فالصيغة فها
سن يك اللدرة مشعيلة نبي إذد أن نترض أن ف قصل ككل د فيه
لقيمة مناسبة من قم صء يجعل القضية ى+سس صادقة . فإذا وجد لكل حد س. ق
الفصل ى بعض الأشياء هى ص تجعل ف> سس صادقة » وأشياء أخرى لا تجعلها
كذلك ٠» عندئذ و.ىى تربط مع كل سه فصلا معيئاً من الحدود هو ص] .
وبهذه الطريقة تعروف صم كدالة مره .
ولكن المعنى العادى ١ للصيغة » قى اارياضيات يستدعى عنصراً آخر يمكن
أن يعبر عنه أيضاً بلفظة « القانون » :1 . ومن الصعوبة أن نذكر بالضبط ما هذا
العنصر» ولكن يظهر أنه ينطوى إلى حد كبير على تبسيط شديد للقضية ق«سى .
وف حالة وجود لغتين مثلا فقد يقال إنه لا توجد صيغة تر بطهما سوى الحالات
فى مثل قانون جر يم مدا نتصدزرى 2١١ . فإذا صرفنا النظرعن المعاجم » فإن العلاقة
الى بها تترابط الألفاظ فى شتى اللغات هى عينية ومعمءدده المعى . ولكنهذا
لا يعطينا أى طريقة بها نستنتج حين نعلم لفظة فى إحدى اللغات اللفظة المناظرة لها
فى لغة أخرى . فا نفقده ههنا هو إمكان الحساب . أما الصيغة » ( لتكن صء -
)١( هو انون تباديل الحرون الساكئة فى اللغات الآرية » وأول من وضعه جريم ى كتابه
عل لمتمه7) مأععانوطا أى النحو الألمالى » سنة ١89٠١ . وطبقاً لهذا القانون حرف م ق اللغنات
اليوذانية واللاتينية والسنسكريتية يصبح حرف ؟ ق اللغة الغوطية . وحرف © يصبح 0؛ . مثال ذلك معاهم
[صبح ععطاةة ١ (الترم )
4
؟ س ) فإنها تسلحنا بالوسيلة التى بها حين نعرف س أن نكتشف صء . وأما فى حالة
اللغات فطربقة الإحصاء وحدها لجميع الأزواج هى الى تعرف المتغير التابع . وف
حالة الصيغة الحبرية » بمكننا المتغير المستقل والعلاقة من معرفة كل شىء عن
المتغير التابع . فإذا وجب أن تمتد الدوال حبّى تشمل الفصول اللامتناهية كان الأمر
السايق أساسياًء لآن الإحصاء أصبح مستحيلا . فن الحوهرى إذن لترابط الفصول
اللامتناهية » ولبحث دوال الفصول اللامتناهية أن تكون الصيغة ومسى بحيث
إذا علمت سء أمكن أن نكتشف فصل حدود صء الذى يحقق الصيغة . واعترف
بعجزى عن إعطاء بيان منطى لهذا الشرط » وأظن أنه أمر نفسانى بحت . ومع أن
أهريته العملية كبيرة» إلا أن أ#ميته النظربة مشكوك فيها كثيراً فما يظهر .
ومع ذلك هناك شرط منطى يتصل بالمسألة السابقة على الرعم من أنه ريما
لم يكن مطابقاً له تماماً . فإذا علم أىحدين فهناك علاقة ما تقوم بيبما لاغير .
ويترتب على ذلك أنه إذا علم أى فصلين للحدين ى » فء فهناك علاقة انفصالية
تقوم بين أى حد واحد من ى وبين على الأقل حد واحد من ف » ولا تقوم بين
أى حد غير داخل فى ى وبين أى حد . وببذه الطريقة حين يكون الفصلان
كلاهها متناهياً » بمكن أن نجرى ترابطاً ( قد يكون ترابط واحد بواحد » أو كثير
بواحد أو واحد بكثير ) يربط حدود هذين الفصلين ولا غير . وبذا السبيل »
أى منظومة من الحدود فهى نظرياً دالة أى منظومة أخرى » و بهذا فقط مثلا توضع
الشفرة الدبلوماسية . ولكن إذا كان عدد الحدود فى الفصل المكون للمتغير المستقل
لا متناهيا » فلابمكننا عملياً ببذه الطريقة تعريف الدالة ى إلا إذا كانت العلاقة
الانفصالية تغعمل على علاقات ينشأ إحداها من الأخرى بقانون » وفى هذه الحالة
إنما تنقل الصيغة إلى العلاقة . وبعبارة أخرى لا يحب أن تكون العلاقة المعرفة للدالة
مكبة إلى ما لا نباية له » أو إذا كانت كذلك فينبغى أن تكون هى ذاما دالة
معرفة بعلاقة ما مركبة تركيباً متناهياً . ومع أن هذا الشرط هو نفسه منطى فليست
ضرورته فما أظن إلا نفسائية . وبمقتضى هذا الشرط لا نستوعب اللامتناهى
إلا بواسطل قانون اللرتيب . ومناقشة هذه النقطة تتطلب مناقشة علاقة اللاماية
بالترتيب - وهى مسألة سنستأنف القول فيها فما بعد » إذ لم نيأ الآن لبحب
ببصيرة . على كل حال يمكن أن نقول إن الصيغة الى تشتمل على متغير ين ودالة
45
معرفة فلابد إذا وجب أن تكون مجدية » أن تعطى علاقة بين المتغيرين بمقتضاهة
إذا علم أحدهما أمكن الكشف عن جميع القم المناظرة للآخر . ويظهر أن هذا
يكون الحوهر الرياضى لحميع الصيغ . ْ
61 - بقيت فكرة منطقية متميزة تماماً بالغة الأهمية فى صلها باللهايات نععى
فكرة المتسلسلة التامة مهءامدممه . إذا كانت ع العلاقة المعرفة لمتسلسلة» كانت
المتسلسلة تامة حين يوجد حد س. ينتمى إلى المتسلسلة بحيث يكون كل حد آخر له
مع س إما العلاقة ع » أو العلاقة ع منتميا للمتسلسلة؛ فهى ١ متواصلة لعاءعصدمه ؛
( كما شرحنا فى الحزء الرابع ) حين لا ينتمى أى حد آخر إلى المتسلسلة . فالمتسلسلة
التامة تتكوآن من تلك الحدود ولا غير الى لما العلاقة المولدة أوعكسها الحد واحد م
بالإضافة إلى هذا الحد الواحد . وما دامت العلاقة متعدية فالمتسلسلة الى تحقق
هذا الشرط لأحد حدودها تحققه كذلك لجميع حدودها . والمتسلسلة النى تكون
موصولة : ولكن ليست تامة. سنسميها غير تامة ماءامصمعمز ٠ أو جزئية .
ومن أمثلة المتسلسلات التامة الأعداد الصحيحة الأصلية . أو الأعداد الصحيحة
الموجبة والسالبة والصفر » أو الأعداد المنطقة . أو لحظات الزمان ٠ أو النقط على
خط مستقم . وأى اختيار من مثل هذه المتسلسلات فهو غير تام بالنسبة للعلاقات
المولدة للمتسلسلات التامة المذكورة . مثال ذلك الأعداد الموجبة متسلسلة غير
تامة » وكذلك المنطقات بين ١ . ٠ . وإذا كانت المتسلسلة تامة فلا يمككن أن
بأق حد قبل أو بعد أى حد فى المتسلسلة » دون أن ينتمى إليها ليها » ولا يكون الال
كذلك إذا كانت المتسلسلة غير تامة . وقد تكون المتسلسلة تامة بالنسبة لعلاقة مولدة
واحدة ٠ ولكن لا بالنسبة لعلاقة أخرى . فالأعداد الصحيحة المتناهية متسلسلة.
تامة حين تعر المتسلسلة بقوى علاقة التعاقب » كا بينا فى مناقشة المواليات فى
الحزء الرابع ؛ أمًا حين ترتب بترابط الكل بالخزء » فلا نكون إلا جزءاً من متسلسلة
الأعداد اعنم المتناهية والمتصاعدة ٠. كما سترى فيا بعد . ويمكن أن تعتر
المتسلسلة التامة شاملة امتداد حد له نسبة مع علاقة معلومة وهذا الحد نفسه معاً »
وبالنظر إلى هذه الحقيقة فلها لما سيرى بعض الفروق اغامة عن المتسلسلات
غير التامة الترتيبية الشبيبة . ولكن يمكن أن نبين عمنطق العلاقات أن أى متسلسلة
غير تامة فيمك نأن نقلبها تامة بتغيير ف العلاقة المولدة : والعكس بالعكس. ومن هذا
يتبين أنالاميز بين المتسلسلات التامة وغير القامة يرجع أساساً إلىعلاقةمولدة معلومة .
الاعداد الحقيقية
- قد يدهش الفلاسفة بعد كل ما قيل عن ٠ الأعداد حين نجدون أنهم إئما
يستطيعون الآن فقط أن بعلموا شيئاً عن الأعداد « الحقيقية » : وستنقلب دهشهوم
فزعاً حين يعلمون أن 0 الحقيى ( يقابل ١ المتطى ٠» ولكن ستطمئن قلوبهم عندما
يعلمون أن الأعداد الحقيقية ليست بالحقيقة أعداداً على الإطلاق . بل شيئاً مختلفاً
كل الاختلاف .
تشتمل متسلسلة الأعداد الحقيقية بحسب تعريفها الترتتيى على الجموع الشامل
للأعداد المنطقة واللامنطقة . من حبث أن اللامنطقات تعرف بأنها نبايات
المتسلسلات المنطقة الى ليس ها نبابة منطقة أو لا متناهية . ومع ذلك فهذا التعريف
يقدم صعو بات عويصة سنتول مما ف الباب القادم . والرأى عندى أنى لا أجد
أى سبب لافتراض وجود أعداد لامنطقة بالمعيى المذكور . وحى إذا وجدت فيبدو
مما لا ريب فيه أنها لا يمكن أن تكون أكبر من الأعداد المنطقة أو أصغر منها .
وحين أجرى الرياضيون تعميماً خاصاً بالعدد . فهم جديرون بأن يكونوا فى غاية
التواضع بشأنه فهم يظنون أن الفرق بين الأفكار المعممة والأصلية أقل مما هو
ف الواقع . وقد رأينا من قبل أن الأصليات المتناهية لا يحب أن نطابق بيئها وبين
الأعداد الصحيحة الموجبة ٠. بل ولا بينها وبين نسب الأعداد الطبيعية إلى ١
وكلاها يعبر عن علاقات لا تعبر عبها الأعداد الطبيعية . و با مثل يوجد عدد حقيقى
مرتبط بكل عدد والط و واه متميز عنه . والعدد الحقيى فى سأفرض ليس شيعا
آخر سوى فصل معين من الأعداد المنطقة . ففصل المنطقات الى أقل من ! عدد
قِيى مرتبط بالعدد المنطق ١ . ولكنه م الواض- تطابقاً ذه النظردة
حقيى مرتبط , د المنط ' ا 0
للا يؤيدها صراحدة فا أعلم اى مؤلف ار 3 ولو أن بيانو بوحى مها 8 و برب
كانتور 2 شديداً 0 “#الاسات الى أعقة إلبان تاية هذاة اراق
(١ ) انظر مقع اق طه 142 أل مامتال رمموء2 زمر 8 ,11 1ع ١011, بمعاهمما. ممعطتمكة تمدن
20 ل.هق .140 - 120 ترم .11 /1011آ
/ا5
000
1
هى أولا أن مثل هذه الفصول من المنطقات لها جميع الحواص الرياضية الى تنسب
عادة للأعداد الحقيقية ؛ وثانياً أن النظرية المقابلة تعرض صعوبات يظهر لى ألما
لا تحل . وستناقش النقطة الثانية فى الباب التالى » أما الآن فسأقتصر على عرض
وجهة نظرى فقط . محاولا أن أبين أن الأعداد الحقيقية ببذا المعبى الها جميع
الحصائص المطلوبة . وأحب أن أنبه على أن هذه النظرية مستقلة عن مذهب
الهايات الذى لن نعرض لبحثه إلا فى الباب القادم .
4 - الأعداد المنطقة بترتيب المقدار كر امسا وباك يل أن حدرن:
ومثل هذه المسلسلة الى سميناها مؤقتاً فى الزء الثالث متصلة كنهسنهمه »
نجب أن نطلق عليها الآن اسماً آخر» لأننا ستحتفظ بلفظة «المتصل») كامسسناهمء
للمعنى الذى خصصه كانتور لا . واقترح أن أسمى مثل هذه المتسلسلة ملتحمة
عةمصدو. فالأعداد المنطقة تكون إذن متسلسلة ملتحمة. و يجب ملاحظة أنه يوجد
ف المتسلسلة الملحمة عدد لامتناه من الحدود بين كل حدين » ولا توجد حدود
حعاقنة -.؛ وأ الأنيداة “امايق أى عدن <( كانا والخليق أو الا ) هل مره"
أخرى متسلسلة ملتحمة . ولننظر الآن فى أى عدد واحد منطق ''2, وليكن عن »
فى استطاعتنا بالعلاقة مع ص تكوين أربعة فصول لا متناهية من المنطقات :
)١1( الأصغرمن ى (؟) الى ليست أكبر من عن ( ”) الأكبر من ( 4 ) الى
ليست أصغر من مس . ويختلف )١( ؛ ( 4) عن )١( : (8) على التوالى بشى ء
واحد فقط هو أن الأولين تشتملان على عى ولا يشتمل الآخران عليها . ولكن هذه
الحقيقة تفضى إلى فروق غريبة فى الحواص . ذلك أن )١( له حد أخير » على
اذ انسل و )١( متطابق مع فصل الأعداد المنطقة الأصغر من
حد متغير فى )١( : وليست [(؟) هذه الخاصية . وتنطبق ملاحظات شبيهة
بذلك على ( ") و ( 4 ) ولكن هذين الفصلين أدهيتهما أقل فى الحالة الراهنة من
(١)و(١5١). وفصول المنطقات الى ها خواص )١( تسمى قطع 5ا1عصمهع» .
)١( مثل هذه المتسلسلات يسميها كائتور غطءتك الهمعطنا
(؟) سأقتصر بالكلية على المنطقات الخالية العلامة للتبسيط . أما إدخال المنطقات الموجودة أو
أو السالبة فلا يثير أى صعوية .
ب
والقطعة من المنطقات يمكن أن تعرف بأنها فصل المنطقات الذى ليس صفرأ .
ومع ذلك ليس مهاداً مبؤودم :دم مع المنطقات نفسها ( أى الذى يشتمل على بعض
المنطقات لا كلها ) . والذى يكون متطابقاً مع فصل المنطقات الأصغر من حد
( متغير ) هو أحد حدودها : أى مع فصل المنطقات سه بحيث يوجد منطق ص
فى الفصل المذكور بحيث أن س. أصغر من صء٠١) . وسنجد الآن أننا نحصل على
القطع بالطريقة المذكورة لا من المنطقات المفردة فقط . بل أيضاً من فصول
المنطقات المتناهية أو اللامتناهية . بشرط أنه فما مختص بالفصول اللامتناهية يحب
أن يوجد منطق ما أكبر من أى عقتو ل الما + رفن ذلك ببساطة على
النحو التالى :
ليكن ى أى فصل من المنطقات المتناهية أو اللاهتناهية . عندئذ يمكن تعريف
أربعة فصول بعلاقتها مع ى "١ . وهى )١( الأصغر من كل ى )١( الأصغر
من أحد متغيرات ى ( ") الأكبر من كل ى ( 4 ) الأكبر من أحد متغيرات ى :
أى الفصول الى تكون بحيث يوجد لكل منها حد من ى أصغر منها . فإذا كان ى
فصلا متناهياً » فيجب أن يكون له حد أكبر وحد أصغر : وق هذه الحالة
الأول وحده بدخل فى )١( و (") والآخر وحده فى )١( و (4) . وهكذا
ترد هذه الحالة إلى الأول الى كان لنا فيها منطق مفرد فقط . سأفترض إذن فى
المستقبل أن ى فصل لامتناه. ثم لكى أستبعد الرد للحالة الأولى سأفترض عند بحث
(؟1)و(")أنذى ليس له حد أكبر . وبعبارة أخرى كل حد من حدود ى
أن من عق الدر امن حدود ىوقلل كه وبا 40:1 #سمافرض أذى لعن
له حد أصغر . وسأقتصر الآن على ( ؟) و ( ") وافترض ١ بالإضافة إلى غياب
الحد الأكبر . وجود منطقات أكبر من ى . أى وجود الفصل (") . وق ضوء
هذه الظروف يكون الفصل ( ١ ) قطعة . ذلك أن ( ؟ ) يشتمل على جميع المنطقات
الى هى أصغر من متغيرات ى ويترتب على ذلك ابل لقعا وا لمن ل
كبر دساد ددر: فإِن(؟ )يشتمل على جميعى . وثانيا ما دام كل حد ى (؟) أصغر
0 انظر .:وو18 .سلب1" دن ة .111 يوط ,11 . لآملا رعسو مسغطاهكة عل ععتةلصصضوم
2 3 ل 00-7 4 5 0 9 271
0 114 ( مك تعريفب ممالية فصول 3 ريكهت لا لد ا لا كك أردعة 7
78 ثْ
1١٠
من بعض ى . الذى ينتمى بدوره إلى ( ؟) . فإن كل حد فى (7) أصغر من
حد آخر ما فى(؟) . وكل حد أصغر من أى حذددًا فى (؟) فهو من باب أول
أصغر من بعض ى ؛ ويكون على ذلك حداً فى (7) . ويترتب على ذلك أن( ؟)
متطابق مع فصل الحدود الأصغر من حد ما نى ( ٠ ) ١ فيكون بذلك قطعة .
نخلص من ذلك إلى النتيجة الاتية : إذا كان ى منطقاً مفرداً ٠ أو فصل
منطقات كلها أصغر من منطق ثابت هذا . فإن المنطقات الأصغر من ى إذا
كان ى حداً مفرداً » أو أصغر من حد متغير من حدود ى إذا كان ى فصلا
من الحدود ء تكون داماً قطعة من المنطقات . فالذى أذهب إليه هو أن قطع
المنطقات هو عدد حقيى .
- الطريقة البى استخدمت حتى الآن طريقة يمكن إستخدامها فى أى
متسلسلة ملتحمة . وستعتمد بعض النظريات فى بحثنا التالى على أن المنطقات
متسلسلة معدودة ءاداهمع ددمل . وسارجى فى الوقتالحاضر حل النظريات المعتمدة
على هذه الحقيقة . وأشرع فى بحث خواص قطع المنطقات .
رأينا أن بعض القطع تشتمل على المنطقات الى هى أصغر من منطق معلوم .
وسنجد أن بعضها ولو أنما لم تعروف حسب هذا التعريف إلا أنها مع ذلك ممكنة
التعريف على هذا النحو . مثال ذاث المنطقات الأصغر من حد متغير من المستلسلة
4 0 44, . 444, إلخ فهى نفس المنطقات الأصغر من ٠ 0١ ولكن القطع .
فى الباب التالى كيف أدت بنا هذه الحقيقة إلى اللامنطقات. والذى إتما أود بيانه فى
الوقت الحاضر فهو هذه الحقيقة المعروفة جيداً من أن القطع قاصرة عن ترابط الواحد.
بالواحد مع المنطقات . وهناك فصول من المنطقات تعرف على أنها مؤلفة من جميع
الحدود الأصغر من حد متغير ما فى فصل لا متناه من المنطقات . واللى لا تقبل
التعر يف كجميع المنطقات الأصغر من منطق واحد معرف )١١ : وفضلا عن ذلك
هناك قطع أكر من المنطققات . ومن ثم كان لمتسلسلة القطع اتصال أعلى ترنيباً من
المنطقات . والقطع تكون متسلسلات بفضل علاقة الكل بالحزء . أو بفضل علاقة
١ 0 ( انظر ا “وك 5 اماس خا مس ص 0+ الرحمة العر ديه 4
ليل
الاستغراق ( مع استبعاد التطابق ) . فأى قطعتين فهما بحيث تكون إحداتما موية
تماماً فى الأخرى . وبفضل هذه ا حقيقة تكونان متسلسلة . ويمكن بسهولة أن يبين
أنهما يكونان متسلسلة ملتحمة . والأجدر بالنظر هو هذا : إذا طبقنا العملية
المذكورة على متسلسلة قطع . تكون قطعاً من قطع بصلها مع فصول قطع .
وجدنا أن كل قطعة من قطع يمكن تعريفها بأنها جميع القطع المتضمنة فى قطعة
معرفة معيئة . وهكذا فإن قطعة القطع المعرفة بفصل قطع تتطابق دائماً مع قطعة
القطع المعرفة بقطعة واحدة ما . وأيضاً فإن كل قطعة تعرف قطعة قطع يمكن أن
تعر ف بفصل لامتناهمن القطع . وهاتانالخاصتان تجعلان متسلسلة القطع كاملة اع نعم
بحسب لغة كانتور . غير أن تفسير هذا الاصطلاح يجب أن نرجى شرحه إلى أن
نبحث فى مذهب البايات .
كنا نستطيع أن نعرف قطعنا بأنها جميع المنطقات الأكبر من حد هنا نى
الفصل ى من المنطقات . ولو كنا قد فعلنا ذلك واشترطنا أن ى ليس له حد أصغر :
وأنه ليس هناك منطقات أصغر من كل ى . لكنا قد حصلنا على ما يمكن تسميته
بالقطع العليا . باعتبارها متميزة عن النوع السابق الذى يمكن أن نسميه القطع
الدنيا . وعندئذ كنا نجد قطعة دنيا تناظر كل قطعة عليا . وأن تلك القطعة الدنيا
تشتمل على جميع المنطقات الى لا تشتمل التقطعة العليا عذيها . باستثناء نطق
وحيد فى بعض الأحيان . سيوجد »نطق واحد لا ينتمى إلى القطعة العيا أو الدنيا
حين تعرف القطعة العليا بأمما جميع المنطقات الأكبر هن «نطق وحيد . وى هذه
الحالة ستشتمل القطعة الدنيا المناظرة على جميع المنطقات الأصغر من هذا المنطق
الوحيد الذى لن ينتمى بذاته إلى أى قطعة هن القطعتين . وها دام هناك منطق بين
أى اثنين ٠. فلا يمكن أن بكون فصل المنطقات الى ليست أكبر من منطق
متطابقاً مع فصل المنطقات الأصغر من منطق آخر ما . ولا يمكن أبداً أن يكون
فصل المنطقات الذى له حد أكبر قطعة . لذلك كان من المستحيل فى الحالة
المذكورة أن نجد قطعة دنيا تشتمل على جميع المنطقات ابى لا تنتمى للقطعة العليا
المعلومة . ولكن حين لا يمكن أن تعرف القطعة العليا بمنطق وحيد . فن الممكن
دما أن نجد قطعة دنيا تشتمل على « جميع » المنطقات غير المنتمية لاقطعة العليا .
ويمكن إدخال الصفر واللاماية على أمهما حالات بائية للقطع . ولكن فى
١3
حالة الصفر يحب أن تكون القطعة من النوع الذى مميناه ( )١ سابقاً . لا من .
النوع ١؟) الذى ناقشناه هناك . ومن السهل أن نقم فصلا من المنطقات بحيث
يكون حدما من الفصل أصغر من أى منطق معلوم . وق هذه الحالة لن يشتمل
الفصل ( ١ ) على أى حد : فيكون الفصل الصفرى . وهذا هو العدد الحقيى صفر
الذى ليس مع ذلك قطعة الاوع دا عا لي
ولكى ندخل الصفر على أنه فصل من النوع الذى سميناه (1) ٠ نعو نذا
بفصل صفرى من المنطقات . وحيث أنه لا منطق أصغر عد اله رن
من المنطقات : فإن الفصل )١( نى مثل هذه الحالة صفرى . وبامئل يمكن أن
ندخل العدد الحقيى اللامباية . وهذا مطابق لفصل المنطقات بأسره . فلو كان عندنا
فصل ى من المنطقات بحيث لا منطق أكبر من جميع الياءات . كان كل منطق 1
داخلا نى فصل المنطقات الأصغر من بعض ى . و مرة أخرى إذا كان عندنا
فصل من المنطقات فيه حدما أصغر من أى منطق معين . فالفصل النائج ( 4)
( وحدوده أكبر من بعض ى) سيشتمل على كل 3 ٠ فيكون بذلك العدد
الحقيى اللانباية . وهكذا يمكن إدخال كلا الصفر «اللانهاية كحدين متطرفين
بين الأعداد الحقيقية . ولكن ليس أى «لبما قطعة حسب التعريف .
. يمكن تعريف قطعة معلومة بفصول محتلفة كثيرة من المنطقات _ ١
النفتادة غ د لما “هده القطعة ككاقة"مشتركة ...عراف النضلان 1
اللامتناهيان ى . ف نفس القطعة الدنيا . بشرط أنه إذا علم أى ى فكان هناك
فى ما أكبر منه . وإذا علم أى ف فهناك ى ما أكبر منه . وإذا لم يكن لكل
ضر ورى» . عندئذ نطلق على الفصلين ى .ف ١ فصل حد أكبر : فهناك أيضاً شرط
ما سماه كانتور صفة القّاسك عمعمعطم ومتتطمهدءسصددنج) . ويمكن أن نبين
بصرف النظر عن القطع أن علاقة القّاسك مهائلة ومتعدية١'2. ومن ثم يجب أن
تستنتج بمبدإ التجريد أن كليهما له مع حد ثالث ما علاقة مشتركة ليست لأى حد
آخر . هذا 0 السابقة يمكن أن يؤخذ على أنه القطعة
)١( انظر.39ة1 8 .مم رلا رع تمصع امكة أل مامتحن! مد ,]نالع معلمصماة. .طنمكة ممنتممن
اك
1١١
الاسك » ليشمل ١ الى يعرفها كلا الحدين الآخرين . ونستطيع أن نبسط معبى
الفصلين ى : ف يعرف أحدجما قطعة عليا وفع سح بر ا
على جميع المنطقات باستثناء منطق واحد على الأكبر . ولا تزال ملاحظات شبيبة
. بذلك تنطبق بالضرورة على هذه الحالة
وإذ قد تبين لنا الآن أن الحواص العادية للأعداد الحقيقية تنتمى لقطع
المنطقات : فلايوجد ثمة سبب رياضى للتمييز بين مثل هذه القطع وبين الأعداد
الحقيقية . ويبى أن نبحث عن طبيعة الهاية أولا . ثم عن نظريات اللامنطقات
الحارية. ثم بعد ذلك عن الاعتراضات الى تجعل النظرية المذكورة سابقاً تبدو
ل : النظرية السابقة من المفروض أن مقالة بيانو المشار إليها قبلا شاملة
10١ لها
وقد اهتديت إلى هذه النظرية الى أخذت با من هذه المقالة ومن كتاب
51
.عدو قصغ 1< عل عجتداسدمه8 . وق هذهالمقالةنجد تعار يف متفرقةعن الأعداد
الحقيقية ( الفقرة ٠ رق ه) وعن القطع ( الفقرة 8 . ٠ ) يمعلنا نعتقد أنهما متميزان .
ولكننا بعد تعريف القطع نجد الملاحظة التالية ( صفحة ١ : )١« والقطع بهذا
التعريف إنما تختلف فى التسمية عن الأعداد الحقيقية » . ويشرع بيانو أولا فى
إعطاء أسباب فنية محتة للتمييز بين الاثنين بطريقة العلامات 0205م ٠ وهى
أن جمع الأعداد الحقيقية كز وغير ذلك لابد أن يحرى بطريقة مختلفة عن
عمليات شبيهة يحب أن تطبق على القطع . ومن هنا يظهر أن وجهة النظر بأسرها
الى دافعت علها متضمنة فى هذه المقالة . ولكها فى الوقت نفسه تفتقد بعض
الوضوح ما دام بظهر من تعريف الأعداد الحقيقية أنها تعتبر نبايات فصول
المنطقات . على حين أن القطعة ليست بأى معنى نباية فصل من المنطقات. . وأيضاً
فل انك كر فى أى مكان الواقع أنه بمقتضى تعريف الأعداد الحقيقية فلابد من
استنباط الأمر المقابل أنه لا عدد حقيى يمكن أن يكون منطقاً : ولا منطق
يمكن أن يكون عدداً حقيقياً . وهذا بظهر حيث ببين ( ص )١184 أن ١ تاف
عن الكسور الصحيحة . ( وليست هذه هى الحالة بالنسبة للعدد الحقيى ١ حين
١ ) ( ( 120-140 رصم ,آلآ ممعتلقصن اط لل محتتلظ ,”' المسممامدم] امعصسصيا أيا5 “١2
0
بتميز عن كل من العدد الصحيح ١ وعن العدد المنطق ٠ )١ : ١ أو أننا نقول إن ١
أصغر من 71 ( ونى هذه الحالة أقول إن ١ يجب أن يفسر على أنه فصل الكسور
الصحيحة . فتؤخذ القضية عندئذ بهذا المعبى : الكسور الصحيحة هى بعض
لا كل المنطقات الذى مربعها أصغر من ؟) . م يقول بعد ذلك : ١ العدد الحقيى
0 أنه محدد بالقطعة ى وبحددها . فإنه يعتبر عادة مباية القطعة أو طرفها أو حدها
الأعلى » . مع أنه لا سبب لافتراض أن القطع الى ليس لا سباية منطقة فلها مباية
على الإطلاق . وهكذا ولو أنه يعترف بإمكان إقامة نظرية كاملة عن اللامنطقات
بواسطة القطع فيبدو أنه لا يدرك الأسباب ( البى ستقدمها فى الباب التالى) الى من
أجلها يحب أن نفعل ذلك - وهى أسباب أدنى فى الواقع إلى أن نكون فلسفية منها
إلى أن تكون رياضية .
الباب الرابع والثلاثون
النهايات والأعداد اللامنطقة
6 - يعتمد البحث الرياضى فى الاتصال 07 كلياً على نظرية الهايات .
وقد ظن , بعض الرياضيين وبعض الفلاسفة أن هذه النظرية قد بطلت بظهور
الحساب اللانهائى الذى أثبت أن اللامبائيات الصغر الحقيقية مفروضة قبلا فى
الهايات 2١١ . ولكن الر ا ل لي ا لانيل مر
لاعن وار زع طريقة الماك كم فأكثر باعتبار أنها أساسية . وى هذا الباب
سأعرض أولا التعريف العام لللهاية. ثم أفح صق أمر تطبيقها على إيجاد اللامنطقات .
عرفنا المتسلسلة اللملتحمة بأنها تلك اله لى يوجد فيها حد بين أى حدين . ولكن
فى مثل هذه المتسلسلة من الممك. كن دائماً وجود « فصلين )) من الحدود ليس ما حد
يقع بينهماء ومن الممكن دائماً رد « أحد» هذين الفصلين إلى حد مفرد. مثال ذلك إذا
كانت و العلاقة المولدة » س أى حد من المتسلسلة. كان فصل الحدود الذى
له مع س. العلاقة و فصلا ليس بينه وبين سه أى حد”"!. وفصل الحدود المعرّف
على هذا النحو هو أحد القطعتين الى تعينهما س . وفكرة القطعة من الأفكار التى
إنما تحتاج إلى متسلسلة فقط بوجه عام . وليس من الضرورى أن تكون متسلسلة
عددية . وى هذه الحالة إذا كان تالمتسلسلة ملتحمة يقال إن س, « نباية » الفصل.
وحين يوجد مثل هذا الحد س . يقال إن القطعة مننبية . وهكذا فإن كل قطعة
منبية فى متسلسلة ملتحمة فحدها المعرف يعد اللهاية . ولكن هذا لا يؤلف تعريف
الهاية ؛ ولكى نحصل على تعريف عام للنباية فلنضع أى فصل مشمول فى المتسلسلة
المتولدة من وه . عندئذ يكون الفصل ى بوجه عام بالنسبة لأى حد س لا يتتمى
إليه منقسماً إلى فصلين . أحده] الذى لحدوده العلاقة ى مع س ( وسأسميه فصل
)١ ) هذه مثلا وجهة نظر كوهين #اتعى 4اتنا علمطاعللا - أمصفعةاتصق/جا مه وتعص ا« عمط صعطو)
.1 .2ص ععذ 1883 سمتامعظ مللاعنطععوم
)١( ' لعله من فائلة القول يان أن الحد الموجود دين ى . ب إذا كانت له الملاقة قا بع كل حد من
حدود ى ؛ والعلاقة ق مع كل من حدود ب و العكس بالمكس .
١١6
١5
الحدود السابق عل س2 والآخر الذى لحدوده مع س. العلاقة وه ( وسأمميه فصل"
الحدود اللاحقة (س ) فإذا كان س نفسه حداً فى ى : نظرنا إلى جميع حدود ى
غير س . فنجد أنما تنقسم إلى الفصلين المذكورين . ويمكن أن نسميها 7[ ى سه
وى س على التوالى . فإِذًا كان بر ى سه بحيث يكون صء أى حد سابق
على س. . فهناك حد من تزى اس لاحق على صء . ويمعبى آخخر بين سه » ص »
وعندئذ يكون س, نهاية ( جر ى س . وبالمثل إذا كان 7 ى سه بحيث أنه إذا
كان م[ أىحد بعد س : فهناك حد من 1/7 ى سل بين سه » مل » عندئذ
يكون س نباية ( 17 ى سه . ونعرف الآن أن سء نباية ا ى إذا كانت نهاية
إما ! بر ى س أو #رى س . ويجب ملاحظة أن ى قد يكون له مبايات كثيرة »
وأن جميع الهايات مع تكن فصلاجديداً مشمولا فى المتسلسلة الى تولدها وه .
وهذا هو الفصل ( أو بالأحرى أن هذا بتأبيد بعض الفروض الأخرى المعنية بصبح
الفصل ) الذى يسميه كانتور بأنه أول مشتقات الفصل ى
58 - وقبل أن تمضى فى البحث أكثر من ذلك يحسن التنبيه على بعض
ملاحظات عامة ذات صفة أولية عن موضوع الهايات . فأولا الهايات تنتمى
عادة لفصول مشمولة ى متسلسلات ملتحمة - فصول قد تكون فى الحالات
المتطرفة متطابقة مع المتسلسلات الملتحمة المذكورة . وثانياً المابة قد تنتمى وقد
لا تنتمى للفصل ى الذىهى نباية له - ولكنها تنتمى داتماً لمتسلسلة ما تشتمل على
ا فإذا كانت حداً من حدودى فهى لا تزال نهاية للفصل المركب من جميع
حدود ى ما عدا نفسها . وثالثاً لا فصل يمكن أن يكون له نباية إلا إذا اشتمل
على عدد لا متناه من الحدود . ولمرجع إلى قسمتنا السابقة فنقول : إذا كان ى
متناهياً كان بر ى س . و ى س متناهيين. وبناء على ذلك كل مهما سيكون له
حد هو أقرب حد من س ٠ ولن بيقع بين هذا الحد وبين س أى حد من ى .
ومن ثم ليس سه نهاية اى » وما دام س أى حد ف المتسلسلة . فلن يكون لى
أى نباية على الإطلاق . ومن الشائع إضافة نظرية تذهب إلى أن كل فصل لا متناه
بشرط أن تكون جميع حدوده مشمولة بين حدين معينين من المتسلسلة المتولدة عن
ىء : فلابد أن يكون له على الأقل نباية واحدة . ولكن هذه النظرية كما سنبين
تحتاج إلى تفسير فى ضوء القطع . وليست كما هى قائمة صحميحة . ورابعاً إذا كان
ل
ى مهاداً مع المتسلسلة اللملتحمة كلها المتولدة من ىء . إذن كل حد من هذه
المتسلسلة نباية اى . ولا يمكن أن يكون هناك حدود أخرى هى مبايات بالمعبى نفسه
ما دامت اللهايات إتما علرفت بعلاقتها مع هذه المتسلسلات ال لتحمة . وللحصول على
نبايات: أخرى يبن أن نعتير المتسلسلة المتولدة عن ىء أنها تكون جزءاً من متسلسلة
ملتحمة أخرى - وهى حالة قد تنشأ كنا سترى بعد . على أى حال إذا كان ى أى
متسلسلة ملحتمة فكل حد من ى فهو ماية أى . أما هل ى له أيضاً مهايات
أخرى فأمر يتوقف على ظروف أخرى . وبوجه عام يمكن تعريف الهاية بأنها
حد يتلو مباشرة ( أو يسبق ) فصلا ما من الحدود المنتمية لمتسلسلة لا متناهية » دون
أن يتلو مباشرة ( أو يسبق حسب الأحوال ) أى حد واحد من المتسلسلة . وبهذه
الطريقة سنجد أن الهايات قد تعرف عموماً ى جميع المتسلسلات اللامتناهية اللى
ليست متواليات -كالحال مثلا فى متسلسلات الأعداد الصحيحة المتناهية
والمتصاعدة .
4 - نستطيع الانتقال الآن إلى بحث النظريات الحسابية المتعددة عن
اللامنطقات والتى تعتمد كلها على البايات . وهى فى صورنها المضبوطة الى وضعها
ها أصحابها : سنجد أنها جميعاً تتطلب بديبية تفتقر إلى أدلة سواء من جهة الضرورة
الفلسفية أو المناسبة الرياضية . وتوجه إليها اعتراضات منطقية خطيرة ٠ وتستقل
عنها تماماً نظرية الأعداد الحقيقية المبسوطة فى الباب السابق .
لم نستطع بحث النظريات الحسابية عن اللامنطقات فى الحزء الثانى ما دامت
تعتمد أساساً على فكرة التَرتيب . ولا تصبح الأعداد إلا بواسطها متصلة بالمعى
المتداول الآن بين الرياضيين . وسترى فى الحزء السادس أننا لا نحتاج إلى أى مععى
آخر عن الاتصال فى بحث المكان والزمان . ومن المهم جدا أن نتبين الأسباب
المنطقية الى من أجلها تكون النظرية الحسابية عن اللامنطقات ضرورية حها .
وكان تعريف اللامنطقات فى الماضى خاضعاً فى العادة لاعتبارات هندسية .
وقد كان ذلك الإجراء منافياً للمنطق إلى حد كبير . لآنه إذا وجب أن ينتج عن
تطبيق الأعداد على المكان شىء خلاف التكرار فلابد أن تعرف الأعداد تعريفاً
مُستقلاً . وإذالم يكن ممكناً سوى التعريف المندسى . فلن يكونبصراحة نمة أشياء
ل
حسابية كا يزعم النعريف تعريفها . والتعريف ابره ى الذى أدخلت فيه اللامنطقات
كجذور لمعادلات جبرية ليس ها جذور منطقة . كان عرضة لاعتراضات شبيبة
بذللكء إذ كان لارك :م :بيات أن قل هذه المعادلات لا جذور . وفضلا عن ذلك
فهذه الطريقة إتما تؤدى إلى ما يسمى بالأعداد الحبرية البى هى تناسب لانهالى
الصغر للأعداد الحقيقية. وليس لا 0 تحسب المعبى الذى ذهب إليه كانتور »
أو بحسب المعبى المطلوب فى المندسة . وعلى أى حال إذا كان من الممكن دون أى
افنراض آخر الانتقال هن الحساب إلى التحليل . هن المنطقات إلى اللامنطقات »
فبيان كيفية إجراء هذا العمل يخطو بالمنطق أشواطاً إلى الأمام . إن تعمهات
العدد باستثناء إدخال الأعداد التخيلية ااتى يجب أن تجرى مستقلة - هى
كلها نتائج ضرورية للتسلم بأن الأعداد الطبيعية تكون متوالية . فى كل متوالية
يكون للحدود نوعان هن العلاقات . نوع يكون الشبيه العام بالأعداد الموجبة
والأعداد السالبة . والثانى بالأعداد المنطقة . والأعداد المنطقة تكون متسلسلة ملتحمة
معدودة . وقطع المتسلسلة الماتحمة المعدودة تكون كما رأينا فى الباب السابق متسلسلة
متصلة بالمعبى الدقيق . وهكذا كل شوىء ينشأ من افتراض المتوالية . ولكن علينا فى
الباب الحاضر أن نبحث ف اللامنطقات من جهة اعمادها على الهايات ٠ وبهذا
المغى نهد ما ينها هين افتراضن خدية..
وهناك عدة نظريات شبيبة بذلك شيئاً ما عن الأعداد اللامنطقة . وسأبدأ
بعرض نظرية ديديكند!'! .
5 مع أن الأعداد المنطقة هى بحيث يكون دائماً بين كل عددين عدد
ثالث إلا أن هناك طرقاً كثيرة لتقسم « جميع » الأعداد المنطقة إلى فصلين .
بحيث تأق جميع أعداد فصل ٠ هما 1 جميع أعداد الفصل الآخر ٠ فلا يقع
أى عدد منطق بين الفصلين . ومع ذلك لا 0 فصل الأول حد أول ولا يكون
للثاق حد أخير . مثال ذلك أن جميع الأعداد المنطقة بغير استئناء يمكن أن
تصنف حسب مربعها أهو أكبر أو أصغر من ؟ . وجميع الحدود ثى كلا الفصلين
يمكن تنظيمها فى متسلسلة مفردة . يوجد فيها «تمطع مين . يأنى قبله أحد
0 01 .1892 علعاتعصصظ هلع لمع معلطهك عنقصمعوعما لصس تع طع 56
4
الفطتلين ونال الآخر' بمدهة :وييدوةأنة الأتضال يفظلت أن قار عد ما..هذا
المقطع . والعدد الذى يمع بين الفصلين يجب أن يكون عدداً جديداً ما دامت
جميع الأعداد القديمة قد صنفت . وهذا العدد الحديد الذى يعرف بموضعه من
المتسلسلة هو عدد لامنطق . فإذا أدخلت هذه الأعداد فليس هناك دائماً عدد
بين أى عددين فقط . بل هناك عدد بين أى فصلين أحدهها يأتى بأسره بعد
الآخر ؛ وليس للأول منبما حد أصغر بها ليس لاثانى حد أكبر . وهكذا يمكننا
أن نطبق على الأعداد البديبية التى بها يعرف ديديكند اتصال الخط المستقم
( أنظر الميجع السابق ص )١١ .
«إذا أمكن تقسم جميم نقط الحط إلى فصلين بحيث تكون كل نقطة من
أحدها على شهال كل نقطة من الفصل الآخر . فهناك نقطة عله ررم
بها هذا التقسم لجميع النقط إلى فصلين ؛ وفذا المقطع من الحط إلى جزأين » .
15 - ومع ذلك فبديبية ديديكند هذه ذات عبارة أدنى إلى أن تكون غير
محكمة » وتحتاج إلى إصلاح يوحى به ا تقاف الأعداد اللاءنطقة . فإذا انقسمت
«جميع » نقط خط إلى فصلين . فلن تنفرد نقطة بالبقاء ل#ثل المقطع . وإذا قصد
بلفظة « جميع » استبعاد النقطة الى تمثل المقطع : فلن تيز البديبية المتسلسللات
المتصلة بل تنطبق على السواء على جميع المتساسلات . مثال ذلك متساسلة الأعداد
الصحيحة . ينبغى إذن أن تأخذ البديبية على أنها تنطبق بالنسبة للتقسم المذ كور
لاعلى جميع نقط الحط . بل على جميع النقط المكونة لمتسلسلة ملتحمة ما .
وموزعة على طول الخط . ولكنبا تتكون فقط من قسم من نقط الحط . فإذا أجرينا
هذا الإصلاح أصبحت البديبية مقبولة . واو أمكن من بين حدود المتسلسلة
إفراز بعضها لتكوين متسلسلة ملتحمة تتوزع على طول المتسلسلة السابقة ؛
أمكن دايا أ ن تنقسم هذه المتسلسلة الحديدة بطريقة ديديكند إلى قسمين لا يقع
نينا أئ حد من المتساساة الجديدة . بل حد واحد لا غير من المتسلسلة الأصلية .
عندئذ تكون المتسلسلة الأصلية متصلة بحسب العبى الذى قصده ديديكند من
هذه اللفظة . ومع ذلك فالإصلاح يبدم تماماً الوضوح الذاتى الذى عليه وحده اعتمد
للم ساي الات ن حيث تطبيقها على الخط المستقم .
ل
وهناك إصلاح آخر أقل بعض الشىء تعقيداً يمكن إجراؤه ويحقق فما أظن
ما ( قصده ؛ دردركند من تقريره ف بديهيته . فد بمكن القول بأن المتسلسلة متصلة
بالمعبى الديديكندى عندما . وعندما فقط . يمكن تقسم « جميع ) حلود
المتسلسلة غير استثناء إلى فصلين . بحيث يسبق « كل » الفصل الأول كل
الفصل الثانى . وعندئذ مهما يكن التقسم فإما أن يكون الفصل الأول حد أخير
أو للفصل الثانى حد أول .ولا يجتمع 0 000 مع أبداً . وهذا الحد الذى يأى
عند طرف واحد من الفصلين قد يستخدم حيلف بطريقة ديديكند لتعريف
اللتلع . وفى المتسلسلات المنفصلة مثل متسلسلة الأعداد الصحيحة يوجد كل من
حد أخير فى الفصل الأول وحد أول فى الفصل الثا ٠ على حين أله فى
المتسلسلات الملتحمة كالمنطقات حيث لا يوجد اتصال فد يحدث أحياناً ( واو أنه
ليس ق كل تقسم تمل ) ألا يكون للفصل الأول حد أخير : ولا يكون للفصل
الأخير حد أول واي انار اتنا عيض 6 اجن دكين + ولك
لا أستطيع أن أرى أى أثر للوضوح الذاتى فى مثل هذه البديبية سواء أكانت مطبقة
على الأعداد أو على المكان .
- ولنترك جانباً فى الوقت الراهن المشكلة العامة للاتصال ٠ ولترجع إلى
تعريف ديديكند للأعداد اللامنطقة . وأول سؤال يخطر بالبال هو : بأى حق
نفترض وجود مثل هذه الأعداد ؟ وما العلة فى افتراض ضر ورة وجود موضع بين
فصلين أحدهما إلى المين تماماً . وليس لأحدهها حد أصغر ولا للآخر حد أكبر ؟
وليس هذا صحرحاً عن المتسلسلات بوجه عام ما دام كثير من المتسلسلات منفصلة
وهذا لا يتطلبه طبيعة التُرتيب . ثم الاتصال كا رأينا تمكن على بعض المعانى بغيره .
فلماذا ينبغى أن نفترض مثل هذا العدد أصلا ؟ وينبغى أن نذكر أن المشكلات
الحبرية وال هندسية والى ترى اللامنطقات إلى حلها . لا يجب أن يحسب لها حساب
ههنا . والمعادلة س" ٠ - ١ يجب أن يكون لحا جذر كا قبل . لأن شه
كلما زادت من ٠ إلى ؟ ازدادت س" - 7 . وتكون أولا سالبة ثم موجبة .
(1) إذا كانت المتسلسلة تشتمل على جزء ريح هو متوالية » فإ نما يكون مديحاً بوجه عام
ولكن لا يغير ا 'ء- أن الفصل الأول الايد أن يك 50 خير 1
١1١
ولو تغيرت سه باستمرار» فكذلك تتغير س"'- ؟ . عندئذ يحب أن تأخذ س"- "
قيمة . فى انتقاها من السلب إلى الإيحاب . وقد قيل أيضاً إن قطر المربع الذى
طول ضلعه الواحد الصحيح له من الواضح طول مضبوط وحدود هو سء وأن هذا
الطول يكون نحي أن س' 7 ع ء ولكن هذه الحجج كانت عاجزة عن
بيان أن س. هو عدد حقاً . ويمكن كذلك أن نعتبرها مبيئة عجز الأعداد
عن التعبير عن المبر والهئدسة . وترى النظرية الراهتة إلى إثبات الزجود اللحساى
للامنطقات » وهى فى صورتها أفضل من النظريات السابقة ورك و
تطبيقها يقصر عن صورما .
إنفحص بالتفصيل تعريف 71 بطريقة ديديكند. ومن الحقائق الغربية
أنه مع أن عدداً منطقاً بقع بين أى عددين مفردين منطقين » فقد يمكن أن
يعرف فصلان من الأعداد المنطقة بحيث لا يقع أى عدد منطق بينهما » على الرغم
من أن جميع حدود فصل واحد أعلى من جميع الفصل الآخر . ومن الواضح أن
واحداً على الأفل من هذه الفصول يحب أن يشتمل على عدد لامتناه من الحدود :
إذ لو لم يكن الأمر كذلك لأمكننا إفراز اثنين من النوعين المتقابلين المتقاربين »
وندخل بينهما عددأ جديدا » فيقع هذا العدد الواحد بين الفصلين . وهذا يضاد
الفرض . ولكن حين يكون أحد الفصلين لامتناهياً فقد يمكن أن نرتب جميع
الحدود أو بعضبا فى متسلسلة من حدود تقترب: باستمرار من الفضل. الآخر دون
أن تبلغه » ودون أن يكون لها حد أخير . ولنفرض الآن أن فصلنا االامتناهى
معدود » عندئذ نحصل على متسلسلة معدودة من الأعداد إن تنتمى كلها لأحد
الفصاين ولكها تقترب باستمرار من الفصل الآخر . وليكن ب عددا ثابتاً من
الفصل الثانى . عندئذ يكون دااً بين إرر » ب عدد آخر منطق » ولكن هذا
العدد يمكن اختياره من غير الألفات . وليكن اي , . ولا كانت متسلسلة
الألفات لامتناهية » فليس من الضرورى أن نحصل ببذه الطريقة على أى عدد
ليس متتمياً لمتسلسلة الألفات . وى تعريف اللامنطقات متسلسلة الباءات لا متناهية
كذلك . أضف إلى ذلك أنه إذا كانت الباءات معدودة أيضاً » فأى عدد منطق
بين انم ) نام لقم مناسبة أى4مء لم ع فإما أنه الي أو مدن أو أنه
١1
يقع بيت أبمبى وبيت المبى ١ ئد. أو بين نارق وبين ب0م7 0+ إلى
الواقع امجن تقع داماً بين إلى . ب م٠ وبخطوات متتابعة لا نحصل على أى
حد يقع بين جميع الباءات وجميع الألفات . وعلى الرغم من ذلك فإن كلا الألفات
والباءات متقاربة » ولنفرض أن الألفات تتزايد على حين أن الباءات تتناقص »
عندئك بان, - إنم . نرم - ابهيو تتناقص باستمرار : إذن ابهب؛ سايم
وهى أصغر من اميا أصغر من العدد المتناقص باستمرار . وعلاوة على ذلك
يتناقص هذا العدد إلى غير حد إذ لو كان بان, -إب شا عهاية هى , . لوقع العدد
ابم أخيراً بين الفصلين . وبذلك تصبح اريدم - اير أخيراً أقل من أى
عدد معلوم وهكذا فإن الألفات وألباءات متقاربة . ولا كان الفرق بيمهما علاوة على
ذلك يمكن أن بعل أصغر من أى عدد معلوم فلهما نفس الباية إن وجدت
ولكن هذه الهاية لا يمكن أن تكون عدداً منطقاً ما دامت تع بين جميع الألفات
وجميع الباءات . ويظهر أن هذه هى الحجة لوجود اللامنطقات . مثال ذلك
إذا كان .
سد يا ,+ .اس" د لاس [اد.
سن عدم اط اد م0 1-21
بحيث أن جميع الآيلات الفردية ا من جميع الابلات الزوجية » فى الوقت
الذى نتزايد فيه الايلات الفردية باستمرار وتتناقص الزوجية باستمرار . وعلاوة على
ذلك يتناقص باستمرار الفرق بين الايلة الفردية والآبلة الز وجية التى تليها . وهكذا فإن
كلا المتسلسلتين إذا كان هما نباية فلهما نفس الهاية ٠. وهذه الهاية تعروف.
ينما را
ولكن وجود نهاية فى هذه الحالة من الواضح أنه افتراض بحت ء فقد رأينا
ف اسهلال هذا الباب أن وجود نباية يتطلب متسلسلة أكبر تكون اللهاية جزءاً
منها . فأن نبتدع الهاية بواسطة المتسلسلة الى علينا إيحاد نمابتها فهو إذن خطأ
منطى . هذا ومن الضرورى أن تتناقص المسافة من الهاية إلى ما لا نباية له . ولكن
ههنا مسافة الحدود المتعاقبة هى الى إنما يعرف من أمرها أنها تتناقص بدون حد .
١1 *
وفضلا عن ذلك جميع الألفات أصغر من الى . ومن ثم تفترق باستمرار شيئاً
فشيثاً عن سيم . ولكن مهما تكن ن, . فلا يمكن أن تكون سر نباية الألفات .
لأن ١+. تقع بين سل وجميع الألفات . وهذا لا يمكن أن يثبت وجود
الهاية بل يثبت فقط إنها إن وجدت. فلا تكون أحد الألفات أو الباءات ولا أى
عدد آخر منطق . وهكدا لا يقوم برهان على وجود اللامنطقات . بل « عسى '
فقط أن تكون أوهاماً مم1 مناسبة لوصف علاقات الألفات والباءات .
4 - ونظرية فايرشتراس عن اللامنطقات تشبه بعض الشىء نظرية
ديديكند . فى نظرية اير عراس عندنا متسلسلة من الحدود | . أ .... ابم ؛
بعيث أن إىر لجميع قم بم أصذر من عدد ما معلوم . وهذه الحالة نصادفها مثلا
فى الكسر العشرى اللامششاهى . فالكسر ... 14189," مهما يكن عدد الحدود
الى نأخذها يبى 'قل من 58,1515 . وى هذه الطريقة ليست الهاية كما بين
كانتورا'! ناشئة عن الجمع اذ ةاتتدناة ٠. بل 00 يغرض وجودها من قبل لكى
كن أن قرت براسط )2 بهذا هو تين ما ودياك" الى انظراية .ديد كد :
أن سملت الأعناة المنطقة لا مكن أن تثبت وجود الأعداد اللامنطقة على أنها
مجاياهاء ولكن إبما يمكن أن تثبت فقط . أنهه إذا » كانت هناك مباية . فلابد أن
تكون لا منطقة .
وهكذا فإن النظرية الحسابية عن اللامنطفات فى أى من الصورتين المذ كورتين
عرضة للاعتراضات الآتية . ١( ) لا برهان نحصل عليه منها على وجود شىء آخر
خلاف الأعداد المنطقة . اللهم إلا إذا سامنا ببديبية عن الاتصال مختلفة عن تلك
الى تحققها الأعداد المنطقة. وليس عندنا أى أساس حت الآن اثل هذه البديهية .
(١؟) وبفرضوجود اللاءنطقات فهى إنما تخصص فقط ولا تعرف متسلسلة الأعداد
المنطقة اابى هى لايانها . فإدا لم نسلم بوجودها مستقلة تساي" الضلمة المذ كورة
لا يمكن أن يعرش فا مبابة . وعلمنا بالعدد اللامنطق الذى هو نباية. مفروض قبلا
ف البرهان على أنه نهاية . وهكذا ومع أننا دون أن نرجع للهندسة . فأى عدد
لامنطق معلوم يمكن أن ١ يخصص » بواسطة متسلسلة لا متناهية من الأعداد
١ ) ( هذا وإنى أنقل نفارية فأير شير اوس ما أورده شنواز ده ام معطف اماع طون ابا تمسصمكح
د اتافسطتعة. عماعصععالج ععطنا مععصسعامه؟١ عامام
0)
1
المنطقة : إلا أنه لا برهان من الأعداد المنطققة وحدها يمكن إقامته على وجود أعدادٍ
لامنطقة أصلا » ونجب أن نبرهن على وجودها من مسلمة جديدة ومستقلة .
واعتّراض آخر على النظرية المذكورة هو أنها تفترض أن المنطقات واللامنطقات
تكون جزءاً من متسلسلة واحدة بعينها تتولد من علاقى الأكبر والأصغر . وهذا
بثير نفس النوع من الصعوبات الى رأينا أنها تنشأ فى الحزء الثانى - من فكرة
أن الأعداد الصحيحة أكبر من المنطقات أو أصغر منها » أو أن بعض المنطقات
أعداد صحاح . حقنًا المنطقات فى أساسها علاقات بين الأعداد الصحاح » ولكن
اللامنطقات ليست هى مثل هذه العلاقات . فإذا أعطينا متسلسلة لا متناهية من
المنطقات فقّد يمكن أن يوجد عددان صحيحان العلاقة بيهما عدد منطق تحد
المنسلسلة » أو يمكن ألا يوجد مثل هذا الزوج من العددين الصحيحين . فالشىء
الذى فرضناه على أنه الهاية فى هذه الحالة الأخيرة لم يعد من نفس النوع كحدود
المتسلسلة المفروض أنه بحدها . لأن كلا منها علاقة بين عددين #ديحين على حين
أن الهاية ليست كذلك . ومن العسير أن نفترض فى مثل هذه الحدود أنها يمكن
أن يكون لها علاقتا أكبر وأصغر . الواقع العلاقة المكونة للأكبر والأصغر التى تنشأ
منبا لملة المنطقات عك؟ أن تعرف تعر يفاً جديداً يناسب حالة اللامنطقيين 3
أو حالة منطق ولا منطق . وهذا التعريف القائل بأن اللامنطق أكبر من المنطق
يستخدم حين بحد اللامنطق” متسلسلة” تشتمل على حدود أكبر من المنطق
المعلوم . ولكن المعلوم ههنا هو علاقة منطق معلوم بفصل من المنطقات » وبالذات
علاقة التبعية للقطعة المعرفة بالمتسلسلة الى نباينها هى اللامنطق المعلوم بفعالة
لامنطقين يعرف أحدهها بأنه أكبر من الآخر حين تشتمل هتسلسلته المعرفة على
حدود أكبر من أى حدود فى اللمتسلسلة المعرفة للآخر - وهو شرط يكاق قولنا
إن القطعة المناظرة لإحداهما تشتمل كجزء صحيح فيها على القطعة المناظرة [لآخر .
وهذه التعاريف تعرف علاقة مختلفة كل الاختلاف عن تباين منطقين »
بالذات علاقة الاستغراق المنطقية . وهكذا لا يمكن للامنطقات أن تكون جزماً
من متسلسلة المنطقات » بل لابد من وجود حدود جديدة تناظر المنطقات حى
يمكن أن تنشأ متسلسلة مفردة . ومثل هذه الحدود موجودة كما رأينا ني الباب السابق
١1ه
فى القطع . ولكن نظريى ديديكند وقاير شتراس تغفل البحث عمما .
8 2 ونظرية كانتور على العم من أنه لم يعبر عدها فاسفيما بالوضوح الواجب
إلا أنها أدنى إلى التاويل الذى أذهب إليه . وترم بوجه خاص إلى إثبات وجود
الهايات . وهو يلاحظ''' أن وجود الهاية فى نظريته قضية يمكن البرهنة عليها
بدقة » ويؤكد بشدة الحطأ المنطتى الداخل ى محاولة استنتاج وجود اللهاية من
اليل الى نه تباية الجا "": .ونيد كانتون ايحك :ا : نميه العد ايلات
الأساسية ( وهى نفس ما ميته متواليات ) المشمولة فى متسلسلات أكبر . وكل واحدة
من هذه المتسلسلات إما أن تكون صاعدة بالكلية أو هابطة بالكلية . وتسمى
ائنتان من مثل هذه المتسلسلات مهاسكة 6معمعطم تممتسفطععمعسصصدوب2) تحت
الظروف الآنية :
)١( إذا كان كلاهما صاعداً . وكان دا“ماً بعد أى حد من أيهما حد من
الآخر .
)١( إذا كان كلاهها هابطأً . وكان دام
-#ّ
قا أىئ حد من ابهما حد من
الآخر .
(") إذا كان أحدهما صاعداً والآخر هابطأ : وكان أحدهها يسبق بالكلية
الآخر وكان « على الأكثر » حد واحد بين المتسلسلتين الأساسيتين .
وعلاقة المّْاسلك متائلة وذلك بمقتضى التعريف : ويبين كانتور أنها متعدية .
وف المقالة البى استخلصنا منها الملاحظات المذكورة يبحث كانتور ى موضوعات
أعم بكثير من تعريف اللامنطقات . ولكن الكلام الذى ذكرناه عن المتسلسلات
المماسكة سيعيننا على فهم نظرية اللامنطقات . وهذه النظرية مبسوطة على النحو
الالى فى كتاب مبطعافاك او نالطءتمصة1ة رص "38 وما بعدها ) .
تتعترف المتسلسلة الأساسية عن المنطقات بأمها متسلسلة معدودة بحيث إذا علم
أى عدد وليكن , . فهناك على الأكثر عدد هتناه من الحدود فى المتسلسلة تكون
)١( المرجع السابق ص 4 ؟
(١ ) توجد نظرية كان:ور عن اللامنصدتات وو المرجم السابق ص «م . وق تععصيوع لملا .اماك
ا
١
8 ىك اتتعسسطاعة عمتعتصهلاة عطي وسايد! بأتياع عرض جاء ؤم بعد ييدولى أله أوضحد 0 6 وموجود
0-5 5 م
الفقرة ٠١ ق مقالة ى ١". .معاقصعاملة لل محتكنا! مامه باتكل .معامصمكت .طتملح
لحلل
القيمة المطلقة للفروق بينها وبين ال+دود التالية ها تزيد على , . بعبارة أخرى إذا,
علم أى عددع مهما يكن صغيراً فأى حدين من المتسلسلة يأتيان معأ بعد حد
معين فلهما فرق يقع بين رع . -غ. ومثل هذه المتسلسلة لابد أن تكون أحد
أنواع ثلاثة : )١( أى عدد ع يذكر فالهم المطلقة لالحدود من حدها فا فوق
ستكون كلها أصغر من ع مهما يكن , (5) من خدما فا فوق جميع الحدود
قد تكون أكبر من عدد موجب معين « , رم)من حدما فا فوق جميع الحدود
قد تكون أصغر من عدد سالب معين 2 . ويعرف العدد الحقيى وليكن ب
بالمتساسلة الأساسية . فيال فى الحالة الأولى إنه الصفر . وى الحالة الثانية إنه
موجب . وف الثالثة إنه سالب . ولتعر يف الجمع وغير ذلك لهذه الأعداد الحقيقية
الحديدة . نلاحظ أنء إذا كان ا . !و هى الحدود الواوية للمتساسلتين الأساسيتين
فالمتسلسلة التى حدها الوا هى او 1و . أو زو لو ١ أو او 1, فهى أيضاً
متسلسلة أساسية . بيخ إذا كان العدد الحقيى المعرف بالمتسلسلة ( إو )''' ليس
الصفر : فإن 59و + زو ) تعرف أيضاً متسلسلة أساسية . وإذا كان .ان
ها العددان الحقيقران المعرفان بالمتسلسلة (او ) . (7). فإن الأعداد
اللي المقرفةة وجراو عدر وخ با زعو دا ان دو ادو در و رو
تعرف على أنهاات + نا . انلاب . نا كان . ب جات بالتوالى . ودن هنا
نشرخ ف تعريف التساوى والأكبر والأصعر يبن الأعداد الحقيقية . فتقول :
تعرف أن اب -ات تفئ أن لعفت 2
ادك "لفى ١ أن لكك اننا الوه
اذ على أن عي سالك
وهذه جميعاً حدود سبق تعريفها . ويلاحظ كانتور أيضاً أن أحد الأعداد
فى هذه التعاريف قد يكون نطقاً. وربما بررر ذلك صورياً بملاحظة أن المتسلسلة
المعدودة والّى حدودها هى كلها نفس العدد المنطق فهى متساسلة أساسية حسب
التعريف . ون م عندما نضع الفروق !0 - (, والى بها تعروف نان
فقد نضع منطقا ما تابنا اي موضع ١و لجميع فم و . ولكن لا ييرتب على ذلك
)١ ) الرمز ( 1و ) يدل على اإتسلسلة كايا الى حدف الواوى هو لو. لا هذا الحد وحده .
١1١/
أننا نستطيع تعريف ب - ١ . وذلك لما بأق : بيس ثمة ثبىء على الإطلاق ؛
التعريف المذكور عن الأعداد الحقيقيه يبين أن | هو العدد الحقشيى ارت
متليلة أناسنة خدودها كناو جديا 1 والليي؟ الوحيد" الذي عمل هذا بيسن
الوضوح هو أن التعريف بالذبايات موجود لاشعورياً بحيث يجعلنا نظن أنه ما دام ؛
من الواضح أنه مهاية متسلسلة حدودها تساوى جميعاً حعوييد لابك أن يكون 1
العدد الحقيى المعرف بمثل هذه المتسلسلة . ومع ذلك ما دام كانتور يصر - وهو
على حق فما أظن - على أن طريقته مستقلة عن الهايات الى بالعكس نجب أن
تستنتج من هذه الطريقة رص 4؟ )١9 فلا ينبغى أن نقف طويلا عند هذه
الفكرة السابقة. بل الواقع هذه الفكرة السابقة إذا م أكن ءطثا باطلة . وليسقى
التعاريف المذكورة من قبل ما يدل على تساوى أو لا تساوى العدد الحقيى والعدد
لمنطق. بل هناك أسباب قوية جدا تجعلنا نفترض عكس ذلك . وكذلك لابد لنا
أن نرفض القضية ( ص 54 ) القائلة بأنه إذا كان ب العدد الحقيى المعرف يمتساسلة
أساسية ( او ) . إذن
ويعد كانتور نفسه فذوراً لافتراضه أن نظريته تجعل هذه القضية قابلة
للبرهنة بالدقة . ولكن لا يوجد شىء كنا رأينا يدل على أن المنطق يمكن طرحه هن
العدد الحقيق . وعلى ذلك فالبرهان المزعوم باطل . أما الصحيح . والذى له جميع
ا مزايا الرياضية المستمدة من النظرية المذكورة . فهو هذا : برتبط بكل منطق | عدد
حقيق وهو ذلك المعرف بالمتسلسلة الأساسية الى حدودها جميعاً تساوى ١ . فإذا
كان ب العدد الحقيق المعرف عتسلسلة أساسية (!, ) . وكان ب, العدد الحقيى
المعوف بمتسلسلة أساسية حدودها جميعاً تساوى !, . إذن ( سو) متسلسلة
طاح اعد اس ةا در در أ لط بع أن نستنتج من ذلك 6
افترض كانتور (ص ؟؟) أن او موجودة . وهذا بم فقا فى حالة ما إذا
كان (؛,) له ناية منطقة ٠ فالئباية فى «تسلسلة من المنطقات إما أنبا غير
موجودة . أو أمها منطقة. وعلى الحالين ليست عدداً حقيقية . ولكن :
الأحوال. المساسلة الأساسية الننطقات « تغرف" عدداً حقيقن] أء ع البئة
مع أى منطق
لل
ولنلخص الآن ما قيل عن نظرية كانتور : بعد أن أثبت كانتور
أن متسلسلتين أساسيتين قد يكون لما علاقة الغاسك . وأن هذه العلاقة معائلة
متعدية » بين كانتور استناداً إلى مبدأ التجريد ( المفروض ضمناً ) أن كلا هاتين
المتسلساتين هما علاقة واحدة ما مع حد واحد ثالث لا غير . وهذا الحد إن قامت
المتساسلة على منطقات نعرفه بأنه العدد الحقيى الذى تحدده كاتاها . وعندئذ
يمكننا تعريف قواعد العمليات فى الأعداد الحقيقية . وعلاقات التساوى والأكبر
والأصغر بينها . غير أن مبدأ التجريد يل بنا نى غياهب الشك من أمر الأعداد
المتقاي ف الحقيظة باستهاء أموواهه هوا الى قدو يتينيا نبالا تكرن
جزءاً من أية متسلسلة تشتمل على منطقات . لأن المنطقات علاقات بين أعداد
صميحة, وليست الأعداد الحقيقية كذلك. وعلاقة التكوين الى بمقتضاها تكونالمنطقات
متسلسلة إما تعرف فقط بواسطة الأعداد الصحيحة الى تقوم بينها هذه العلاقات »
فلا يمكن أن تقوم نفس العلاقة بن عددين حقيقين أو بين عدد حقيى وعدد
منطق . وف ظل هذا الشك عن حقيقة أمر الأعداد الحقيقية ما هى » نجد أن
قطع المنطقات بحسب تعريفها فى الباب السابق تحقق جميع المطالب الى أغفلها
تعريث كانتور + وكذلك المشتقة من هبدأ النجريد . وإذن فليس ثمة أساس
منطق للتمييز بين قطع المنطقات وبين الأعداد الحقيقية . وإذا وجب المييز بينهما ,
فلابد أن يكون ذلك بفضل حتد'س مباشر منّا. أو بفضل بديبية جديدة تماماً
مثل أن كل متسلسلات المنطقات فلابد أن يكون لما مباية . وى هذا القضاء المبرم
على التقدم المضطرد للحساب والتحليل من المقدمات الحمس الى رآها بيانو كافية »
كا يناقض ذلك تماماً روح الذين اخترعوا النظرية الحسابية عن اللامنطقات . على
العكس النظرية السابقة لا تحتاج إلى بديبية جديدة : لآن المنطقات مبى كانت
موجودة فلا بد من وجود قطع لها . وتخلصنا هذه النظرية مما يبدو رياضيا من
تعقيدات لا ضرورة لها : لآن القطع إذا كانت ستحقق كل ما هو مطلوب من
اللامنطقات . فإن إدخال متسلسلة موازية جديدة ها بالضبط نفس الحواص
الرياضية يبدو تزيدا لا نحتاج إليه .
جملة القول : اللامنطق هو باافعل قطعة من المنطقات ابى ليس لا مباية » '
ليل
على حين أن العدد الحقيى الذى يتطابق عادة مع العدد المنطق هو قطع لها مباية
منطقة . وهذا ينطبق مثلا على العدد الحقيى المعرف بمتسلسلة أساسية من المنطقات
جميع حدودها متساوية . وهذه هى النظرية الى رجحناها ىُّ الباب السابق 0 والى
رجعنا إليها مرة أخرى بعد بحث النظريات الشائعة عن اللامنطقات . وينطبق الحزء
الأكبر منها على المتسلسلات الملتحمة بوجه عام . ولكن بعض استخدامات
المتسلسلات الأساسية تفترض كا سترى فما بعد إما القياس العددى للمسافات
والامتدادات . وإما أن تكون المتسلسلة الملتحمة المعدودة مشمولة ى متسلسلتنا
بطر بقة معينة''' . ومع ذلك فالنظرية بأسرها تنطبق على أى متساسلة ملتحمة نشأت
عن متوالية . كما تنشأ المنطقات عن الأعداد الصحيحة . والحاصل أننا لانتطلب
فى الأعداد أية خاصية سوى أنها تكون متوالية .
)١( انظر الباب السادس والهدث.:
- 3
الباب الحامس و«الثلاثون
5 تعر يف للاتصال عند كانتور
١لا يعتبر الفلاسفة عادة أن فكرة الاتصال :اصرة عن التحليل .
ولقد قالوا عنها الشىء الكثير بما ى ذلك قول هيجل المشبور : كل شىء منفصل
فهو كذلك متصل والعكس بالعكسر !١' . وهذه الملاحظة باعتبار أنها تمثيل لعادة
هيجل فى الجمع بين الأضداد أصبحت مألوفة يكررها جميع أتباعه . حى إذا
رحنا نتقصى ما الذى قصدوه من معتى الاتصال والانفصال وجدنا أنهم قد لاذوا
بصمت هنفصل ومتصل . ثبىء واحد فغط هو الذى كان واضدأ . وهو أنه مهما
يكن ما قصدوه فلم يكن أمراً يمت بصلة إلى الرياضيات أو إلى فلسفة المكان
ع
وقد اتفقنا «ؤقناً فى الباب الأخير من الهزء الثالث على تسمية المتسلسلة متصلة
إذا كان فيها حد بين كل اثنين . وكان ذلك التعريف يرضى ليبنتز ''' عادة »
وربما كان يظن كافياً بوجه عام حى ْهور اكتشافات كانتور الثورية . وعلى
رغم من ذلك كان هناك سبب للظن قبل كانتور بإمكان رنبة أعلى من الاتصال .
ذلك أنه هنذ كشف المقادير غير القايلة للقياس وماداه دومع درمز فى المندسة
وهو كشك نجد البرهان عليه ى. الكتات العاشر عند أقليدس - كان من
الراجح أن للمكان اتصالا من رتبة أعلى من رتبة الأعداد المنطقة التى ها على اأرم .
من ذلك نوع الاتصال المعرف فى الحزء الثالث . والنوع الذى ينتمى إلى الأعداد
المنطقة والذى يقوم على وجود حد بين أى حدين قد اتفقنا على تسميته بالالتحام
00 ولكى الع الخلط إن أعود إلى وصف هذا النوع بالاتصال .
أما ذلك النوع الآخر من الاتصال . والذى رأينا أنه ينتمى للمكان . فقد بحث
00 لوه لمالا ملعن كل لالد .م ممتاعاحصوككل' مععهللةلة١ا .علهومما
)١( باكر عتسصائمل امعستسسهن) اه امظ كلك اع .آللأونا الى جاتاستقطنغ) عنملا انزع
ا ا 00 لمر رلصوذ امتلمعظ
حال
١؟١
كنا لاحظ كانتور 2١” على أنه نوع منالعقيدة الدينية . وكان خالياً من ذلك التحليل
التصورى الواجب لفهمه . حقاً ذهبوا وبخاصة الفلاسفة »هم ف الغالب إلى
بيان أن أىموضوع حاصل على الاتصال. فلم يكن قابلا للتحليل إلى عناصر قبولا
صحيحا . ثم بين كانتور أن هذا الرأى خاطئُ بواسطة تعريف دقيق لذلك النوع م,
الاتصال الذى يجب أن ينتمى الذكان: , “ها اللترنيتك إذا وت أن كوت شارحا
للمكان : فلابد كما قال عمق ''' أن يم دون رجوع إلى المكان . وبناء على ذلك
لا نجد فى تعريفه الأخير إلا أفكاراً ترتيبية ذات نوع عام , يمكن أن نضرب لها
أمثلة كاملة فى الحساب . أمنا البرهان على أن الفكرة المعرفة كذلك هى بالضبط
نوع الاتصال التابع للمكان . فيجب أن نؤجله إلى الحزء السادس . وقد أعطى
كانتور تعر يفه فى صورتون : أوهما ليس ترتيباً بحناً . ولكنه يتطلب كذلك
إما العدد أو المقدار . وأود ىق هذا الباب أن أترج هذا ااتعريف الاقد م إلى لغة
بسيطة وغير فنية بقدر الإمكان 0 أبين كيف أن المتسلسلات المتصلة 0 المععى
تحصل فى الحساب . وعلى العمو فى نظرية أى متوالية كانت . أما التعريف
. المتأخر فسنيحث عن أهره فى الباب على .
١ لكى تكون متناداة نتسلة فلايد أن تار غخاضعين + أن ا
ممعم وأن تكون مماسكة معطم أعممتقطعص معلط ,لمععصفطمعصتصكوت2) 57
ولكلا هذين الحدين معى فى >تاج إلى شرح عظم . وسأبدأ بالاصطلاح الثاى
)١( بقول عام تكون المتسلسلة منّاسكة . أو يكون ها تماسك إذا لم تشتمل
على فجوات «دردي متناهية . وإليك التعريف الدقيق كما وضعه كانتور : « نسمى
ط مجموعة مرّاسكة من النقط . إذا كان هناك دائماً بين ط . ط" من ط . ولعدد
م معطى من قبل و بالغ الصغر نحسب ها نشاء . وبعدة طرق . عدد هتناه هن
اللقطاط . ط. ٠ ال ويتمى اط ل . طلا طن.
ا لعل فى كلها تيدر 0 ا ا ال
١0) ( 1 0 ,11 اللتقكة قاعلا
) 2( لد اجر يدك لس تع لون لوطع سمفكقة
(؟) تنام زؤفي .م .1آ! .طنهلة هاكل.
5 م دك أعنتع اين أقلطء تسسمكة تامو .ومو .م .!] .طنهكة قاعل.
5
عبارة ,و بعدة طرق ٠ يظهر أنها زائدة . عقد حذنها فيفائى . اذظر:
ود .وإ * ١17 را أمكا ,“نوقلت مطاجكةا عل “ملمانتصسضسسكظ
هل
صلة جوهرية بالمسافة . ومن الضرورى أن تشتمل المجموعة المذكورة على أعداد ؛
لا أن يجب أن يكون عدداً . فكل ما هو لازم هو أن تكون المجموعة متسلسلة
فيها مسافات تحقق بديهية أرشميدس وليس لحا حد أصغر ؛ وأن يكون ع مسافة
تحكمية من النوع الذى تقدمه المتسلسلة . فإذا كانت المتسلسلة هى النجال كله
لعلاقة منّا لامائلة متعدية . أو إذا كانت عافة الحدود الى لها علافة معينة
لا مماثلة متعدية مع حد معلوم ٠ فد بمكن أن نستبدل الامتداد بالمسافة . وحى
إذا كانت المتسلسلة إنما هى جزء فقط من مثل هذه المتسلسلة ؛ فيمكننا استبدال
الامتداد فى المتسلسلة التامة الى تكون متسلسلتنا جزءاً منها . غير أننا لكى نعطى
أى معنى للعاسك فلابد أن يكون عندنا شىء يقاس عددياً . ما مبلغ ضرورة هذا
الشرط : وماذا يمكن عمله بغيره : هذا ما سأبينه فما بعد . و بواسطة هذا الشرط
تصبح مناقشتنا عن الكمية والقياس اابى قمنا بها انه الثالث داخلة فق مناقشة
الاتصال .
وإذا لم تحقّق المسافات أو الامتدادات فى متسلسلاتنا بديبية أرشميدس »
فن بينها متسلسلات تعجز عن القياس العددى المتناهى ى صيغة بعض متسلسلات
أخرى من بينها. وى هذه الحالة لا يوجد تجانس برع10هة من النوع المطلوب لا مع
الأعداد المنطقة ولا مع الأعداد الحقيقية : ولا تكون المتسلسلة بالضرورة مهامسكة .
وليكن و » د مسافتين » ولنفرض أنهما لأى عدد متناه 2 : 2و أصغر من د .
فنى هذه الحالة إذا كانت , المسافة م » وكانت د المسافة مل مل ٠ من الواضمح
أن شرط الماسك لا يمكن أن يتحقق . ومثل هذه الحالات تقع بالفعل » ويمكن
أن تنشأ مما يبدو متناقضاً عجرد استكمال الحدود فى متسلسلة مهاسكة معينة .
مثال ذلك أن متسلسلة قطع المنطقات متاسكة . وحين يكون لهذه القطع نهايات
منطقة : فلا تكون اللبايات داخلة فيها . ولتضف الآن إلى المتسلسلة ما يمكن أن
نسميه بالقطاعات المكمّلة ءوده : أى القطع الى كانت متطلقة مأخردة
مع نهايتها . فهذه حدودة جديد تكون جزءاً من نفس المتسلسلة ما دام لها علاقة
الكل والحزء مع الحدود السابقة . فالفرق الآن بين القطعة وبين القطعة المكملة
لمناظرة لها يتألف من منطق مفرد : على حين أن جميع الفروق الأخرى فى
المنسلسلة تتألف من عدد لامتناه من المنطقات . و بذلك تبطل بديبية أرشميدس »
يفل
ولا تكون المتسلسلة الحديدة متاسكة .
أما الشرط القائل بأن المافات ف التسلسلات ليس ا حد أصغر فتحققه
الأعداد الحقيقية أو النطقة . و الضرورى إذا وجب أن بمتد الماسك ليشمل
المتسلسلات غير العددية . أن هناك : حين تمُختار أىئ وحدة من المسافة »
مناقات قياسما العددى أصغر هن » ٠ حيث ء أى عدد منطق . لأنه إذا وجدت
مسافة صغرى فلا بمكن أن نجعلسافاتنا ط ط ١, ط, ط, .... أصغر من هذه
المسافة الصغرى » هما ينافض تعريف الماسك . هذا 5 يجب فقط أن يوجد نهاية
صغرى للمسافات عموماً . بل يجب ألا يوجد نهاية صغرى للمسافات من أى حد
معلوم » ومن 0 “كل متسلسلة 0 مبزوعان يجب أن تكون ملتحمةعهمه» ٠
أى يجب أن يكون ها حد بين أ ى حدين .
ومع ذلك لا ينبغى أن تنفرض 0 . انظر
مثلا المتسلسلة المكونة من .ون 17 5 . حيثام م أى عددين ديحين
حرث يكون م2 ىر أصغر من بم . . فههنا حد بين أى حدين. ولكن المسافة من ٠
لا يمكن أن تكون أقل من ١ . وهكذا و[ لو أن المتسلسلة ملتحمة إلا أ للدت
مياسكة . وهذه المتسلسلة مع ذلك ليست ثامة: .من حيث إلا جزء فقط من
متسلسلة المنطقات الى بواسطها تقاس مسافاتها . وف المتسلسلة التامة نختلف الشر وط
بعض الثى . ولابد لنا من المييز بين <التين بحسب وجود مسافات أو عدم وجود
)1١ 7 فإذا كانت هناك مسافات ٠ المسافات المتساوية لا تناظر
الامتدادات المتساوية . فقد يحدث أنه على الرغم * ن التحام المتسلسلة . فإ
المسافات من حد ما لا عل أبداً أصغر من مسافة ما متناهية . وهذه الحالة قد
تقدمها المقادير إذا سلمنا برأى مينونج من أن ٠سافة أى مقدار متناه من الصغر
فى دائماً لا متناهية ( انظر ا مرجع السابق ص 85) . وتقدمها 001 كنا
نقيس المسافات ( وهناك أسباب كثيرة لذلك ) باوغار يم 2 . وهكذا فى هذه
الحالة وبالنسبة للمسافات ليست المتسلسلة مهاسكة واو 0555
وإذالم تكن هناك مسافات بل امتدادات فقط » فعندئذ مع ار ليه رسكم
أى امتداد سيكون أصغر من د اقيمة مناسبة [ه . ومن ثم إذا قسمنا الامتداد
فخ
أ 32 من الأجزاء ٠ فجزء عا لى الأقل هلها سر سيكون ن أصغر من 6 . ولكن ليست هناك
طريقة لإثبات أنها كلها يمكن أن تجعل أصغر من , . اللهم إلا إذا افترضنا
بديبية الحطية (أنأى امتداد وليكن؛ فيمكن قسمتهإلى 3 من الأجزاءالمنساوية )أو إذا
افترضنا بدمبية أعقد ولكها أعم ٠. وتنص على أن الامتداد د يمكن قسمته إل 5
من الأجزاء كل مها أكبر من كش وأصغر من رك مهما تكن قيمة
العدد الصحيح نبو ونه اادينة وني اشسنس الايد أن كين المسسلسلة
زائداً والالتحام تكراراً . وهكذا نرى أن المْاسك يكاد بكون نى جميع الأحوال
شرضاً متميزاً عن الالتحام . فالالتحام تسلسلى بحت . على حين أن الماسك له
صلة جودربة بالأعداد أو بشروط القّياس العددى . والعاسك يستلزم الالتحام 3
ولكن الالتحام لا يستلزم المتة العاسك . فى عدا الحالة اأوحيدة للمتسلسلات التامة
لمتسلسلة اللامنطقات أو الأعداد الحقيقية .
8 أما شرح المقصود من المتسلسلة الكاملة لكا فأمر أصعب 2) ١ "١
ولشرح هذا التعريف .''١ تكون المتساسلة كاملة حين تتوافق مع أول مشتقاتما
لابد من فحص فكرة المشتقات وعساننهءنمل عن المتسلسلة!". ودذا يتطلب منا
نقطة المهاية )4 خطلوم-ع 111 1 انا 06 المتسلسلة . ودوحه عام حدود المتسلسلة ١ شرح
والى يسميها ٠ المنعزلة » لعنواه:1 ١ تلك الى بى سميها كانتور بالنقط ٠ على نوعين
نقط الباية » . والمتساسلة المتناهية لها فقط نط منعزلة . والمتساسلة اللامتناهية «
فيجب أن تعرّف على الأقل نقطة نباية واحدة . ولو أن هذه النقطة ليس من
الضرورى أن تتبع المتسلسلة . ويعرف كانتور نقطة الماية بأنها حد يكون بحيث
. أنه فى أى فترة تشتمل عليه . فهناك عدد لا نهاية له من الحدود فى المتسلسلة
المرجع السابق 2747 . وهو يعطى التعريف ى صيغة نقط على خط . دون (
١ أن يكون للتعريف صلة جوهرية بالمكان . وريا كانت نفطة الباية حداً
وسمى اجماع عع ا «امعوقة جميع نقط ٠ ورا 0 تكن ٠. المتسلسلة الأصلية
00 .40 .2 ,1آآ .طلوكط هماع
0 المرجم السابق ص 0
حقال
الهاية المشتقة الأول للمتساسلة . ويسمى المشتقة الأولى من المشتقة الأولى بالمشتقة
الثانية . وهكذا . ويعمصى برانو تعريف المشتقة الأولى لفصل الأعداد الحقيقية
كما بأى : ليكن ى فصل أعداد حقيقية . وليكن س عدداً حقيقياً ( وقد يكون
أحد الفصل ى وقد لا يكون ) بديث تكون النباية الدنيا لقم المطلقة لفروق سه عن
حدودى الى هى غير س صفراً . عندئذ يكون فصل حدود س. المحقق ذا الشرط
المشتق الأول من ى١١. وهذا مطابق فرضاً لتعريف كانتور . إلا أنه يبرز بصراحة
أكثر صلة المشتق باللهايات . فالمتسلسلة إذن تكون كاملة حين تتألف بالضبط
من نفس الحدود كشتقاما الأول . أى حين تكون جميع نقطها نقط مبايات .
وتنتمى جميع نقط المبايات إليها .
4 -. أما بالنسبة للمسألة الأخيرة وهى أن جميم نقط المايات ف المتسلسلة
يحب أن تنتمى إليبا . فلا مناص لنا من بعض الشرح . خذ مثلا متساسلة الأعداد
المنطقة . فكل عدد منطق فهو نهاية متسلسلة أعداد منطقة ملا . وحينئذ تكون
المنطقات مشمولة ؛ فى مشتقها الأولى . ولكننا قد اتفقنا فى الباب السابق بالنسبة
متساسلات المنطقات الى ليس ذا نماية منطقة . على أنه ليس ها نباية على
الإطلاق . وبناء على ذلك جميع متسلسلات المنطقات الى لا مباية فهايبها منطقة +
فالمنطقات إذن مقتضى نص التعريف لابد أن تكون متسلسلة كاملة :160»م .
ولكن: لبس الأمر كذلك + فقد رأينا عند الكلام على اللامنطقات أن كانتور
يعتقد - وهو اعتقاد اضطر رنا إلى اعتاره باطلا أن كل متسلسلة تحقق شروطاً
معينة يمكن تسميها شروط التقارب فلا بد أن يكون لها اية . ولذلك
يعتير متسلسلات المنطقات الى ليس لا مباية منطقة أن لها نماية لا منطقة ٠. فهى
لذلك للا نباية لا تنتمى لتسلسلة المنطقات . وإذن ممتسلسلة المنطقات لا تشتمل
على ع حدود مشتقتها الأولى . الواقع المشئق الأول من الأعداد المنطقة من
المثفق أنه هو الأعداد الحقيقية . ولكن حين نعتبر الأعداد الحقيقية كقطع من
المنطقات يتعذر اتخاذ هذه الوجهة من النظر . وحين ننكر النظرية الوجودية
١ 0 ( فى أضة ما اتج 8 ود ا .11 لمكا عله اصممر
5
لذبايات فيجب تعديل تعر يف كانتور للكمال وونءيهم 2١ . هذا التعديل هو
الذى سنقوم بالنظر فيه الآن .
نقول : تكون المتسلسلة كاملة حين تكون جميع نقطها نقط نبايات ؛ وحين
أيضاً تكون أى متسلساة أفرزت من المتسلسلة الأولى من النوع الذى يعتبر عادة
بأنه يعرف نهاية ٠. فلهذه المتسلسلة الان مهاية تنتمى للمتسلسلة الأول . ولكى
نجعل هذه العبارة دقيقة ة لابد أن ننظر فى أمر الشروط الى تعتبر معرفة للهاية . وهذه
الشروط فى حالة المتسلسلة المعدودة بسيطة و' وقد شرحناها من قبل » ويُعبر علها
بما يأتى : إذا فرضنا أى مسافة ع مهما تكن صغيرة . كانت جميع حدود
المتسلسلة يعد حد معين ليكن الحد الميمى ميث أى ائثنين اا رق قيمته
المطلقة أصغر من ع . هذه العبارة كما سرى تستدعى إما العدد أو الكمية » أى ألما
لبيايك اترتيية ة :ون الحقائق الغريبة أنه ولو أن الشرط المفروض لوجود الهاية
لا يمككن بطر يقتنا الراهنة التعبير عنه بصبغة ترتيبية بحتة . وسأميز فى متسلسلة
كانتور الأساسية الخاصة بالمتسلسلة الملتحمة بين المتواليات والمراجعات وممندتهه< »
بحسب ما يكون للحدود المتقدمة دائعاً العلاقة ى: مع الحدود المتأخرة» أو دائعاً العلاقة
َه (حيثىء هى العلاقة المولدة للمتسلسلة الملتحمة الى تشتمل على المتواليات
والمتراجعات المذ كورة ) . هذا والمفروض كذلك أن هذه المتسلسلة الملتحمة
تامة . عندئذ يكون الحد سء نباية متوالية . إذا كان لكل حد ف المتوالية العلاقة ىه
س. ؛ وكل حد له العلاقة ىء مع سه له أيضاً هذه العلاقة مع حدما من اموالية .
ل كما سترى ترتيى بحت . وينطبق تعريف شبيه به على المراجعة .
ولنشرع بعد ذلك فى بحث الشروط العادية لوجود نباية لمتسلسلة غير معدودة .
وحين نقبل على بحث المتسلسلات غير المعدودة . 00
تتقيد بالمتسلسلات المعدودة . ولذلك يحسن النظر ى أمر المتسلسلات الأخرى
حالا. وهنا بالطبع إذا كانت أى متسلسة معدودة متضمنة ف «تسلسلتنا الأكبر تحقق
)١( قد أحسن كوتيراء متاقشة هذه النقطة ق جلة .عممكط ,ماممة مه اه .غ1 مك مم8
0ط ,1900
١ /
شروط الهاية » فسيكون هاه تغر يك مناظز لنقطة الباية فى مسلسلتنا ال كين ..
ويمكن بالضبط أن تعرف النباية العليا أو الدنيا لكل متسلسلتنا الأكبر أو جزتما إن
وجدت مثل هذه المتسلسلة كما هو الحال فى المتوالية أو المتراجعة . ولكن لا يمكن
وضع شروط عامة لوجود نباية إلا بالرجوع إلى المتسلسلة المعدودة المتضمنة ىق
متسلسلتنا الأكبر . ومن الملاحظ أن تعريف كانتور لنقطة الهاية يفترض وجود
مثل هذه النقطة . ولا يمكن أن ينقلب إلى تعريف للشروط الى توجد فيها مثل
هذه |انقط . وهذا يوضح الأهمية العظمى للمتسلسلة كانتور الأساسية .
وستلى مع ذلك طريقة القطع بعض الضوء على هذه المسألة . فقد رأينا فى
الباب الثالث والثلائين أن أى فصل من الحدود ى متسلسلة فإنه يعرف قطعة .
وأن هذه القطعة ربما أمكن تعريفها بحد واحد : وربما لم يمكن فى بعض الأحيان .
فإن أمكن تعر يفها كذلك كان هذا الحد الهاية العليا للقطعة : وإذالم يكن هذا
الحد منتمياً للفصل الذى به عرفت القطعة : كان هذا الحد أيضاً النباية العليا
لذلك الفصل . ولكن عندما لا يكون للقطعة باية عليا : فالفصل الذى عرفت به
القطعة لا يكون له أيضاً نباية عليا . ومع ذلك فى جميع الأحوال - وهذا أحد
الفضائل الهامة للقطع القطعة المعرفة بفصل لامتناه ليس له مهاية عليا فهو الباية
العليا للقطع المعرّفة بأعضاء الفصل المتعددة . وبذلك سواء أكان للفصل نماية
عليا أمم يكن » فإن القطع الى تعرفها حدوده المتعددة لها دا'ماً مباية عايا - بشرط
أن يكون للمتسلسلة الملتحمة المتضمنة الفصل حدود تأنى بعد جميع حدود الفصل .
نستطيع الآن . دون افتراض وجود نبايات فى الأحوال الى لا يمكن البرهنة
على وجودها » أن نبين مععى المنسلسلة المشتملة على مشتقتها الأولى . حين يكون أى
فصل من الحدود متضمناً فى متسلسلة ملتحمة : فالشروط الى يقال عادة إبما
تضمن وجود مباية عليا للفصل 3 مع أنها لا تضمن ذلك بالفعل 5 إلا أنها تضمن
فعلا وجود نباية عليا لفصل القطع المعرفة بواسطة أعضاء الفصل المتعددة . أما
فها مختص بالنبايات الدنيا فاتقضية عيما نصح عن ذلك الذى مميناه بالقطع العليا .
ويناء على ذلك يمكن أن نصع هذا التعر يف 3 يكون الفصل ى من الخدود المكونة
لكل المتسلسلة أو جربا كاملا. حين يكون كل حد من حدود ى الماية العليا أو
لل
الدنيا لفصل ما متضمن فى ى. وحين يكون إذا كان ف أى فصل متضمن ف ى»
وكان للقطع الدنيا المعرفة بأعضاء ف المعددة نباية عليا أو كان اقطع العليا إمباية
دنيا كانت قطعة اللهاية هذه إحدى تلك القطع الى يمكن تعريفها بحد واحد هن ي؛
أى ها حد من ى كلهاية عليا أو دنيا لا على التوالى . وينبغى أن نعترفٍ
بأن هذا التعريف أعقد هن تعريف كانتور . غير أنه يخلو هن الفرض الذي
ويمكنأن نعيد تع ريف الكمال ف لغة ربماكانت أقلصعوبة فنقول: إذا علمث
أى متسلسلة وأى فصل من الحدود ى متضمن فى هذه الاسلدلة . فهناك قطعة
عليا وقطعة دنيا يناظران كل حد فى ى . وأى مج وعة لا متناهية من الحدود. ف
تفرزها من ى . فهناك شروط معينة يقال عادة إنها تضمن أن يكون الفصل ف
نهاية عليا من المسلم به أنها قد لا تنتمى اى ولا للمتسلسلة الى :كون ى مضمتة
فيها . أما ما تضمنه هذه الشروط فهو أن فصل القطم الدنيا المناظر ( ف له نباي
عليا . فإذا كانت المتسلسلة كاملة . كان [ ف بباية عليا كلما كان لفصن
القطع المناظر لهاية . وهذه الهاية العليا اه هى حدق ى . ويتطلب هنا
التعريف للكمال أن يصح ذلك بالسوية على الهايات العليا والدنيا . وعلى أى فصل
ه متضمن قل ى. ّْ
هلالا - ولا كانت مسألة وجود اللبايات قد أوجبت التعقيد المذكور » وكانت
على شىء من الأهمية الفلسفية فسأعيد ذكر الحجج الى تقال ضد افتراض ع
اللهايات فى فصل المتسلسلة الى تنتمى إليها الأعداد المنطقة . حيما تكون متسلسلة
غير كاملة . على حين يكون مشتقنها الأولى كاملة . فهاهنا تكون أول مشتقتها
الأول متقدمة منطقياً على تكويما نفسما . معى آخر بافتراض وجود المتسلسلة"
الكاملة أولا إتما أمكن أن نبين أنها مشتقة من المتسلسلة غير الكاملة . وقله
رأينا فها قبل أن هذه هى حال الأعداد اللامنطقة الشخصية . ومن السول أن.
اق أن هذا المبدأ عام . فحيما تشتمل المشتقة على حد لا ينتمى إلى المتسلسلة
الأصلية . فذلك الحد هو نماية متسلساة معدودة تكون جزءاً متكاملا من المتسلسلة
الأولى . فإذا كانت هذه المتسلسلة ذات الباية لها الحد العام إى, ٠ إذن وسنضغ
١)
التعريف ف عبارة لاتنطبق فقط على متسلسلة الأعداد هناك دائماً عدد عرف
م لأى مسافة متخصصة ع مهما تكن صغيرة بحيث إذا كان بم أكبر من م فالمسافة
بين ايبسن وبين انم أصغر من ع مهما يكن العدد الصحيح المويجب ب .
ومن هذا نستنتج أن المتسلسلة (إى) ها مباية » وأن هذه اللهاية ى حالات كثيرة
لا بمكن أن تنتمى إلى المتسلسلة الى أفرزت مها ( انم ) ا
مهاية استتتاج مزعزع »2 قل يؤيد إما بمعرفة سايمة با لحد الذى هو مباية » وإما
ببدمبية م تستوجب وجود مثل هذا الحد . وحين يعرف الحد الذى هو الباية
بطريقة أخرى مستقلة فقد يسهل تبين أنه الهاية » ولكن حينلا يعرف فلا يمكن
أصلا إثبات وجوده اللهم إلا إذا أدخلنا بديبية ما عن الاتصال . وقد أدخل
ديديكند مثل هذه البديبية » غير أننا رأينا أنها غير مرضية . ومبدأ التجريد الذى
يدل على أن المتسلسلتين الماسكتين هما شىء ما مشترك فتحققه القطع تماماً . وف
بعض الحالات الى من بينها حالة المنطقات يظهر أن العلاقة المكونة للمتسلسلات
غير الكاملة لا يمكن أن تقوم بين أى حدين لا ينتميان إلى هذه المتسلسلة بحيث
يستحيل أصلا وجود نهايات لا تنتمى إلى المتسلسلة . لأن اللهاية لابد أن يكون لها
وضع معين فى متسلسلة تكون المتسلسلة الى هى نماية لها جزءاً منها » وهذا يتطلب
علاقة مكونة ما لابد أن تكون قادرة على تكوين الْماية وكذلك الحدود امحدودة
بالهاية . الواقع لا يمكن لتسلسلة تامة مستقّلة كالمنطقات أن يكون ها نقط
نهايات لا تنتمى إليها . لأنه إذا كانت ع العلاقة المكونة » وكان لحدين ١ .اب
العلاقة ع أى حد ثالثح له هذوالعلاقة أوعكسما مع | أوب وإذن يكون له هذه
العلاقة معهما معاً » فإنه ينتمى لعين المتسلسلة مثل .بت . ولكن النهاية إن وجادت
فيجب أن يكون لها العلاقة المككونة مع الحدود الى تحدها )» وبذلك يحب أن تنتمى
للمتسلسلة التامة التى تنتمى إليها الحدود. يترتب على ذلك أن أى متسلسلة لها بالفعل
نقط بايات لاتنتمى إليباء فليست إلاجزءاً فقط من متسلسلة تامة ما . والمتسلسلة
الثامة الى ليست كاملة فهى متسلسلة لا توجد فيها ألبتة اللهايات المعرفة بالطريقة
العادية بشرط ألا تنتمى اللهايات للمتسلسلة . يترتب على ذلك أنه فى أى متسلسلة
ثامة إما أن بعض الهايات المعرفة لا توجد البتة » وإما أن المتسلسلة تشتمل على
مشتقها الأول .
0)
فيل
ولكى نجعل التحكم فى افتراض وجود النهايات أوضح فلنحاول وضع بديبية
اتصال أقل عرضة للنقد من بديهية ديديكند . وسترى أنه يمكن إنكارها دون أى
خسارة .
5 يقل شيئاً فشيئاً باستمرار تخالف عدد من أوضاع متسلسلة من المعلوم
أنها كلها فى جانب واحد من وضع معاوم » فلابد من وجود ( وهكذا تجرى
بديبيتنا) وضع منّا تتقارب إليه إلى ما لا نباية له» بحيث لا يمكن أن تتخصص أى
مسافة بأمها تبلغ من الصغر حداً لن تكون المسافات الأخرى أقرب من هذا الوضع
بهذة المسافة . فإذا سلمنا بهذه البديبية ترنب على ذلك أن جميع المتسلسلات غير
الكاملة الى تكون مشتقنها الأول كاملة تفترض فى أساسها هذه المشتقات الأول
ولابد أن تعتبر منتخبات مها . ولنفحص نتائج إنكار بدببيتنا ى حالة متسلسلة
الأعداد . وى هذه الحالة ربا نفترض على سبيل الازفة أن الوضع التالى الجميع
الحدود ىر ء ولكنه لا ينتمى إليها ليكن ( مثلا) ىه » حيث فه - اس أكبر من »
لقيمة مناسبة اع مهما يكن به . ولكن إذا كانت متسلسلتنا ملتحمة » فهناك حد
بينفه؛ ىه - ع » وليكنى.. وبذلك يكون وه أقل من ىه - بر » مهما تكن
قيمة لم . وبذلك يكون وه أقرب إلى جميع الألفات من قرب وه مماء مما يخالف
الفرض . ولكن الإنكار المذكور لم يكن مباشراً : والواقع من أنه كان يبدو صميحاً
يوضح المغالطات البى يصعب تجنبها ى هذا الموضوع . وهذه هى البديهية : هناك
حد تقترب منه الألفات حسب ما نشاء . وهذا هو الإنكار : هناك حد أقرب
ما يكون إلى الألفات ولكنه على مسافة متناهية . وكان ينبغى أن يكون الإنكار
كالآتى : ليس هناك حد تقترب منه الألفات حسب ما نشاء . بعبارة أخرى مهما
يكن الحد الذى نخصصه ؛ وليكن وء » فهناك مسافة متناهية مام بحيث يكون
فه إن أكبر من ع مهما يكن ١ بر . وهذا صحيح فى حالة متسلسلة الأعداد
المنطقة البى ليس ا نباية منطقة . وى هذه الحالة ليس هناك حد أقرب إلى
الألفات » ولكن على مسافة متناهية ومهما يكن الحد الذى نخصصه وراء الألفات
( فها عدا حيث يكون للمتسلسلة نهاية منطقة) فلا حد من الألفات يقترب أقرب
إلى هذا الحد من مسافة مما متناهية . فكل حد وراء الألفات أبعد من مسافة ما
متناهة عنيا كلها » ولكن ليس هناك مسافة متناهية كل حد وراء الألفات
تفيل
يتجاوزها . وإدخال اللامنطقات يدخل القائل فى هذه الحالة الغريبة من الأمور
بحيث يكون هناك حد تقترب منه الألفات إلى ما لا مهاية له » وكذلك متسلسلة من
الحدود تقترب إلى ما لا نباية له من الألفات . وحين لا نسمح باللامنطقات »
إذا كان عندنا حد وء بعد جميع الألفات » ومسافة صغيرة م » إذن إذا تخصصت
» ؛ أمكن انتخاب د بحيث يكون ىه - إ بر أصغر من ء مهما يكن بم . ولكن
إذا تخصصت وء » أمكن دائماً إيحاد المسافة م ( فيا عدا إذا كانت اللهاية
منطقة ) بحيث يكون ىو وى أكبر من ع مهما يكن لم. وهذه ا حالة ولو أنها غريبة
إلا أمها غير متناقضة . والتسلم باللامنطقات باعتبار أنها تقابل القطع يكون بذلك
غير ضرورى منطقياً . ولا كان هذا التسلم أيضاً زائداً عن الحاجة رياضياً »
وقاضياً القضاء المبرم على نظرية المنطقات » فليس ثمة سبب لصالحها » بل هناك
أسباب قوية لرفضها . خلاصة القول أى بديهية مبدف إلى بيان وجود اللبايات ف
الأحوال الى لا يمكن بغير ذلك تبيين وجودها فلابد من رفضها » و يحب تعديل
تعريف كانتور عن الكمال بحسب ما ذكرناه . وسنعتبر هذه النتيجة فى المستقبل
كأنها مقررة .
بعد تحليل تعريف كانتور الأقدم للاتصال » سأشرع ق فحص تعريفه
الرتيى الذى وضعه فما بعد » وأححث فى تطبيق أجزائه المتعددة على متسلسلات
أعم من متسلسلات الأعداد . مبيناً إن أمكن النقط الصحيحة الى تحتاج إليها
هذه الأجزاء المتعددة .
الباب السادس و«الثلاثون
5 0
الاتصال البرتيبى
5 - تعريف الاتصال الذى بحثناه فى الباب السابق لم يكن "كما رأينا ترتيبيا
بحت » إذ تطلب على الأقل فى نقطتين شيئاً من الصلة إما بالأعداد وإمنًا بالمقادير
الى تقاس عددياً . وعلى الرغم من ذلك يبدو الاتصال كأنه فكرة ترتيبية بحتة »
وهذا ما أدىكانتور إلى وضع تعريف يلو من جميع العناصر الغريبة عن الترتيب!")
وسأبحث الآن هذا التعريف كما سأبحث غيره مما عسى أن يوحى به الكلام . وسنجد
أله هاتداميف كل" ضلة بالقدد والكمية قد استعدت فهقااه نظريات عل بخانت
عظم من الأهمية » وبخاصة بالنسبة للمتسلسلات الأساسية » تظل عير قابلة للبرهان
حى مع وجود أى تعريف ترتيى ما عدا تعريف كانتور » وهى فى أكبر الظن
باطلة أحياناً (' : وهذه حقيقة تنُظهر مزايا تعريف كانتورالذى سنذكره الآن .
ا يعرف كانتور المتواصل مسصندم فى مقالته المتأخرة كما يأقى :
نبدأ من ( بند 9) صنف المتسلسلة المقدمة من الأعداد المنطقة الأكبر من ٠
والأصغر من ١ » بترتيب مقدارها . ونسمى هذا الصنف ,, والمتسلسلة من هذا
الصنف نعرفها بالعلامات الآتية :
)١( أنها معدودة أى إذا اتخذنا حدودها بترتيب مناسب ( وهو ما يجب ان
يكون مختلفاً عن الترتيب المعطاة فيه) . أمكننا أن نعطيها تناظر واحد بواحد مع
الأعداد الصحيحة المتناهية .
(١؟) أنه ليس للمتسلسلة حد أول ولا حد أخير .
)١( الباب الحاضروبحث قنفس الموضوعالذى عثه كوتيرا ومشائته''سسناهه دل ممناتم068 ذل مدة”
وإفى موافق ى الأساس على هذه المقالة الى يوجد . 5و1 طععه1١ .مامكا أن عنوأسترطمة8044 عل عنحعه
فها كثير ما ذكرته فى الباب السابق وما سأذكره فى هذا الباب
0 م( 1/1 بمعاقسسست طنمكخة
( ؟) العراهين الرياضية علىمثلهذه النظرياتالى ليست معر وفةجيداً توجد فى يجلة .3 ,7/11 ,1.4.26
١*1
0
9) يوجد فيها حد بين كل حدين » أى المتسلسلة ملتحمة (غطءذك الدمعطن)
وعندئذ يبرهن على أن هذه الحصائص الثلاث تعرف تماماً صنف الترتيب المقدم
بواسطة المنطققات » أى هناك تناظر واحد بواحد بين أى متسلسلتين لهما هذه
الحواص الثلاث . بحيث تناظر الحدود الأولى الحدود الأولى » والحدود الآخيرة
الحدود الأخيرة . ويتقرر ذلك باستخدام الاستنباط الرياضى الذى يمكن تطبيقه
.بفضل هذه ا حقيقة » وهى أن المتسلسلات من هذا الصنف معدودة . وهكذا جميع
المتسلسلات المعدودة والبى لآ أول لها ولا آخر ووع1دده ١١ وملتحمة فهى متشابهة ترتيبيا .
ونشرع الآن ( بند )٠١ فى بحث المتسلسلات الأساسية المتضمئة فى أى متسلسلة م
أحادية البعد اهدهزودعصزل - عدن . فنبين ( كما شرحنا من قبل ) المقصود من تسمية
متسلسلتين أساسيتين مناسكتين دعم امه » ونعطى تعر يفا ترتيبيا للْهايةالمتسلسلةالأساسية
نعبى أنه فى حالة المتوالية تأنى اللهاية بعد المتسلسلة كلها ولكن كل حد قبل اللهاية
يأ قبل حد ما من المتسلسلة . وهناك تعريف مناظر لذلك لهاية المراجعة . ونثبت
أنه لا بمكن لأى متسلسلة أساسية أن يكون لا أكثر من نباية واحدة » وأنه إذا كان
للمتسلسة الأساسية نباية » فهذه أيضاً نمباية جميع المتسلسلات المماسكة . وكذلك
المتسلسلتان الأساسيتان الى تكون إحداهما جزءاً من الأخرى فهما مماسكتان .
وأى حد من حدود م الذى هو مباية 2100 ىم يسمى حداً (١ رئيسياً ) لومتعصكهم
فى م فإذا كانت جميع حدود م رئيسية» تسمىم « متكثفة فى ذانها » -طءتفطهنعمة)
(كاءة :1 ددذ لعمدع كود وإذا كانتكل متسلسلة رئيسية من م لحا مهاية ىم» تسمى م
ومقفلة ) لعوماء (صعدوهاطعوعوطاه "١
وإذا كانت م مقفلة ومتكثفة ى ذانها معاً فهى كاملة :»عم . وجميع
هذه الحواص إذا كانت منتمية ١م فإنها تنتمى لأى متسلسلة متشابهة ترتيبيا
مع م. وبهذه المهيدات نخلص أخيراً إلى تعريف المتواصل ( بند )١١ . ليكن
صنف المتسلسلة الى إليها تنتمى الأعداد الحقيقية من ٠ إلى ١ » بما فيها كل من
الصفر والواحد . وعندئذ تكون كما نعرف صنفاً كاملا » ولكن هذا وحده لا يميز »
)00 شرح المؤاف لفظة 201»55» يقوله لاآول ماولا آخر١لصه عمه همتممتيعط عطلئعم وماحوكط
( ؟) ولا ينبغى االحلط بين هذه وبين الممى الأول للمقفلة الذى ذاقشناه فى الحز الرابع .
فيل
إذكا كر من ذللة تعاضية الأقئال فى واخلها عل متسل من الضتك “الدع
إليه تنتمى المنطقات » وبحيث يكون بين كل حدين من متسلسلة م حدود من
متسلسلة , . وييرتب على ذلك التعريف التالى للمتواصل :
المتواصل م الأحادى البعد هو متسلسلة )١( كاملة (5) تشتمل
ف داخلها على متسلسلة معدودة ل فيها حدود بين أى حدين من م .
وليس من الضرورى فى هذا التعريف إضافة الحواص الأخرى اللازمة لبيان
أن ل من طراز ,, . لأنه إذا كان ل له حد أول أو أخير كان ذلك هو الحد الأول
أو الأخير للتسلسلة م . وعندئذ يمكن أن نطرحها من ل وتحقق المتسلسلة الباقية
الشرط )١5( ولكن دون أن يكون لها حد أول أو أخير . والشرط ( ؟) مأخوذاً
مع الشرط )١( يضمن أن تكون ل متسلسلة ملتحمة . ويبرهن كانتور على
أن أى متسلسلة م تحقق الشرطين المذكورين فهى متشابهة ترتيبيا مع المتواصل
العددى مسسمنندهه-ءطصسرم» أى الأعداد الحقيقية من ٠ إلى1 بما فيها كلا الصفر
والواحد . ويترتب على ذلك أن التعريف المذكور يشتمل بالضبط على نفس فصل
المتسلسلات مثل البى كان تعريفه الأول يشتمل عليها . إنه لا يقرر أن هذا التعريف
الحديد ترتيى بحت »وربما كان من المشكوك فيه لأول وهلة أنه كذلك . ولننظر نحن
هل هناك أفكار فوق الترتيبية يشتمل التعريف عليها .
4 - النقطة الوحيدة الى يمكن أن يثار بشأنها أى شك فهى الخاصة بالشرط
أن تكون معدودة . فالقول بأن المجموعة معدودة يدل على أن حدود هذه المجموعة هى
جميع حدود متوالية ما . وهذه الفكرة إلى هذا الحد ترتيبية بحتة . ولكن فى الحالة
المفروضة مثل حالة المنطقات أو أى متسلسلة شبيهة ترتيبياً » فلا بد أن تكون الحدود
المكونة للمتسلسلة قابلة لترتيبين تكون فى أحدههما متسلسلة ملتحمة وى الآخر
متوالية . والكشف عن جموعة من الحدود أقابلة هى لهذين الترتيبين أو ليست قابلة
يحتاج بوجه عام إلى شروط غير الشروط الترتيبية . ومع ذلك فالفكرة نفسها ترتيبية
بحتة . ونحن تدرف من تشابه جميع مثل هذه المتسلسلات مع متسلسلة المنطقات
( الى إنما تتطلب أفكاراً ترتيبية فقط ) أنه لا متسلسلة من مثل هذه المتسلسلات
ايل
كاملة . ولكن يبى أن نبحث هل من الممكن أن نثبت ذلك دون رجوع إلى الخواص
الخاصة بالمنطقات البى تنجم عن كونها متسلسلة» المسافة موجودة فيها . ونحن نعروف
فى الواقع أنهلا يمكن أن 1 معدودة لها كاملة!'2» ولكننا نحتاج ههنا إلى
برهان ترنيى بحت على هذه النظرية .ومع ذلك فن السبل إعطاء مثل هذا البرهان .
خذ مثلا حدود متسلسلتنا الملتحمة ل المعدودة بالترتيب الذى تكون فيه متوالية »
ولتسمها ببذا الترتيب ى . فإذا بدأنا بهذا الترتيب الذى سنسميه سه ؛ فلا بد أن
يكون هناك حد يتبع هذا الحد فى الترتيب الآخر ل . ثم خخذ أول حد مثل مما ,
كالحد الثانى فى متسلسلة أساسية ف . هذا الحد له عدد متناه من السوابق قف
لمتالية ى » وإذن فله توالى ىل هى أيضاً توالى فىىء لأنعدد التوالى ىل هو أبداً
لانباية له .
ثم خذ أول هذه التوالى المشتركة» وليكن سس كالحد الثالث فى متسلسلتنا
الأساسية ف . فإذا سرنا فى هذا الطريق استطعنا تكوين متسلسلة أساسية صاعدة
فى ل حدودها ها نفس الرتيب فى ى كا هو فى ل . هذه المتسلسلة لا يمكن
أن يكون لها نهاية فى ل » لآن كل حد سوسم يتلو فى ل كل حد يسبقه
فى ى . إذن أى حد من حدود ل سيتجاوزه حد ما سيرر من متسلسلتنا الأساسية
الأساسية ف ؛ فإذن ليس هذه المتسلسلة الأساسية نباية فى ل . وبناء على ذلك
النظرية القائلة بأن المتسلساة المعدودةوالنى لا أول ا ولا آخر لايمكن أن تكون كاملة
هى نظرية ترتيبية بحتة . وحينئذ لن نواجه فها بعد أى صعوبة © وتمكننا نظريتنا
الأول عن القطع من تقرير المسألة ببساطة . إذا علمت متسلسلة ل معدودة ولا أول
ها ولا آخر وملتحمة ٠» فاشرع فى تكوين جيمع القطع المعرفة بالمتسلسلة الأساسية
فى ل . هذه القطع تكون متسلسلة كاملة » وبين أى حدين من متسلسلة القطع
يوجد قطعة نبابتها العليا ( أو الدنيا» حد من حدود ل . والقطع من هذا النوع
وال يمكن أن نسميها قطعاً منطقة هى متسلسلة من نفس الصنف مثل ل ومتضمسنة
فى متسلسلة القطع كلها بالطريقة المطلوبة . وبذلك يكون التعريف الرتبى
للمتواصل تاماً .
و/ا؟ لا بد لنا من افتراض أن الاتصال بحسب التعريف المذكور إنما
١ 1 ( 9 .ص11 رقعلأقمغطنة14 هاعل
هل
بمكن أن نضرب له أمثلة فى الحساب بالطريق غير المباشر من الأعداد الصحيجة
إلى المنطقات » ومن ثم إلى الأعداد الحقيقية . وعلى العكس الأعداد اللتعيرة
نفسها يمكن أن نجعلها توضح الاتصال . ولتعتير جميع فصول الأعداد الصحيحة
اللامتناهية الممكنة » ولترتبها بالطريقة الآتية .
فصلانى » ف وكان أصغر عدد وى أصغر من أصغر عدد فى ف
فإن ى 0 أولا . فإذا كانت الحدود النونية الأول فى ى » ف متطابقة » إلا أن
الحد الذى ترتيبه ه + ١ فى كل منهما يختلف عن الآخر » فإن الأدى فيه الحد
النوفى + ١ أصغر يأنى أولا . وهذه المتسلسلة لما حد أول وهو فصل الأعداد الصحيجة
كله » ولكن ليسلا حد أخير . ومع ذلك فأى قطعة مكملة لم»ءامصدم» من المتسلسلة
فهى متسلسلة متصلة » ما يستطيع القارئْ أن بتبينه سهولة لنفسه . والمتسلسلة
الملتحمة المعدودة المتضمنة فيها مكونة من تلك الفصول اللامتناهية الى تشتمل على
جميع الأعداد الأكبر من عدد ماء أى تلك الى تشتمل على جميع الأعداد
ما خلا عدداً متناهياً من الأعداد . و بذلك تكون فصول الأعداد الصحيحة المتناهية
وحدها كافية فى توليد متسلسلات متصلة كبامتسنتاصهم .
٠ ستلاحظ أن التعريف المذكور يعتمد على المتواليات . ولا كانت
المتواليات هى عين جوهر الانفصال » فقد يبدو من التناقض أن نحتاج إليها فى
ف تعريف الاتصال!١),
ومهما يكنمن شىء لما كان مما لا ريب فيه أن انس ل بتعودا أن بضيفو إلى
لفظة الاتصال معنى دقيقاً» فالتعريف الذى نأخذ به تعريف تحكمى إلى حد ما .
فالمتساسلات الى لما الحواص المذكورة فى تعريف كانتور تسمى بوجه عام متصلة)
ولكن ذلك ينطبق أيضاً على كثير من المتسلسلات الى استبعدها التعريف . على
أى حال من المفيد البحث ماذا يمكن أن نصنع بالمتسلسلات الملتحمة بدون
المتواليات .
)١( بين الأستاذ هوايتبيد أن التعريف الأسبل التالى مكالى' اتويب كالاور : تكون المتسلسلة
متصلة عندما( ١ )يكون لكل قطعة عليها أو دنا نهاية» ويكون للمتسلسة حد أول وأخير ( ؟) المتسلسلة
الملتحمة المعدودة معضمئة فى تلك حيث يوجد حدود من المتسلسلة الثاذية بين أى حدين من متسلسلتنا
الأصلية . وق هذا التعريف لا تدخا ل المتوالها ت إلا عند تعريف المتسلسلة المعدودة ١5
1”
وليكن ى متسلسلة ملتحمة لا أول ها ولا آخر علاقها المولدة ىه » ولا نعوف
عنها شيئاً أكثر من . ذلك . عندئذ يبمكن بواسطة أى .حد أو فصل من الحدود فى ى
تعر يف قطعة ىق ى . ولئرمز بالرمز ى إلى فصل جميع القطع الدنيا فى ى . ويحسن
بنا إعادة ما ذكرناه عن القطع الدنيا فنقول : القطعة هى فصل ف من الحدود
المتضمنة ىق ى ؛ وهوفصل ليس صفراًء ولا متمادًا مع ى » وبحيث لا يكون له
احد أخير » وكل حد يسبق ف فهو أحد ف . وإذا كانت الحالة بالعكس »
حين يكون ف ليس له حد أول » وكل حد يتبع أحد ف فهو أحد ف » يميف
قطعة عليا . ومن السهل عندئذ إثبات أن كل قطعة تتكون من جميع الحدود
السابقة ( أو التالية) على حد مفرد من ى » أو على حد متغير من فصل ما من
حدودى : وأن كل حد مفرد » وكل فصل من الحدود » يعرف بهذه الطريقة
قطعة عليا وقطعة دنيا . إذن إذا كاذف يدل على فصل القطع العليا » فن السجهل
إثبات أن لم وج اس ل ا
علاقنهما المولدة هى علاقة الكل أو الحزء . على حين أنه إذا كان ى له طرف أو
طرفان فكذلك ى » ف » ولو ل 0
فإذا انتقلنا الآن إلى بحث القطع فى ى أو ف (ى مثلا) سنجد أن قطع الياءات
المعرفة بأى فصل كان من ى يمكن دائماً أن تعرف بفصل مفردى الذى إذاكان
الفصل لامتناهياً وم يكن له حد أخير فهو فهو الباية العليا للفصل » والذى يكون فى
جميع الأحوال حاصل الجمع المنطى لجميع أعضاء الفصل - وفى أعقياء 5
نذكر هى كلها ذاتها فصول متضمئنة ى ى "١١ . يترتب على ذللك أن جميع الفصول
المتضمنة فى ى » وليس لها حد أخير » فلها نباية عليا فى ى . وكذلك ( وهذه
قضية متميزة ) جميع الفصول المتضمنة ىى ؛ وليس لما حد أول فلها نهاية دنيا
فى ى فها عدا ا حالة الى تكون فيها الباية الدا هى الصفر المنطى أو الفصل
الصفرى . والهاية الدنيا هى دائماً حاصل الضرب المنطى للجميع الفصول المكونة
)000 تعريف حاصل الحمم المنطق لأعضاء فصل الفصول بصورة لا يدخل فيها التناهى يرجع فيا
أعتقد إلى بيانو . ويحرىالتعريف كالآق : ليكن و فصل فصول» عندئذ حاصل الجمع المنطى لأعضاء و
هو فصل حدود س عويث يوجد فصل ماياتمى أو ينتمى إليه س . انظر ,761.11 ,عمتة[نصده8
عوط 461 .]32 (1897)
ييل
للفصل الذى هى نباية له . وهكذا بإضافة الفصل الصفرى إلى ى نضمن أن يكون.
ى متسلسلة مقفلة . وهناك مععى فى قولنا إن" ى متكثفة فى ذائها وهو هذا : كل
حد من ى هو الهاية العليا لفصل مختار اختياراً مناسباً متضمن فى ى » لأن كل
حد من ى هو الهاية الدنيا لقطع تلك الياءات الى تعرفه . وكل حد فى ى هو
الماية الدنيا لفصل تلك الياءات الى هى جزء سحيح منه . ولكن ليس هناك على
الإطلاق أى برهان » على الأقل فما استطعت أن أتبينه حتى الآن » على أن كل
حد من ى هو الهاية العليا أو الدنيا لمتسلسلة « أساسية ؛ . وليس هناك سبب « أولى »
اذا كانت فى أى متسلسلة نهابة أى فصل كذلك دائاً مباية متسلسلة أساسية .
ويبدو فى الواقع أن هذه هى مزية متسلسلة من الأصناف الى تنتمى إليها المنطفات
والأعداد الحقيقية على التوالى . أما فى حالتنا هذه على الأقل فإن متسلستنا ولو أنها
بالمعنى العام المذكور متكثفة فى ذالها » فلا يبدو أن هناك سبباً لافتراض أن
حدودها كلها نبايات لمتسلسلات أساسية » و بهذا المعبى الخاص ربما لا تكون
المتسلسلة متكثفة فى ذاا .
0١ _ من المفيد بحث نتيجة قصر حدود ى على مثل تلك القطع الى
يمكن تعريفها بالمتساسلات الأساسية . وى هذه الحالة يحسن أن ننظر علاوة
على القطع العليا والدنيا إلى متمماباهاهءمءاومده كا قد تسمى » والى سأعطى الآن
تعريفها . ولتكن متسلسلة ملتحمة فمتولدة بعلاقة متعدية لا مهائلة و » ولتكن ى
أى متسلسلة أساسية فى ف . فإذا كان للحدود الأول من ى مع الحدود الأخيرة
العلاقة ى.» سمينا ى « متوالية » . وإذا كانت العلاقة ىء سممينا ى ١ متراجعة ) ,
والآن إذا كان و أى فصل اتفق متضمً فى فء فإن و يعرف كا رأينا من قبل .
أربعة فصول أخرى ىف » وهى :
17 فصل الحدود قبل كل و ء وسأسميه و )١(
(؟) فصل الحدود بعد كل و وسأسميه و |[
(*) فصل الحدود قبل و ما » وسأسميه بر و
(4) فصل الحدود بعد و ماء وسأسميه 7 و
فالفصلان (") » (5) القطعتان الدنيا العليا على الترتيب ؟ والفصلان
هيل
)١( ؛(5) متممان (١ 4) » ("*) على الترتيب ٠ وسأسيهما قطعتين متممتين
امعد اممندة . فإذا كان د له نباية عليا فهى الحد الأول ! و وزع وبذلك لا يكون
ور قطعة ما دام لا قطعة عليا لها حد أول . ولكن حين يكون و ليس له نبابة
عليا عندئذ و 77 قطعة سواء كان و متناهياً أو لامتناهياً. وتنطبق ملاحظات شبيهة
بذلك على اللهايات الدنيا . فإذا كان و له حد أخير » فهذا الحد لا ينتمى لا إلى
و ولا إلى و 77 » ولكنجميع الحدود الأخرى لا حد أخير لا ينتمى لا إلى 17 و
ولا إلى و 21 بل جميع الحدود الأخرى فىف تنتمى لفصل أو لآخر . وإذا
كان و ليس له حد أخير» فجميع حدود ف تنتمى إلى 7 و أو و 7.
وتنطبق ملاحظات شبيبة بذلك على و 7, ٠» 77 و . وبتطبيق هذه التعريفات
العامة على حالات المتواليات والمراجعات » ستجد أنه بالنسبة للمتوالية الفصلين
(؟) »2 (8) فقط مهمين » وللمتراجعة الفصلين )١( » (4) فقط . أما
السؤال عن المتوالية أين تبدأ » وعن المراجعة أين تننهى فليست له أى أهمية . وإذ
كانت المتوالية ليس لما حد أخير » ولا للمتراجعة حد أول » فالقطعة المعرفة بأمهما
مأخوذة مع متممنها تشتمل على كل حد فىف . أما هل المتواليات والمتراجعات فىوف
ها نهايات دائماً أو أحياناً » أو ليست لا نبايات أبدا » فيبدو أنه لا سبيل لمعرفة
ذلك من المقدمات الموجودة لدنيا . ولم أتمكن من الكشف عن مثال لمتسلسلات
ملتحمة ليس ا نبايات ألبتة » ولكبى عاجز عن إقامة دليل على استحالة مثل
هذه الحالة .
فإذا انتقلنا الآن إلى فصول القطع كما انتقلنا من قبل للنظر فى الفصل ى ء
فعندنا أربعة من مثل هذه الفصول هى :
)١( الفصل ف 7, وكل حد من حدوده هو الفصل ى 7, تعرفه متراجعة
منّاى » أى حدود ف الى تأنى قبل جميع حدود متراجعة ما فو .
(؟) الفصل ف 17 المشتمل على جميع فصول ى 77 المعرفة بالمتوالية ى .
(") الفصل جر ى الذى حدوده هى بر ى حيث ى متوالية ما .
(4) الفصلف ,ر الذى حدوده هى ى 7 حيث ى مبراجعة ما . وكل من
هذه الفصول الأربعة فصل فصول» لأن حدوده هى فصول متضمنة فى ف . وكل
ل
من الأربعة هو بنفسه متسلسلة ملتحمة . وليس ثمة سبيل إلى البرهنة فيا أعلم.علي
أدرلعيء(") أو )١( و (4) هما أى حدود مشتركة . وربما كان لكل
زوج حد مشيرك إذا احتوى ف على متوالية ومتراجعة معاسكتين » وليس له مهاية
قشف. ولكن لا سبيل لمعرفة ما إذا كانتهذه الحالة هل تنشأ فى المتسلسلة في
المعلومة أو لا .
وعند ما نبحث فى أمر الفصول الأربعة المعرفة على ذاك النحو أهى متكثفة
فى ذائها » فإننا نحصل على أعجب النتائج . فكل متسلسلة أساسية فى أى فصل
من الفصول الأربعة لها نهاية » ولكن ليس من الضرورى أن تكون هذه الهابة فى
المتسلسلة الى تركب من حدودها ؛ و بالعكس كل حد فى كل فصل من الفصول
الأربعة فهو نباية متسلسلة أساسية » ولكن ليس بالضرورة متسلسلة ق نفس
الفصل الذى ينتمى إليه حد الباية . ويمكن تقريرالأمر على النحو الآني :
كل منولية جر ىف 22 أو ف فلهاعاية فى 27 مد
كل متوالية 77 فى ف أو ب ف فلها نباية اق ,دف
كل متراجعة ق قم أويراف فلها مباية قف [ر
كل متراجعة ىفش أو بر ف ظلهاناية ىف 7
كل حد فى ف جز فهو نباية متراجعة فى ف 7 وأخرى فى 7 ف
كل حد ىف 77 فهو نباية متراجعة فى ف 11 وأخرى ق 11 ف
كل حد فى 17 ف فهو مهاية متوالية فى ف جز وأخرى فى 11 ف
كل حداف إ ف فهو نباية متولية فى ف 77 وأخرى فى 17 ف
ومن ثم كان :
مجر متطابقاً مع فصل نبايات المتراجعات فى ف 17 أو بر ف
ف 11 متطايقاً مع فصل نبايات المتراجعات ثى ف م أو ”را ف
17 ف متطابقاً مع فصل نبايات المتواليات فى ف 11 أو 7 ف
يز ف متطابقا مع فصل نبايات المتوليات فى تزف أو اف #ز
وهكذا كل فصل من فصولنا الأربعة له نوع من الكمال من جانب واحد ؟
14١
ففصلان من الأربعة كاملان من جاب واحد » والفصلان الآخران من
الحانب الآتعر . ولكنى لا أستطيع أن أبرهن على أن أى فصل من الأربعة كامل
. كلية . وربما تحاول الجمع بين ف جز ء جز ف وكذلك بين ف 17217 ف
لإنك ف جرء جراف. مأخوذين معآ » يكونان متسلسلة واحدة علاقها
المولدة لا تزال علاقة كل” وجزء . وهذه المتسلسلة ستكون كاملة وستشتمل على
السواء على نهايات متواليات ومتراجعات فى نفسها . ولكن هذه المتسلسلة ربا
لا نكون ملتحمة لأنه إذا وجدت أى متوالية ى ومتراجعة ى » فى ف » وكلاهما هما
» ) نفس الهاية ىف ( وهى حالة كما نعرف تحصل فى بعض المتسلسلات الملتحمة
1[ إذن جرى » ى يد سيكونان الحدود المتعاقبة للمتسلسلة المكونة من 7 ف »ف
» هعا » لأنىّ :ر سيشتمل على الهاية المشتركة على حين أن 7 ى لن يشتمل عليها
ولكن جميع الحدود الأخرى ىف ستنتمى إلى كليهما أو لا تنتمى إلى أمهما. ومن م
إذا كانت متسلسلتنا ملتحمة فلا يمكن أن نبين أنمها كاملة . وحين نجعلها كاملة
بمكن أن نبين أنها ربا لا تكون ملتحمة . والمتسلسلة الى ليست ملتحمة فيصعب
. أن تسمى متصلة
ومع أننا نستطيع أن نثبت فى متسلسلتنا الأصلية الممتحمة ف أن هناك عدداً
لامتناهياً من امتواليات المماسكة مع متوالية معلومة ؛ وليس لها أى حد مشيرك معها »
فلا بمكننا إثبات وجود ولو متراجعة واحدة ممّاسكة مع متوالية معلومة » ولا كذلك
إثبات أنأى متوالية أو متراجعة فى ىا مهاية » أو أن أى حد من حدودف فهو بايةمتوالية
أو متراجعة . لا بمكننا إثبات أن أى متوالية ى ومتوالية ىّ فهما بحيث 17 ى - ى 17
بل ولا أن بر ى 6 ى 17 قد لا مختلفان إلا بحد مفرد فقط من حدود ف .
بل ولا يمكننا أخبيراً إثبات أن أى متوالية مفردة نيف جر ها نماية ىف 77 »
بقضايا شبيهة بذلك فما بختص بالفصول الثلائة الأخرىف 217 بز ف2 17 ف .
على الأقل فإنىعاجز عن اكتشاف أىطريقة لإثبات أى نظرية من هذه النظريات ؛
ولو أنه عند غياب الأمثلة على بطلان بعضها فلا بظهر من غير المتحمل أنما ربما
تقبل البرهنة عليها .
فإذا كان من الواقع "نا يظهر - أننا إذا بدأنا فقط من متسلسلة ملتحمة
يل
كانت أكبر النظريات الحارية لا مبرهنة » تبين لنا مقدار أهمية اماد نظرية كانتوق
الرتيبية على الشرط القائل بأن المتسلسلة الملتحمة الى نبدأ منها لا بد أن نكون معدودة
وحالما نضع هذا الفرض يصبح من السول إثبات جميع تلك القضايا المذكورة »
الى نصح بالنسبة للصنفين , » م على التوالى . وهذه الحقيقة من الواضح أنها
ذات أهمية فلسفية عظيمة» ولزيادة توضيحها قد أطنبت طنبت فى الكلام عند المتسلسللات
الملتحمة المفروض أنها غير معدودة .
7 الملاحظة الى أبديناها توا من أنمتسلسلتين ملتحمتين قد يأتلفان لتكوين
متسلسلةواحدةلما أحياناً حدود متعاقبة» ملاحظة أدنى إلى الغرابة وتنطبق كذلك على
الاتصال بحسب تعريف كانتور له. فقطع المنطقات تكون متسلسلة متصلة » .
وكذلك القطع المكملة (أى القطع المأخوذة مع نماياتها) . ولكن الاثنتان معاً
تكونان متسلسلة ليست ملتحمة ولذلك ليست متصلة . وما يتعارض بكل تأكيد
مع الفكرة االحارية عن الاتصال أن المتسلسلة المتصلة تبطل أن تكون كذلك بمجرد
إدخال حدود جديدة بين الحدود القدبمة » لأن هذا لا بد بحسب الأآفكار الحارية
أن يجعل متسلسلتنا أكثر اتصالا . قد يقال فلسفياً إن المتسلسلة لا يمكن أن تسمى
متصلة إلاإذا كانت ور تامة )مئ»1|مصدمء» أى تمن على حد معين مأخوذ مع جميع
الحدود البى ها مع هذا الحد المعين علاقة لا مهائلة متعدية متخصصة أو عكس هذه
العلاقة . فإذا أضفنا هذا الشرط فليست متسلسلة قطع المنطقات تامة بالنسبة للعلاقة
الى بواسطتها اعتيرناها حتى الآن متولدة »ما دامت لا تتكون من جميع فصول المنطقات
الى لها مع قطعة معلومة علاقة الكل والحزء » والى يشتمل كل منها على جميع
الحدود الأصغر من أى واحد من حدودها وهذا الشرط متحقق كذلك بواسطة.
القطع المكمّلة . ولكن كل متسلسلة فهى تامة بالنسبة لعلاقة منّا بسيطة أو مركبة .
وهذا هو السبب ف أن الام متعدهاء امم لايحتاج منوجهة النظر الرياضية أن يذ كر
فى تعريف الاتصال » ما دام من الممكن دائاً ضمانه باختيار مناسب للعلاقة
المولدة .
رأينا الآن ما يقوم عليه تعريف كانتور للاتصال » ورأينا أنه على حين يمكن
أن توجد أمثلة تحقق التعريف فى الحساب ٠ إلا أن التعريف نفسه ترتبى بحت -
١
الشىء الوحيد امحتاج إليه هو متسلسلة ملتحمة معدودة . وسواء أكان نوع المتسلسلات
التى يعرفها كانتور على أنها متصلة مما يظن أنها أكثر الأشياء شبيا بالمدلول عليه
» حى الآن بهذه اللفظة أم لم يكن » فالتعريف نفسه » والحطوات المؤدية إليه
. لابد أن نعترف بأنه نصر للتحليل والتعممم
وقبل ا حوض ف المسائل الفلسففية المثارة بواسطة المتواصل بحسن أن نتابع عرض
أهم نظريات كانتور ؛ وذلك ببحث نظريته عن الأعداد الأصلية المتصاعدة »
والأعداد والترتيبية . ونحن لم نبحث حت الآن إلا فى إحدى المشكلتين امخصصتين
لهذا الحزء » وهى مشكلة الاتصال . وقد حان الوقت للنظر فما تقول به الرياضيات
عن اللانهاية . فإذا ثم لنا ذلك أصبحنا فى موقف يعلنا قادرين على مناقشة
المشكلات الفلسفية الأوئق ارتباطاً باللانباية والاتصال .
الباب السابع والثلاثون
الأصليات المتصاعدة
8 يمكن أن يقال إن النظرية الرياضية للانهاية تكاد تبدأ بكانتور .
فالحساب اللانهاتى الصغر » ولو أنه لا يمككن أن يستغبى تماماً عن اللانباية إلا أن
صلته به قايلة ما أمكن » وهو يسعى إلى إخفاء هذه الملة قل أن تظهر إلى العا +
أما كانتور فقد ضرب بسياسة النعامة عرض الحائط وأزاح الستار عن الهيكل
الحق .كان ذلك الميكل » مثل كثير غيره » معتمداً على الستار الذى مخفيه »
فتبدد ى ضوء النور الملى عليه . ولنترك الاستعارة جانباً ونقول : إن كانتور أنشأ
فرعاً جديداً من الرياضيات بين فيه محض صعة الاستنباط فقط . أن المتناقضات
المزعومة عن اللانهاية تعتمد كلها على بسط نتائج تشمل اللامباية » وهى نتائج
ولو أنما يمكن إثباتها فيا بحقص بالأعداد المتناهية » إلا أنها ليست بالضرورة
صادقة على ١ جميع ) | الأعداد . وف هذه النظرية من الضرورى أن نبحث الأصليات
والرتيبيات كل مهما على حدة » بل إن خواصهما لتبلغ من التباعد وهما متصاعدان
حددًا أكثر مما ها متناهيان . وسأبدأ بالنظر ى الأصليات المتصاعدة » متبعا فى
ذلك نفس العرتيب الذى اتبعته من قبل - وهو ترتيب يظهر لى أنه وحده الصحيح
فلسف]3),
4 7الأصليات المتصاعدة» الى تسمى أيضاً ١ قوى » 5س«دم قد
تعررّف أولا بحيث تشمل الأصليات المتناهية » مع ترك انيز بين المتناهية والمتصاعدة .
ليبحث فها بعد . وى ذلك يعطى كانتور التعريف الاتى'":
5 لمق فز م أو عدده الأصلى تلك الفكرة العامة الى تستنبط بواسطة ملكة
الفكر الفعالة عندنا من المجموعة م بالتجريد من طببعة عناصرها المتعددة ومن
الرتيب المعطاة فيه » .
١( ) هذا هوالير: آيب المتبع ف ,311 ,6 أقصصاء .طاهل8 ولكتغير متبعق معطء 1و تععلعن) بالط تمصدكلة
0 ,0( د ,آلائلة ,بعاعهم طندكل
١44
١
وهذا كا نرى إما هو مجرد عبارة تدل على ما نتكللم عنه وليس تعريفاً صبيحاً .
فهو يفترض من قبل أن كل مجموءة لا مثل تلك الخاصية المذكورة خاصية
يمكن القول إنها مستقلة عن طبيعة حدودها وترتيبيها »ور بما نضيف إلى ذلك أنها
معتمدة فقّط على عددها ,
الواقع بأخذ كانتور العدد علىأنه فكرة أولية 6«ناندن:م : وأن كل مجموعة لها
عدد فهى قضية أولية .ومن أجل ذلك كان متسقاق إعطاء تخصيص للعدد ليس
تعريفاً صورياً .
ومع ذلك فبواسطة مبدأ التجريد يمكن أن نعطى كا رأينا فى الحزء الثانى تعريفاً
صورياً الأعداد الأصلية . وهذه الطريقة يعطيها كانتور فى الأمور الأساسية
مباشرة بعد التعريف غير الصورى السابق الذكر. وقد رأينا من قبل أنه إذا أطاقعلى
فصلين أنهما «متشابهان ٠» حين توجد علاقة واحد بواحد تزاوج بي نكل حد من الفصل
الأول مع حد واحد لا غير من الفصل الثانى » عندئذ يكون التشابه مهاثلا ومتعدياً »
ويكون منعكساً لجميع الفصول . وينبغى ملاحظة أن علاقة واحد بواحد يمكن
تعريفها دون أى إشارة للعدد كا يأنى : تكون العلاقة علاقة واحد بواحد إذا كان
سء له العلاقة مع ص وكان سه مختلفاً عن سء » وكذلك صم عن ص, » إذن
س. لا تكون له العلاقة مع صء ولا سء مع ص. وليس فى هذا أىإشارة إلى العدد »
ويتبع ذلك أن تعريف التشابه يخلو أيضاً من مثل هذه الإشارة . وما دام التشابه
منعكساً ومتعدياً ومائلا أمكن تحليله إلى حاصل ضهرب علاقة واحد بواحد وعكسها
ويدل على الأقل على خاصية مشتركة للفصولالمتشاببة . وهذه ال خاصية أو إذا
كانت هناك عدة خواص : فواحدة منبها يمكن تسميتها العدد الأصلى للفصول المتشاببة
وتكون علاقة الكثير بالواحد هى علاقة فصل بعدد حدوده. ولكى نقف عند
شىء واحد معين مثل العدد الأصلى لفصل معلوم : فعلينا أن نطابق بين عدد
فصل وبين فصل الفصول كله المشابه للفصل المعلوم . وهذا الفصل إذا أخذ كشىء
مفرد فله كما يتيين من برهان مبدأ التجريد - جميع الحواص المطلوبة من العدد
الأصلى . ومع ذلك فهذه الطريقة معرضة فلسفياً للشك الناجم من التناقض الذى
ذكرناه فى الباب العاشر من الحزء الأول 1١١ .
, انظر الملحق )١(
حل
بهذه الطريقة نحصل على تعريف العدد الأصلى للفصل . وما دام التشابه
منعكساً بالنسبة للفصول » فلكل فصل عدد أصلى . وربما يظن أن هذا التعريف
إنما ينطبق على النصول المتناهية لأننا كى نبرهن على أن « جميع » حدود
فصل واحد فهى مترابطة مع جميع حدود فصل آخر » فقد يظن أن العد النام أمر
ضرورى » وليست هذه مع ذلك هى الحالة ؛ كا يمكن أن نتبين لأول وهلة
باستبدال «أى » بدلا من « جميع » - ولأى» م بوجه عام حيث
نكون بصدد فصول لامتناهية . ويكون فصلا ى .ف متشاببين إذا وجدت علاقة
ما واحد بواحد ع بحيث إنه إذا كان س أى حد فى ى فهناك حد ما مر فى ف
بحيث يكون سء اع ص , وإذا كان ص أى حد فى فء فهناك حد ما س” فى
ى ميث يكون س- ع صص”. ولاحاجة لنا ههنا ألبتة إلى العد الكامل بل نحتاج
فقط إلى قضايا تختص « بأى ى » و «١ أى ف» . مثال ذلك أن النقط على خط
معلوم تشبه الخطوط الى عر بنقطة معلومة وتلتى بالخط المعلوم . لأن «أى »
نقطة على االخط المعلوم تحدد خطاً واحداً ولا غير يمر بالنقطة المعلومة » و « أى ؛
خط بمر بالنقطة المعلومة ويلتى بالحط المعلوم بحدد نقطة واحدة ولا غير على الخط
المعلوم . وهكذا حيث تكون فصولنا لامتناهية فإننا نحتاج إلى قضية ما عامة عن
«أى» حد فى كل من الفصلين لقيام التشابه ؛ ولكننا لا نحتاج إلى العد . ولكى
نثبت أن كل (أو أى) فصل له عدد أصلى » فإما نحتاج إلى ملاحظة أن أى
حد نى أى فصل فهو متطابق مع نفسه . ولسنا ى حاجة الحاصية انعكاس التشابه
إلى أى قضية عامة أخرى عن <دود الفصل .
وم ولنشرع الآن فى بحث الحواص الرئيسية للأعداد الأصلية . وان
أعطى براهين على أى خاصية من هذه ا لخواص خشية تكرار ما نقلناه عن كانتور.
وإذا يثنا أولا فى علاقاتها بالفصول فقد نلاحظ أنه إذا وجدت مجموعتان من
الفصول متشابمة الأزواج » وليس لأى اثنين من الجموعة الواحدة جزء مشترك »بل
ولا لأى اثنين من المجموعة الأخرى » إذن حاصل المع المنطى لجميع فصول
إحدى المجموعتين يشابه حاصل الجمع المنطى الجميع فصول المجموعة الأخرى .
وهذه القضية المألوفة ى حالة الفصول المتناهية تص حكذلك بالنسبة للفصول اللامتناهية
1١ /
ثم إن العدد الأصلى للفصل ى يقال إنه أكبر من العدد اللأصلى الفصل ف اعون
لا يكون أى جزء من ف مشابهاً ى » بل هناك جزء من ى يشبه ف. وق هذه الحالة
أيضاً يقال إن عدد ى أقل من عدد ى . ومن الممكن إثبات أنه إذا وجد جزء
من ى يشبه جزءاً من هاء وجزء من ف يشبه جزءاً من ى » إذن ى » ف
[ متشابهان١١2. وهكذا نجد أن المساواة والأكبر والأصغر لا يتفق بعضها مع بعضها
الآخر » وهى كلها متعدية» والأخيرتان لا معاثلة. ونحن لا نستطيع إثبات - ويبدو
من المشكوك فيه هل بمكننا هذا الإثبات أصلا أنه إذا اختلف عددان أصليان
فلا بد أن يكون أحدهما أكبر والآخر أصغر ''. وينبغى ملاحظة أنتعريف«أكبر)
يشتمل على شرط ليس مطلوباً فى حالة الأصليات المتناهية . فإذا كان عدد ف
متناهياً » فيكى أن يكون جزء مناسب من ى مشابباً ف . ولكن فى الأصليات
المتصاعدة ليس هذا بكاف . إذن كلا الحزأين لازمان لإجراء تعريف عام للأكبر
وهذا الفرق بين الأصليات المتناهية والمتصاعدة ينشأ من تعريف الفرق بين المتناهى
واللامتناهى ؛ وهو أنه حينلا يكون عدد فصل متناهياء فالفصل دانماً جزء صميح
مشابه الفصل كله . وبعبارة أخرى كل فصل لامتناه يشتمل علىجزء ( ومن ثم
على عدد لامتناه من الأجزاء ) له عين العدد كنفسه . وهناك حالاستخاصة معينة
هذه القضية عرفت منذ زمن طويل» وكانت تعتبر بأنها تكون تناقضاً فى فكرة
العدد اللامتناهى . مثال ذلك أن ليبنتز '") يذهب إلى أنه ما دام كل عدد يمكن
أن يضاعف» فإن عدد الأعداد هو نفس عدد الأعداد الزوجية » ويستنتج من
ذلك أن العدد اللامتناهى لا وجود له . وأول من عمم هذه الخاصية عن المجموعات
اللامتناهية » وبحث أمرها على أنها غير متناقضة» فهو بمقدار ما أعلم بولزانو؟".
)١( هذه هى نظرية برنشتين وشريدر ؛ وانظر للبرهان دعل عتتممط 12عنة تمموعا ,اععدظ
8 -- 34 .هم ,نم19 رصمااعتم ول يصن امن) .ماعصععع لصة ,1898 ركتعوظ ,كممتاعمه؟
)0 ( الأسباب ال يقدمها كانتور عل ذلك مهمة » ولا دمدو لى أنها ضور بحة ٠» وهى تعةمد عل
المسلمة القائلة بأن كل فصل فهو محال علاقة ما محكة الرتيب . انظر +آلآنلع( * رالممما .بلله11 ,عماهد0
8 6غ عامم
0 8 اط رن به و"المقطء 0
(4) 8 ردمطءافهعدلا عمل «عابدملوعة 2
154
ولكن البرهان الدقيق على القضية حين تعرف الأصليات المتناهية بواسطة الاستشياط
الرياضى » وكذلك البرهان علىأنها غبر متناقضة »إنما يرجع إلى كانتور وديديكند .
وقد يمكن أن تؤخذ القضية ذاتها على أنها تعريف للمتصاعد من الأعداد الأصلية »
لآمها خاصية تنتمى حميعها ولا تنتمى لأى عدد من الأصليات المتناهية١'' وقبل
أن تمضى فى بحث هذه الخاصية لا بد لنا من الحصول على معرفة أوثق بالخواص
الأخرى للأعداد الأصلية .
5 - ونصل الآن إلى الحواص الحسابية فقط الأصليات » تعنى جمعها
وضربما » إلخ''' . ويعرف « جمع » الأعداد » حين تكون متصاعدة » بالضبط
كنا عرفناها فى حالة الأعداد المتناهية . أى بواسطة الجمع المنطى . إن عدد حاصل
الجمع المنطى لفصلين ليس لمما حد مشارك » هو مجموع عددى الفصلين .
وهذا يمكن أن يمتد خطوات متتالية ليشمل أى عدد تناه من الفصول . لآن العدد
اللامتناهى لفصول وهو الذى يكون فصل فصول » فإن حاصل جمع أعدادها إذا لم
يكن لفصلين منها أى حد مشترك لا يزال هو عدد حاصل جمعها المنطى - ويكون
حاصل الجمع المنطى لأى فصل فصول متناهياً كان أو غير متناه قابلا للتعريف
منطقياً . ويستمر قانونا التبادل والترتيب صحيحين بالنسبة الحاصل جمع عددين
أو ثلائة أعداد معرفةة على هذا النحو » أى أننا نحصل على ما بأنى :
| +ن دب +|0|+ون+ح)- (0دن)ج
ويعرف كانتور « ضرب » عددين كا يأق
إذا كان مء 2 فصلين فيمكننا أن ذركب أى عنصر من م مع أى عنصر
من 2 لتكوين زوج هو( ؛ 2) . وعدد جميع مثل هذه الأزواج هو حاصل
ضرب أعداد مع 2 . وإذا شئنا تجنب فكرة الزوج فى التعريف فيمكن أن
نضع بدا ما يأ" : :كلاق لضن لعن رعدده . كن كل فصل .بن
10 64 .ا (ساطمج ولك «ولامد عمف همه هدق نم14 لمسصعطئلع12
(١ ) أغداة إوامدمامل سعتصصاء ,لمعطعائط لكا رد 5 الالع! ,ومامصمك .طنمكطة «مامه
4خ ,11 .1701
(»؟) جا 85 الكاموظ كله كك مهأ اف «فطلماطا. عل متمانججه ,و عأطير »1 كعك وءذمهة1 7 رخص وزيا
12 أه ادامل انمعا رع ممق
ل
هذه الفصول المنتمية (ى تشتمل على ب من الحدود . بحيث لا يكون لفصلين من
هذه الفصول أى حد مشترك , إذن !اب هو عدد حاصل الجمع المنطى لجميع
هذه الفصول . وهذا التعريف لا يزال منطقياً بآ وبتجنب فكرة الزوج . والضرب
معرفا على هذا النحو يحقق قوانين التبادل والترتيب والتوزيع » أى أننا نحصل على :
اد داء(|رناح)3<(إند)حء|رنترح)دإرت +رج.
ومن ثم فجمع الأعداد الأصلية وضربها حنى حين تكون متصاعدة يحققان
جميع قواعد الحساب الابتدائية .
وتعريف قوى عدد (إس ) يحصل كذلك منطقيا ( انظر بند 4 من المرجع
السابق ) . ولهذا الغرض يعرف كانتور أولا ما يسميه تغطيه ومفع»م» (عددوءاء8)
فصل 2 بواسطة فصل آخر م . وبمقتضى هذا القانون يرتبط كل عنصر
له من 2 بعنصر واحد ولا غير م من م » ولكن نفس هذا العنصر م قد برتبط
بكثير من عناصر 2.. ومعى ذللك أن التغطية م«دوءاء8 هى علاقة كثير بواحد
ميداما يشمل 2 وبما تترابط دائماً حدود 2 مع حدود م . فإذا كان ١ عدد الحدود
فق م ,2 وكان به عدد الحدود فى ى » إذن عدد جميع مثل هذه
العلاقات من الكثير بالواحد يعرف بأنه ب . ومن السهل أن نتبين أن هذا التعريف
بالنسبة للأعداد المتناهية يتفق مه التعريف العتاد . أما بالنسبة للأعداد المتصاعدة
فلا تزال الأسس 5م41م: الها ان المعتادة أى :
إن إح ح إسبيح ) إجد نحت (إن)ح , (إس)حج ص إسح
وف الخالة الى تكون فيها ١ - ؟ ٠ فإن ات تقبل تعريفاً أبسط مستنبطاً من
التعريف المذكور . فإذا كانت -؟ » كانت ”- عدد الطرق البى يمكن بها
أن يتعلق كل حد من حدود ب بواحد من حدين . وعند ما تعلم الحدود المتعلقة
بأحد الحدين فإن الباقية تعلق بالحد الآخر . ومن ثم يكثى فى كل حالة تخصيص
فصل الحدود المتعلق بأحد الحدين . وبذنك نحصل فى كل حالة على فصل نفر زه
من حدود ب وف جميع الأحول نحصل على جميع مثل هذه الفصول . وإذن ©
هو عدد الفصول الى يمكن أن تنشأ عن حدود ب » أو عدد توافيق ب من الأشياء
مأخوذة أى عدد فى أى وقت - وهى نظرية مألوفةعند مايكوند متناهيا وتستمر
ل
صحيحة عند ما يكون ب متصاعداً . وبعطى كانتور برهاناً على أن ا أكير
دائماً من ب - وهو برهان مع ذلك يفضى إلى صعوبات عند ما يكون ب عدد
جميع الفصول » أو بوجه أعم عند ما تكون هناك مجموعة ما من حدود ب تكون
فيها جميع امجموعات المفرزة من حدود ب هى نفسها <دود مفردة ان لام
وتعر يفات الضرب البى أعطاها كانتور وفايفاتى تتطلب أن يكون عدد العوامل
فى حاصل الضرب متناهياً» ويلزم عن ذلك إعطاء تعريف جديد مستقل للقوى إذا
أجزنا أن يكون الأس لامتناهياً. وقد أعطى الأستاذ هوايتهيد'"! تعريفاً الضرب يلو
من هذا القيد » ويسمح من أجل ذلك للقوى أن تعرف بالطريقة العادية مثل حاصل
الضرب . وقد وجد كذلك براهين من القوانين الصورية حين يكون عدد الأشياء
امجموعة أو الأقواس أو العوامل لا متناهياً . ويحرى تعريف حاصل الضرب
كا بأ : ليكن ك فصل فصول ليس لأى فصلين منهما حدود مشركة . ولتفرز
لكل طريقة ممكنة حد"ًا واحدا لا غير من كل فصل من الفصول الى يتكون منها لك »
فإذا فعلنا ذلك يجميع الطرق الممكنة حصلنا على فصل فصول يسمى الفصل الضريى
الع. ويعوف عدد حدود هذا الفصل بأنه حاصل ضرب عدد الحدود ى شى
الفصول التى هى أعضاء ك . وحيث يكون عدد أعضاء لك متناهياً من السبل أن
نتبين أن هذا يتفق مع التعريف العادى . وليكن ى »ف » و أعضاء ك ٠ وليكن
حدودها على التوالى هى ى » م ء بر . إذن يمكن إفراز حد واحد من ى بطرق
ى » ولكل طريق يوجد م من الطرق لإفراز حد واحد من ف ٠ ولكل طريق لإفراز
حد واحد من ى » وحد واحد من ف يوجد بر من الطرق لإفراز واحد من و . إذن
هناك ب م بر من الطرق لإفراز حد واحد من كل ؛ حين يفهم الضرب بمعناه المعتاد .
والفصل الضربى فكرة هامة بواسطها يمكن أن يتقدم الحساب الأصلى التصاعدى
خطوات أكثر مما تقدم به كانتور .
١ - تنطبق جميع التعاريف المذكورة على الأعداد الصحيحة المتناهية
) ١)انظر فم) بعد الباب الثالث والاربعين .
زع ا موضع السابق من 926 ,313 ,306 .مم ,11 هعتأمسمسعطنوك8 ع4
اليل
والمتصاعدة على حد سواء » ولا تزال القوانين الصورية للحساب تصح عليها كما
نرى . ومع ذلك فالأعداد الصحيحة المتصاعدة د نتلف عن المتناهية ىق خواص
علاقنها بالفصول الى هى أعدادها » وكذلك بالنسبة لحواص فصول الأعداد
الصحيحة ذانما . الواقع لفصول الأعداد خواص شديدة الاختلاف بحسب ما تكون
الأعداد متناهية كلها أو متصاعدة على الأقل جزئياً .
ومن بين الآصليات المتصاعدة بعضبها له أهمية خاصة وبوجه خاص الأعداد
المتناهية وعدد المتواصل . ومن الواضح أن عدد الأعداد المتناهية ليس هو نفسه
عدداً متناهياً » لأن فصل ١ العدد المتناهى » شبيه بفصل ١ العدد المتناهى الزوج »
الذى هو جزء من نفسه . وقد يمكن إثبات نفس النتيجة بالاستنباط الرياضى - وهو
مبدأ يستخدم كذلك لتعريف الأعداد امتناهية » ولكنى لن أبحث فى أمره إلا فى
الباب التالى» لأنه من طبيعة ترتيبية أكثر . عدد الأعداد المتناهية هو إذن متصاعد»
ويرمز كانتور إلى هذا العدد بالألف العبرية مع وضع صفر جانبها » ولكننا سترمز
له بالألف المعتادة للسبولة » هكذا (. ويثبت كانتور أن هذا هو أقل جميع
الأصليات المتصاعدة » وذللك من النظريات الاتية ( المرجع السابق بند 58) .
١ ( ) كل مجموءة متصاعدة تشتمل على مجموعات أخرىكأجزاء عددها هو |.
(س) كل مجموعة متصاعدة هى جزء من أخرى عددها هو |. فلها
كذلك العدد [|.
( < ) لا مجموعة متناهية تشبه أى جزء صحيح من ذاها .
( د ) كل مجموعة متصاعدة فهى شبيبة مجزء ما صصيح بذاعها!''.
ورتب على هذه النظريات أنه لا عدد متصاعداً أصغر من عدد الأعداد
المتناهية . وا مجموعاتالى لما هذا هذا العدد يقال إنها معدودة» لآنه من الممكن دائماً
أن « تعد » مثل هذه الجموعات . بمعنى أنه إذا علم أى حد فى مثل هذه ا جموعة
فهناك عدد متناه ما 2 بحيث يكون الحد المعلوم هو الحد النونى. وليست هذه إلا
)١1( النظريتان ج » د تحتاجان إلى أن يعرف المتناهى بالاستنباط الريافى » وإلا أصبحتا
مكررتين .
دا
مجرد طريقة أخرى للقول بأن جميع حدود المجموعة المعدودة لها علاقة واحد بواحد مع
الأعداد المتناهية » وهذا مرة أخرى يكافء قولنا إن عدد ا مجموعة هو عين الأعداد
المتناهية . ومن السهل أن نرى أن الأعداد الزوجية » أو الأولية » أو المربعات
الكاملة » أو أى فصل آخر من الأعداد المتناهية الى ليس ها نهاية عليا تكون
متسلسلة معدودة . لأننا إذا رتبنا أى فصل من هذه الفصول بترتي المقدار فهناك
عدد متناه من ال+دود وليكن 2 قبل أى حد معلوم سيكون بذلك الحد النوفى + ١ .
أهم من ذلك أن جميع المنطقات بل جميع الحذور الحقيقية للمعادلات ذات
الدرجة المتناهية والمعادلات المنطقة ( أى جميع الأعداد الحبرية) تكون متسلسلة
معدودة ١١ بل إن المتسلسلة النونية البعد لمثل هذه الحدود فهى أيضاً معدودة» سواء
كانت متناهية أو كانت أصغر عدد ترتيى متصاعد . أما أن الأعداد المنطقة
معدودة فن السول تبين ذلك بوضعها فى ترتيب يكون تلك الى مجموع بسطها
ومقامها أصغر قبل تلك الى مجموع بسطها ومقامها أكبر » والى مجموعها متساو
والبى بسطها أصغر قبل الى بسطها أكبر . وبذلك نحصل على المتسلسلة :
6 2 ل ع2 ا 9 هشظ«ظ«12
وهذه متسلسلة منفصلة لها بداية وليس ها نباية . وكل عدد منطق يقع فى هذه
المتسلسلة ويكون له عدد متناه من السوابق . أما فى الحالات الأخرى فالبرهان عبى
أن يكون أصعب .
وجميع المتسلسلات المعدودة فلها عين العدد الأصلى |. مهما يظهر ألما
مختلفة . ولكن لا يحب افتراض عدم وجود عدد أكبر من [. بالعكس توجد متسلسلة
لا متناهية من مثل هذه الأعداد''. ويذهب كانتور إلى أن الأصليات المتصاعدة
محكمة الترتيب » أى تكون بحيث أن كل واحد مها ما عدا الأخير (إن كان.
هناك عدد أخير ) فله تال مباشر » وبذلك يكون كل فصل مها له أى أعداد مهما
تكن بعد» ولكن ليس لما كلها سابق مباشر. مثال ذلك أن 1 نفسه ليس له
)١( انظر 1,2١ 006.1,326, ١ أرقع أ اشصغط 21421 واعم
١) قامأال8ه زدو18 ,1 عمبوتصلععع ا - ععاتتمصسع طامط معطعءى معل عمل اطع معط مععطول
7- 165 .م2 ,11 رقعتاقص )812 للك
أما ما يقوله كاذتور من عدم وجود عدد أصلى متصاعد هو الأكبر فوضم مناقشة . انظر فيا بعد
الباب الاالث والأربعين .
. م١
ساق قناقن ؛ إذ لو كان له سابق لكان آخر الأعداد المتناهية » ونحن نعرف أنه
ليس هناك عدد هتناه أخير . ولكن الأسباب الى :-تمد عليها كانتور فى قوله إن
الأصليات محكمة الَرتيب يبدو أنها غير كافية » ولذا يحب أن تظل هذه المسألة
معر وضة للبحث .
4 أم الأعداد المنصاعدةخلاف ,١ هو عدد المتواصل «صتاصتدمء ©»
وقد أثبت أن هذا العدد ليس | '''ويأمل أن يبرهن هن أنه |, وهو أمل ولو أنه
قليف
ظل يراوده زمن من إلا أنه لم يتحقق . وقد بين أن عدد امتواصل هو ؟ ١ , - وهى
نظرية ىغاية الغرابة . ولكن يحب أن يظل من المشكوك فيه هل هذا العدد هو | , ؛
على الرغم من وجود أسباب لترجيح ذلك!؟2. أما عن تعريف: 1 » وجي تتالى
الأصليات المتصاعدة » فهذه مسألة حسن إرجاؤها إلى لطر نامر الرنسات
المتصاعدة . ويحب الا" نفترض أننا نستطيع الحصول على عدد أصلى متصاعد
جديد بمجرد إضافة عدد واحد إليه» أوحتى إضافة أى عدد متناهأو ] » بالعكس
١0) 0 112050.9408 لطنمكة همل
6 المرجع السابق ص 4 دو 5 هو العدد المابعدا .
0 بعنولا 4 8 ملاباعة معاممعمة .طادكة
( 4 ) والسبب الذى ذهب إليه كاذتور فى جعله القوة الثا ا الت ا و
خطية من النقط اللامتناهية فلها إما القوة الأول وإما قوة المتواصل » ومن ههذا يظهر أن قو المتواصل
لابد 7 تكون الما بعد الأول .
(1آلا .طنوكا هاعم مملجعع5 .488 .م ,23 رصع احمصق .طنج]8) ولكن يظهر أن هذا الاستنتاج
مزعزع عض الشى . واعتير مثلا المثال الآ : فى متوالية ملتحمة يتكون الامتداد امحدد بحدين إمامن
عدد من الحدود لامتناه؛ وإما من حد واحد فقط حين ينطبق الحدان . ولا يكن أبداً عدد متقاه من الحدود
أكبر من واحد . ولكن الامتدادات المتناهية تقدمها أصداف أخرى من المتسلسلات » مثال ذلك المتواليات
أما النظرية القائلة بأن عد المتواصل هو ؟ !, فتئتج ببساطة عن القضية المذكورة فى الباب 4 ؟
وهى أن الفصول اللامتناهية للأعداد الصديحة المتذاهية تكون متسلسلة متصلة . وعدد جميم فصول الأعداد
الصديحة المتناهية هو ؟ | , (انظر ما سبق ) وعدد الفصولٍ المتناهية هو [, إذن عدد جميع المصول
اللامتذاهية للأعداد الصحيحة المنتاهية هو ؟ !, لأن طرح [, لا لا يسقط أى عدن كان سق 1 » وإذن
؟ 8 هو عدد المتواصل . ولكى ذبرهن على أن هذا العدد هو | ١ يكى أن 1 أن عدد الفصول اللامتشاهية
للأعداد الصحيحة المتناهية هو عبن عدد أصناف اللمتسلسللات الى يمكن أن تتكون من جميع الأعداد
الصحيحة المتذاهية . وسئرى فى الباب الةالى أن هذا العدد الأخير هو | ,
٠. ١65
مثل هذه الأسلحة الصغيرة لن تزعج الأصليات المتصاعدة » إذ من المعروف أنه
فى حالة | » وبعض فصول الأصليات المتصاعدة » أن العدد يكون مساوياً
لضعفه ؛ وكذلك فى حالة |. وربما فى فصل ممختلف عن الأصليات المتصاعدة أن
العدد يكون مساوياً لمربعه . فمجموع عددين تابعين للفصل الأول من هذين
الفضلين شناوف كين العددين . وليس من المعروف هل جميع الأصليات المتصاعدة
تتبع أو لا تتبع أحد هذين الفصلين أو كلهما .
8 - وقد نتساءل : على أى وجه تكون كلا الأصليات المتناهية والمتصاعدة
متسلسلة مفردة ؟ أليست متسلسلة الأعداد المتناهية تامة بذانها بدون إمكان مد
علاقتها المولدة؟ فإذا عرفنا متسلسلة الأعداء الصحيحة بواسطة العلاقة المولدة
للاختلاف بواحد وهى الطريقة الطبيعية أكثر إذا شئنا اعتبار المتسلسلة كتوالية
إذن لا بد من الاعتراف بأن الأعداد الصحيحة المتناهية تكون متسلسلة تامة »
وليس هناك إمكان لإضافةحدود ها . أما إذا اعتبرنا المتسلسلة كما هوالمناسب ىق
نظرية الأصلياتابأنها ناشئة من ترابط الكل بالحزء فى الفصول الى بمكن للأعداد
الصحيحة الدخول فيها » فسترى عندئد أن هذه العلاقة تمتد بالفعل إلى ما وراء
الأعداد المتناهية . فهناك عدد لامتناه من الفصول اللامتناهية الى تتضمن أى
فصل متناه معلوم ٠ الذى يسبق عدده بالترابط مع تلك الفصول عدد أى فصل
من الفصول اللامتناهية . ولا أستطيع أن أحكم هل يوجد أى معى آخر بمقتضاه
تكن الأعداد” الصحيحة متناهية ومتصاعدة متسلسلة مفردة. ويك المعنى المذكور
سابقاً لبيان عدم وجود أى خطأ منطى ف اعتبارها متسلسلة مفردة» إذا عرفنا أن أحد
ا يكون هو الأكبر منبما . وقد حان الآن الوقت للنظر فى
مر الترتيبيات المتصاعدة .
الباب الثامن والثلاثون
العرتيبيات المتصاعدة
الترتيبيات المتصاعدة إن أمكن بحا أكثر فائدة وأهمية من الأصليات
المتصاعدة » لأنها على العكس من هذه لا تخضع لقانون التبادل » ولذلك كان
حسابها مختلفاً تماما عن الحساب الابتدائى . ولكل عدد أصلى متصاعد » أو على
أق ل تقدير لأى عدد فى فصل معين ؛ بوجد مجموعة لامتناهية من الترتيبات المتصاعدة »
ولو أن العدد الأصلى لحميع الترنيبات هو عين عدد جميع الأصليات أو أقل منه .
والرتيبيات المنتمية لمتسلسلة عددها الأصلى هو |, تسمى الفصل الثانى للترتيبيات .
والى تناظر ١ , تسمى الفصل الثالث» وهكذا . والأعداد الترتيبية هى أساساً فصول
متسلسلات » أو الأجدر أنبا فصول علاقات مولدة للمتسلسلات . وهى تعرف
فى الأغلب بعلاقة ما مع الاستشباط الرياضى . وكذلك الترتيبيات المتناهية يكن
أن تفهم على أنها أصناف من المتسلسلات : مثال ذلك العدد الترتيى 2 يمكن أن
يؤخذ على أنه يععى وعلاقة متسلسلة لنون من الحدود » » أو بلغة دارجة 2 من
الحدود فى صف بوم . وهذه فكرة ترتيبية مجميزة عن «النونية ) » ومتقدمة منطقياً
عليها!'" . وبهذا المعى 2 اسم لفصل من العلاقات المتسلسلة . وهذا هو المعبى »
لا ذلك المعبر عنه ( بالنوق ») » الذى عممه كانتور لينطبق على المتسلسللات
اللامتناهية .
1 _ ولنبدأ بتعريف كانتور للفصل الثانى من الأعداد اللرتيبية'""» الذى
يقول فيه : « نستطيع الآن أن نبين كيف البينا إلى تعاريف الأعداد الحديدة »
وبأى الطرق نحصل على المقاطع الطبيعية » الى أسميها « فصول الأعداد» » ى
المتسلسلات اللامبائية على الإطلاق للأعداد الصحيحة الحقيقية ... . . . فالمتسلسلة
)١( الخاصة بالأعداد الحقيقية الصحيحة الموجبة 2١ ”2 " ا
000 انظر ما سبق المز الرابع الباب الرابع والعشرين . فت يضف *
)0 8 ,32 .ممردد ؤ. عمط ع1 متععاون لبقطذ تمدكة
١هه
ان ا قلقي جه كرا وضع وتركيب وحدات مفروضة من قبل 6.
ومعتبرة على أنها متساوية . والعدد ., ( النون اليونانية ) يعبر بالسوية على جملة
(اهنادصة) اطدددصق متناهية معينة لمثل هذه الأوضاع المتتالية » وعلى ت ركيب الوحدات
الموضوعة ىكل . وهكذا فإن تكوين الأعداد الحقيقية الصحيحة المتناهية يعتمد
على جمع وحدة مع عدد كان قد تكون من قبل : وسأسمى هذه المرحلة الى سترى
فوراً أنمها تلعب كذلك دوراً أساسياً فى تكوين الأعداد الصحيحة الأعلى »
«المبدأ للتكوين ) . وجملة (لطدعصة) الأعداد الممكئة بد ى الفصل(١ )فهى
لامتناهية » ولا يوجد عدد هو الأكبر بيها . إذن على الرغم من أنه من التناقض
القول بوجود أكبر عدد فى الفصل )١( » إلا أنه لا اعتراض على تصور عدد
جديد » سنسميه .ى يدل على أن كل امجموعة )١( معطاة بواسطة قانونها
بعرتيب تتاليها الطبيعى . ( بنفس الطريقة الى تدل بها ٠» على تركيب جملة
متناهية معينة من الوحدات فى كل ) . بل من الحائز أن ننظر إلى العدد الحديد
امخترع ى على أنه نهاية تنجه إليها أعداد ,ا » إذا كنا لن نفهم من هذا شيا آخر
سوى أن ن هو أول عدد صميح يتبع جميع الأعداد ١ + أ أنه سعى أكبر
من كل عدد من أعداد ا. وبالسماح بإضافات أخرى من الوحدات تتبع وضع
العدد .ى فإننا نحصل بمعونة المبدأ « الأول » للتكوين على الأعداد الآنية :
ه 5 لويس لط 5 الالال مس لان 52910000
وحيث أننا لا نبلغ ههنا أى عدد هوالأ كبر » فإننا تتصور عدداً جديداً يمكن
أن لمي اتن 3 ويكون هو الأول بعد جميع الأعداد السابقة بد س ل يا
( والدالة المنطقية الى أعطت لنا العددين ى » ” من الواضح أمها تختلف
عن المبدأ الأول للتكوين » وأنا أسميها « المبدأ الثانى لتكوين » الأعداد الصحيحة
الحقيقية » وأعرفها بعبارة أضبط با يلى : إذا وجد أى تتال محدود من الأعداد
الصحيحة الحقيقة المعرفة ليس بينها أىعدد هو الأكبر » أمكن إيحاد عدد جديد
بواسطة هذا المبدأ الثانى للتكوين » ويعتبر هذا العدد « نباية » تلك الأعداد :
02
أى يعرف بأنه العدد الأكبر الذى يأق بعدها جميعاً » .
/اه ١
ويمكن أن نجعل مبدأى التكوين أوضح إذا اعتبرنا أ العدد الترتيى إنما هو
بحرد صنف أو فصل من متسلسلات ». أو بالأحرى من علاقاتما المولدة . فإذا
وجدت متسلسلة ليس فا حد أخير » فكل جزءءمن مثل هذه المتسلسلة والذى
يمكن تعريفه بأنه جميع الحدود الداخخلة فى المتسلسلة بما فيها حد ما من المتسلسلة »
سيكون له حد أخير . ولكن لما كانت اءتسلسلة ذاتها ليس لما حد أخير » فهى
من صئف محُتلف عن أى جزء من مثل هذه الأجزاء 2 أىعن أى قطعة من ذاتها 5
وإذن لا بد أن يكون العدد الترتيى الذى يمثل المتسلسلة ككل نتلفاً عن العدد
الترتيى الذى يمثل أى قطعة من ذانها » ولا بد أن يكون عدداً له سابق مباشر
ما دامت المتسلسلة ليس لا حد أخير. وهكذا الرمز ى إن هو إلا مجرد اسم
لفصل «١ المتوالية » ٠ أو للعلاقات المولدة لمتسلسلات هذا الفصل . و«البدا
الثانى للتكوين هو باختصار ذلك الذى به نعوف صنفاً معيناً من المتسلسلات ليس
لا حد أخير . فإذا اعتبرنا الترتيبيات ااسابقة على أى عدد ترتيى .م نحصل عليه
من المبدأ الثانى باعتبار أنه بمثل قطعاً من متسللة تمثلها بج » فالعدد الترتيى نفسه ى
يمثل نهاية مثل هذه القطع . والقطع كما رأينا من قبل لا دا نباية ( بشرط ألا يكون
ها مهاية عليا) حنى حين لا يكون للمتسلسلة الأصلية أيه نهاية'! .
ولكى يعرف كانتور فصلا من الترتيبيات المتصاعدة (ويكونتتاليه لامتناهيا 53 هو
واضح) يدخل مايسميه يبدأ التناهى( لمكم 0 للصصمع ]؟) «سمتتحاتصسلا له عامتعصكسم.
وطبقاً لهذا المبدأ يتألف ١ الفصل الثانى » فقط من الأعداد الى سوابقها من ١ إلى
فوق تكون متسلسلة من القوة الأول : أى متسلسلة عددها الأصلى هو |, ١ أو
متسلسلة لحدودها بترتيب مناسب علاقة واحد بواحد مع الأعداد الصحيحة
المتناهية . وعندئذ بتبين أن قوة الفصل الثانى أو العدد الأصلى للترتيبيات ككل
)١( انظر وما ختص بقطع المتسلسلات الك ةالترتيب مقا كاذتور رمع احدملة. .طنحالا هذ ص0
8 ,1.17 ومن المهم ملاحظة أن الترتيبات الى شرحناها فى المثن شبيبة فىتكوينها بالأعداد الحقيقية
معتبرة كالقطع ( انظر ما سبق الباب الثالث والثلاثين ) . وكا رأيذ! هناك » هذا أيضاً وجود لوس عرضة
للمناقشة حين نصطنع ذظرية القطع ٠ على حين أنه فى أى نظرية أخرى نجد أن النظرية الوجودية لا تقبل
البرهنة وغير مقبولة
) ,0( .جز رمسطنائتعطعة) لمكطن مصفئة
١١/6
مختلفة عن /|. (ص 8) وهو العدد الأصلى الذى يأتى مباشرة بعد 1
(ص7") . ومعنى العدد الأصلى بعد ]. ينتج بوضوح من القضية الآنية ( ص8”)
وإذا كانت م أى مجموعة جيدة التعريف لقوة الفصل الثانى من الأعداد » وإذا
أخذت قطعة «ونءوم لامتناهية م من م» إذن إما أن المجموعة م2 تعتبر جرد
متسلسلة لامتناهية» وإما أن يقام تناظر فريد ومنعكس بين م » م »2 . وبعبارة
أخرى أ جزء من مجموعة من القوة الثانية فهو إما متناه » أو من القوة الأول » أو
من القوة الثانية » وإذن فلا قوة بين الأولى والثانية .
- قبل أن نشرع فى بحث جمع الترتيبيات وضربها » إلخ » يحسن أن
نجرد القضايا السابقة بقدر الإمكان من ثوبها الرياضى » وأن نصوغ بالضبط '
معناها فى لغة عادية . أما فما يختص بالرمز الترتيى .ى فهذا ببساطة اسم
لفصل العلاقات المولدة للمتواليات . وقد رأينا كيف تعرف المتوالية : فهى متسلسرة
ا حد أول » وحد يقع مباشرة بعد كل حد » وتخضع للاستنباط الرياضى .
لأننا بمكن أن نبين بالاستنباط الرياضى نفسه أن كل جزء من المتوالية إن كان لها
حد أخير فلها عدد ترتيى متناه ما دج حيث د تدل على فصل المتسلسلة المتكونة من
د من الحدود بترتيب معين . على حين أن كل جزء ليس له حد أخير فهو نفسه
متوالية . وكذلك نستطيع أن نبين ( مما هو واضح حقاً) أنه لا ترتبى متناه مثل
متوالية . ولكن المتاليات فصل معرف تماماً من المتسلسلات» ويبين مبدأ التجريد
وجود شىء نا لا جميعاً معه علاقة لاتقوم مع أى شىء آخر - لآن جميع
لمناليات متشابهة ترتيبياً ( أى ها علاقة واحد بواحد بحيث تيرابط الحدود المتقدمة
مع الحدود المتقدمة والحدود المتأخرة مع الحدود المتأخرة ) . والتشابه الأرتيى مماثل
متعد وهو بين المتسلسلات منعكس . هذا الشىء الذى يبينه مبدأ التجريد ؛
قد يؤخذ على أنه صنف أوفصل العلاقات المتسلسلة ما دامت أى متسلسلة لا يمكن
أن تنتمى إلى أكثر من صنف واحد من المتسلسلات . فالصئف الذى تنتمى إليه
المتواليات هو الذى يسميه كانتور ى . ولا بمكن للاستنباط الرياضى إذا بدأ من
أى ترتبى متناه أن يبلغ ى » ما دامت ى ليست عضواً فى فصل البرتيبيات
لمتناهية. حقاً قد نعسرفالترتيبيات أوالأصليات المتناهية و إذا كنا بصدد المتسلسات
64
فيدو أن هذا أفضل تعريق ات بأنها تلك الى إذا بدأت من + أو 1 فيمكن أن
نبلغها بالاستنباط الرياضى . هذا المبدأ لا ينبغى من أجل ذلك أن يؤخذ على أنه
بديبية أو مسلمة بل على أنه تعريف التناهى ع4دهنمة ويحب ملاحظة أنه بمقتضى
هذا المبدأ القائل بأن كل عدد فله تال مباشر » يمكننا إثبات أن أى عدد معلوم »
وليكن /48, 1٠١ فهو عدد متناه بشرط أن يكون العدد المعلوم هو طبعاً عدد
متناه . بعبارة أخرى كل قضية لها صلة بالعدد ٠١,981 فيمكن إثباها دون
استخدام الاستنباط الر ياضى الذى 15 لكر ممظيةا )يكن لود كر الحساب
الذى استخدمناه ى طفولتنا . ليس ثمة إذن أى خطأ منطى : ىُْ استخدام المبدأ
كتعر يف لفصل الأعداد المتناهية » 5ل نشد أى ينب الافرامن أن المبدا
ينطبق على ١ جميع ) الأعداد الترتيية أو على ١ جميع ) الأعداد الأصلية .
وإذ' قد بلغنا هذه النقطة من الحديث فلعل كلمة نوجهها للفلاسفة تكون
مناسبة للمقام . فعظمهم فها يبدو يفترضون أن القييز بين المتناهى واللامتناهى
من المعانى الواضحة مباشرة » ويفكرون فى الموضوع 5 لو أنهم كانوا فى غير
حاجة إلى تعاريف دقيقة . ولكن الواقع يدل على أن 00 واللامتناهى
ليس بأى شكل يسيراً » ولم يكشف عنه الستار إلا بواسطة الرياضيين المحدثين .
فالعددان ١ ٠ ٠ مخضعان للتعريف المنطى »ويمكن أن تين ن منطقياً أنكل عدد فله
تال » عندئذ نستطيع أن نعوف الأعداد المتناهية إما ببذه الحقيقة من أن
الاستنباط الرياضى يمكن أن يبلغها بادئة من أ ات أو بلقة ويد كيلك آنا
تكوان سلسلة الصفر أو الواحد - أو بهذه الحقيقة من أمها أعداد مجموعات ليس
لأى جزء صعيح مها نفس العدد كالكل . ومن السبل أن نبين أن هذين الشرطين
متكافئان » ولكنهما وحدها هما اللذان بميزان بالدقة المتناهى واللامتناهى » وأى
مناقشة للامباية تغفلهما فلا بد أن تكون مهافتة .
م#و؟ أما بالنسبة لأعداد الفصل الثانى غير ى » فيمكن أن نبدى الملاحظة
الآنية . المجموعة المكونة من حدين أو أكثر فهى دائماً محال لأكثر من علاقة
متسلسلة واحدة » 1 إلذيا لفقل باس لبسو اخيوقات اللامبائية الكبيرة جداً .
فالناس يمكن أن يرتبوا بحسب منازهم أو أعمارهم أو ثرواتهم أو حروفهم الأبحدية :
ل
وجميع هذه العلاقات بين الناس تولد متسلسلات كل مها يضع اللقرية ل تمه
مختلف . ولكن حين تكون المجموعة متناهية » فإن جميع اللراتيب الممكنة تعطى
عدداً ترتيبياً واحداً بعينه » هو ذلك الذى يناظر العدد الأصلى المجموعة . بعبارة
أخرى جميع المتسلسلات التى يمكن أن تتكون من عدد معين متناه منالدود فهى
متشاببة ترتيبيا . أما بالنسبة للمتسلسلات اللامتناهية فالأمر مختلف تماماً . فا مجموعة
اللامتناهية من الحدود الى ها القدرة على تراتيب مختلفة قد تنتمى بتراتيبها امحتلفة
لأصناف مختلفة تماماً . وقد رأينا من قبل أن المنطقات تكون فى ترتيب معين
متسلسلة ملتحمة لاأول لها ولا آخر» وتكون فى ترتيب آخرمتوالية . فهذه متسلسلات
من أصناف مختلفة بالكلية » ويشمل هذا الإمكان جميع المتسلسلات اللامتناهية .
والصنف الترتيى لمتسلسلة لا يتغير بتبادل حدين متعاقبين . ولا يتغير تبعاً لذلك
بفضل الاستنباط الرياضى بأى عدد متناه من مثل هذه التبادلات . والمبدأ العام
هو أن صنف المتسلسلة لايتغير بما قد نسميه «بالتبديل») مول انتوم "أ أنه
إذا كانتىء علاقة متسلسلة بها ترتب حدودى » وكانت ع علاقة واحد بواحد ى
ميدانها وعكس ميدانها معاًء إذن ع وء ع علاقة متسلسلة من نفس الصنف
مثل ف>. وجميع العلاقات المتسلسلة البى حالما ى » والبى هى من نفس الصنف
مثل وء : فهى من الصورة المذكورة ع وء ع . ولكن الصنف مع إعادة ترتيبه
إعادة لا تقبل الرد إلى التباديل فإنه بوجه عام يتغير . خخذ مثلا الأعداد الطبيعية
أولا بترتييها الطبيعى » ثم بالترتيب الذى تقع فيه ١ أولا » ثم جميع الأعداد الأعلى
بتْرتييها الطبيعى » وآخخر كل شىء ١ + ففى الترتيب الأول تكون الأعداد الطبيعية
متوالية + وف الثانى تكوّن متوالية مع حد أخير . أما فى الصورة الثانية فلم يعد الاستنباط
الرياضى ينطبق » إذ هناك قضايا تصح على العدد ١ وعن كل عدد متناه تابع له ؛
ولكنها لا تصح على العدد ١ . والصورة الأول هى صنف أى متسلسلة أساسية من
النوع الذى بحثناه فى الباب الرابع والثلاثين . والصورة الثانية هى صنف أى متسلسلة
من مثل هده المتسلسلات مأخوذة مع نبايتها . وقد بين كانتور أن كل مجموعة
معدودة فيمكن أن تعطى ترتيباً يناظر أى عدد ترتبى معين من الفصل الثانى'').
(١ ) 0ط ,11 لطة84 وام
لجل
بناء على ذلك يمكن تعريف الفصل الثانى من الأعداد الترتيبية بأنه جميع أصناف
المتسلسلات المحكمة الترتيب البى يمكن أن يرتب فيها أى مجموعة واحدة معدودة
معلومة بواسطة علاقات مولدة مختلفة . ويعتمد إمكان مثل هذه الأصدف امحختلفة
على الخاصة الأساسية للمجموعات اللامتناهية من أن الحزء اللامتناهى نجموعة
لامتناهية يمكن دائما أن يوجد ويكون له ترابط واحد بواحد مع الكل . فإذا كانت
امجموعة الأصلية متسلسلة أصبح الحزء بمذا الترابط متسلسلة شبيهة ترتيبيا بالكل .
أما الحدود الباقية فإذا أضيفت بعد جميع حدود الحزء اللامتناهى فإنها تجعل الكل
عندئذ محتلفاً ترتيبيا عما كان عليه!).
ويمكن أن عائل بين نظرية الترتيبيات وبين نظرية الأصليات بما يأ :
يقال إن علاقتين شبيبتان هعاذا إذا كان هناك علاقة واحد بواحد ل ميداما مجال
واحدة منهما ( ىم ) وتكون بحيث أن العلاقة الأخرى هى ل ىه ل . فإذا كانتىء
علاقة محكمة الترتيب» أى علاقة تولد متسلسلة محكمة الترتيب» أمكن أن يعرف
فصل العلاقات الشبيه ب وء بأنه العدد الترتيى ( ىء . إذنْ الأعداد الترتيبية تنتج من
الشبه ومع :1 بين العلاقات كا تنتج الأصليات من التشابه بروذمهانمن5 بين الفصول .
4 - نستطيع الآن أن نفهم قواعد جمع الثربيبيات المتصاعدة وض ربا .
وكلا مليى الجمع والضرب يضعان لقانون الترتيب » ولكنهما لا يخضعان لقانون
التبادل . وقانون التوزيع "ديح بوجه عام ولكن فى صورة .
<د(|+ت) 2 | ددرت
حيث |+ نا ء:إأء)ب المض وب فما!'! . أها أن الجمع لا ضع لقانون
بت | ١ هى المضر وب فيها جمة «الخصة لاير
التبادل شن السبل تبين ذلك . خذ مثلا س + +1١ . ١ ه . فالأآولى تدل على
)١( الحدود الباقية إذا كان عددها متناهياً ذالغااب أنها لن تغير الصئف إذا أضيفت عند البداية»
أما إذا كانت لا متذاهية فإنها تغيره حتى عند البداية . ومنشرح هذا شرحاً أو بعد قايل .
١) ) .39 .م مععطع اما اهنا الاطءتهمج34 - هذا و | ل ب ستكون صنف التسلسلة الى
تتكون من جزأين هما جز من الصنف | مةبوع يزه من الصنف ب وستكون ج ا صنف المتسلسلة الى تتكون
من الصئف ١ من متسلسلة الصنف + . وهكذا فإن المتسلسلة المكونة من متواليتين فهى من الصنف نهك<ا؟
0010
يدل
متوالية متبوعة بحد مفرد» وهذا هو الصنف الذى تعرضهمتوالية مع نهايبهاء وهذهتختلفك
عن المتوالية البسيطة . وعلى ذلك .ى + ١ ترتيبيا خرلفة عون ١ آم لان فإ عذل
على متوالية مسبوقة بحد مفرد. وهذه أيضاً متوالية . وءلى ذلك ١ + س > ه » ولكن
١ + هلا تساوى س + 1١0١ . الواقع أنأعداد الفصل الثانى من نوعين(١ ) أعداد
اق ماخر 0 أعداد ليس ها أى سابق . فالأعداد من مثل س 2م <ا
ويس عرسم ...ل اع س5 .... س” .0.6 . فليس ا أى سابق مباشر .
وإذا أضيف أى عدد من هذه الأعداد إلى عدد متناه » لظهر نفس العدد المتصاعد
ولكن إذا جمع أى عدد متناه مع أى عدد من هذه الأعداد لحصلنا على عدد
جديد الأعداد اتى هى يفير سايق تفل متملسلات ليس ها طرف » أما انى
ها سابق فإنها تمثل متسلسلات لها طرف . ومن الواضح أن الحدود الّى تجمع فى أول
متسلسلة لا طرف لهاء فإنها ترك المتسلسلة بلا طرف » ولكن جمع متسلسلة
منبية وداه هنصمع؛ على متسلسلة لا أول لا ولا آخر » فإنها تنتج متسلسلة منبية»
وإذن صئف جديد من الترتيب . وبذلك ليس ثمة أى غموض حول هذه القواعد
من الجمع الى ! إنما تدل على صنف المتسلسلة الناجمة من تركبب متسلسلتين معلومتين'
ومن ثم من السبل الحصول على قواعد الطرح!") . فإذا كانت | أصغر من ب
كانت المعادلة ١ + س - بالا دائما حل واحد لا غيرق سمثله داب - | .
وهذا يعطينا صنف المتسلسلة الى لا بد من جمعها بعد الحصول على ب .
ولكن المعادلة س+ | - ب لن يكون لا أحياناً حل » وى بعض الأحيان الأخرى
عدد لامتناه من الحلول . فالمعادلة س + س > ى 1١+ ليس لا حل ألبئة :.
إذ لا عدد من الحدود يجمع فى أول متوالية سينتج متوالية مع حد أخير
الواقع فى المعادلة سء + 1ب إذا كانت | تمثل صتفاً لاطرف له »
يها ب تمثل صنفاً منتهياً بطرف » فن ن الواضح بما فيه الكفاية أن الحدود الى تجمع
)1 8 8 ,آلالكا معلممهة .طندكة
0 وو .م رععطعاي تع لول قاط تصصد834
س١
قبل | لن تنتج أبدأً صنفاً منبياً بطرف » ولا يمكن إذن البتة أن تنتج الصنف ب .
ومن جهة أخرى إذا اعتبرنا المعادلة . ا
سالط نه حاس ١+
وجدنا أنما تتحقق بالمعادلة س - م + 3 حيث 2 هو الصفر أو أى عدد
متناه . لأن 2 قبل ., الثانية ستلتحم معها لتكون ب ٠ وبذلك تكون ى + 2 + ه
- ى ؟ » وى هذه الحالة عندئذ سء يكون له عدد لامتناه من القم . ومع ذلك
فى جميع مثل هذه الأحوال قم سه الممكنة لها حد أصغر هو ضرب من القيمة
الرئيسية للفرق بين س ٠ | . وبذلك يكون الطرح على نوعين بحسب ما نبحث عن
عدد إذا جمع على | أعطى ب . أو عن عدد يجمع | عليه بحيث يعى ب . وى
الحالة الأولى يوجد دائماً حل وحيد » بشرط أن تكون | أصغر من س . وق الحالة
الثانية ربما لا يكون هناك حل » وربما كان هناك عدد لا نهاية له من الحلول .
6 يعرف ضرب الترتيبيات كالاتى١2: ليكن م » 2 متسلسلة من
الصنفين | » س . وبدلا من كل عنصر بم ى 2 » ضع متسلسلة مر, من الصنف |
وليكن ل المتسلسلة المنكونة من جميع حدود جميع متسلسلات مر مأخوذة بالترتيب
الآنى )١(: أى عنصرين فى ل منتميان لنفس اللمتسلسلة مرر فتحتفظ بالترتيب
' الذى كان لها فى م ؛ العنصران المنتميان لمتسلسلتين مختلفتين مر » مر فلهما
الرتيب الذى كان إ, » بم ق2 . إذن الصنف ل إنما يعتمد فقط على (. س»
ويعرف بأنه حاصل ضر بهما اب . حيث | هو المضروب » ب هو المضروب فيه .
ومن السبل أن نتبين أن حواصل الضرب لا تخضع دائماً لقانون التبادل . مثال
ذلك ؟ كاى هى صئف المتسلسلة الى تقدمها
ه اللو ؟ هل يول ده حوس 2..2.5.. هريما ون ؛ ا
وهذه متوالية . بحيث أن ” كا ى > ى . ولكن ىن ا 7 هى الصئف الذى
متواليه ٠. حم ص هى
١ ( 8 * ,آلا1ة ,معامممة3 .طادلة
لكل
وهذا تركيب من متواليتين لا من متوالية واحدة . ففى المتسلسلة الأولى لا يوجد
إلا حد واحد فقط ليس له سابق مباشر هو ه . وق المتسلساة الثانية يوجد حدان
١
. هماه دو
١ ١
وينبغى تمييز نوعين فى القسمة 15 فعلنا تى الطرح''". فإذا وجد ثلاثة
ترتيبيات و ؛: سا ء ح بحيث إن ب | ح فإن المعادلة ب كا | سء ليس فا حل
آخر سوق اس احاح + و فمكن عندئذ أن ندل على ح بقولنا 12"". ولكن المعادلة
ب ع اس | إذا قبلت الحل أصلا فربما كان لا عدة جذور إن لم يكن ها عدد
لانباية له من الحذور»ء أحدها مع ذلك يكون دائما الأصغر . وهذا الحذر الأصغر
ندل عليه بقولنا - .
وضرب الترتيبيات هى العملية البى بها تمثل متسلسلة متسلسلات على أمْها
متسلسلة مفردة: من حيث إننا نأخذ كل متسلسلة ككل مع الاحتفاظ بموضعها فى
متسلسلة المتسلسلات . ومن جهة أخرى القسمة هى العملية الى بها نجزىء متسلسلة
مفردة إلى متسلسلة متسلسلات دون أن نغير ترتيب حدودها . وطاتين العمليتين
بعض الأهمية فما يأتص بالأبعاد . والقسمة 5 هو واضح إنما تكون ممكنة بالنسبة
لبعض أصناف التسلسلات . أما تلك ابى لا تكون فيها ممكنة فقد تسمى أولية
مصنعم . ونظرية الأعداد الأولية شائقة ولكنليسمن الضر ورى أن نخوضق
ا
5 - كل عدد ديح منطق أو دالة أسية [ بى فهو عدد من الفصل الثلفى.
حبى حين تقع أمثال هذه الأعداد ى : ب" . إلخ'؟. ولكن لا ينبغى افراض:
أن جميع أصناف المتسلسلات المعدودة تقبل مثل هذه الصورة . مثال ذلك الصنف
م الذى يمثل المنطقات بيرتيب المقدار '*) فإنه عاجز بالكلية عن التعبير محدود بن
)0 .م4 .م بععطعائتع لون لداك تمسمكح
() غير كاقرر امطلاجه الزرق. “رالسية لفرت > كان أولا يدل “غلاب بآن
| 'المشروت فيه : ب المضروب » ولكنه اللآن أخذ بالترتيب المتقا بل . وقد بدلت الترتيب إلى المأخوذ به
الآن عند النقل عن مؤلفاته القدمة » ؤما عدا النصوص الحالية . |
زع) انظر مو .م بععطء مالعاو لذلداء تممداة8
(4:) انظر فا مختص بالدولة الأسية و5 ,الامللظة بمعاهمممة .طنوكا3
(ه) .18-8 88 5117 بمعاهصمة طنقاة
ل و ا ا
هذا
وكانتور لا يسمى مثل هذا الصنف ١ عدداً ) ترتيبيا » إذ يحتفظ باصطلاح ١ العدد
الترتيى » للمتسلسلة « المحكمة الترتيب » . أى الى نحيث يكون لما اللداصتان
الآنيتان137,
. يوجد ق المتسلسلة ف حد أول - ١
ات إذا كانت ماجزءا من ف وتوكانت: فت اضلة تمل حت واعيل أو اودر
تأق بعد جميع حدود ها : إذن هناك حد ن> من ف يتبع مباشرة ها : بحيث
لا يكون هناك أى حد من ف قبل ن> وبعد جميع حدود هآ .
ش وجميع الدوال الممكنة ( .ى وللترتيبيات المتناهية إنما تمثل فقط متسلسلات
محكمة العرتيب » باستثناء أصناف أخدرى مثل أصناف الماطققات » ولو أن العكس
لا يصح . فى كل متسلسلة محكمة الترتيب يوجد حد يأنى بعد أى حد معلوم »
باستثناء الحد الأخير إن وجد. وإذا كانت المتسلساة لامتناهية فإنما تشتمل دائماً
على أجزاء هى متواليات . والحد الذى يأ ما بعد متوالية فليس له سابق مباشر ؛
وصنف القطعة المكونة من سوابقها هى مما يسمى النوع الثانى . والحدود الأخرى
فلها سوابق مباشرة » وأصناف قطعها المكونة من سوابقها بقال إنها من النوع
الأول .
41 النظر ف المتسلسلات غير الحكمة الترتيب هام . ولو أن نتائجه أقل
صلة بالحساب من حالة التسلسلة المحكمة الترتيب . وعلى ذلك فالصنف ,, لا يعبر
عنه كدالة .ى ما دامت جميع دوال .ى تمثل متسلسلات لما حد أول ؛ بيها , ليس
له حد أول ؛ وجميع دوال .ى تمثل متسلسلاتكل حد فيها له تال مباشر» وليست
هذه هى الحال فى ,, . بل إن متسلسلة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر
فلا يمكن التعبير عنها بحدود .ى : ما دامت هذه المتسلسلة ليس للا بداية . ويعوف
كانتور لهذا الغرض الصئف المتسلسلل ..” _الذى قد يؤخذ على أنه « متراجعة »
(المرجع السابق بند ) وتعريف المتوالية كا رأينا ذو صلة بعلاقة ما واحد بواحدغريبة
)01 113 املد لطاة11 . ومكن أننضم بدل هذا التعريف التعريف الآق وهو
مكاقء له : تكون المتسللة محكة الترتيب إذا كان لكل فصل تحتويه المتسلسلة حد أول ( باستغناء
الفصل الصفرى طبعاً ) .
ل
عبتغداء وناج هى ى. ١! . فحين م وء متوالية تكون هذه المتوالية بالنسبة ى>
متراجعة بالنسبة (ىء» وصنفها باعتبا, ع ل ايه
فإن كل متسلسلة الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة فهى من الصنف ىه +
ومثل هذه المتسلسلة بمكن قسمتها حيما كانت إلى متواليتين متولدتين لازت
عكسية . ولكن بالنسبة لعلاقة واحدة فلا يمكن أن ترد المتسلسلة لأى تركيب من
تواليات . مثل هذه المتسلسلة تعرَّف تعريفاً تاماً بالطرق المذكورة فى الحزء الرابع
؟! يأتى : ف علاقة واحد بواحد غريبة» ومجال وء متطابق مع مجال ىه ؛ وعلاقة
الانفصال وهى « قوة ما موجبة متناهية ل »2 فهى متعدية ولا مهائلة ؛ وتكون المتسلسلة
من جميع الحدود البى لما هذه العلاقة أو عكسها مع حد معلوم مأخوذة” مع هذا
الحد المعلوم . وبذلك فإن فصل اللمتساسلات المناظر لأى صنف ترتيى متصاعد
بمكن دائماً أن يعرف بالطرق المذكورة فى اهزء الرابع . ولكن حيث لا يمكن التعبير
عن الصنف كدالة .ى أو .ى* أو هما معا» فسيكون من الضرورى عادة » إن
وجب أن نعرف صافنا تعريفاً تامنّاء إما أن ندخل صلة بعلاقة أخرى ما تكو نحدود
متسلسلتنا بالنسبة لما متوالية » وإما أن نخصص مساك متسالسلتنا بالنسبة لامهايات
وهكذا فإن صنف متسلسلة المنطقات لا يعرف بتخصيصه بأنه ملتحم» وليس له
أول أو آخر . وهذا التعريف ينطبق كذلك مثلا على ما يسميه كانتور » شبه
المتواصل ء أى المتواصل المنقطع عند طرفيه . ويجب أن نضيف إلى ذلك أن
المنطقات معدودة » أى أنها بالنسبة لعلاقة أخرى تكون متوالية . وإنى أشك فى
هذه الحالة إذا كان «سلك المنطقات بالنسبة لللهايات مما يمكن استخدامه فى |
التعريف . وأهر خصائصها فى هذا الصدد هى )١( أنها متكثفة فى ذاما ؛ » أى كل
حد مها فهو نهاية متواليات ومتراجعات معينة . ( 1) فى أى فيرة ففيها متوالية أو .
متراجعة ليس لا نباية . ولكن كلا هاتين الخاصتين تنتميان إلى متسلسلة الأعداده '
اللامنطقة » أى إلى المسلسلة الى نحصل عليها بحذف جميع المنطقات
من متسلسلة الأعداد الحقيقية » ومع ذلك فهذه المتساسلة ليست معدودة . وهكذا
يبدو أننا لا نستطيع, أن نعرف الصنف , الذى تنتمى إليه المنطقات بغبر إشارة
)١( العلاقة الغريبة علاقة ليست لأى حد مع نفسه . ويرجع وضم هذا الاصطلاح إلى بيرس
انظر لوا ام اعطتافه عمل عاتوم.! .نا وعطعولة بعلمعطءع؟
ظ
/ا5١1
إلى علاقتين مولدتين . والصنف ,, هو صنف المتسلسلة الملتحمة الى لا طرف
لها والى تكون حدودها بالصلة مع علاقة أخرى متوالية .
ونتبين بوضوح من الملاحظة الأخيرة أهمية ترابط المتسلسلات الذى بدأنا به
المناقشات فى الحزء الاهس . لأنه إنما بمكن فقط بواسطة الترابط أن يعرّف صئف
المنطقات وأن يعرف حيئئذ المتواصل . وإلى أن نبتدى إلى علاقة ما أخرى غير
تلك الى بها ينشأ ترتيب المقدار بين المنطقات . فلا يوجد شىء به تميز صئف
المنطقات من صنف اللامنطقات .
4 البحث ف الرتيبيات الى لا تقبل التعبير كدوال ى يبين بوضوح
أن الترتيبيات بوجه عام لا بد أن تعتبر 15 اقترحت فى بداية هذا الباب
كفصول أو أصناف لعلاقات متسلسلة . ومن الظاهر أن كانتور نفسهيتمسك الآن بهذه
الوجهة من النظر » إذ ف المقالةالى نشرها فى 261.171 .1701 معلهمصة عطعءةمسعط دلج
يتحدث علها دائماً كأصناف من الترتيب لا كأعداد » وف المقالة الى تليها
(2: 5 بآآ؟ ,معلددمة .طد]ح) يقصر بلانزاع الأعداد الترتيبية على المتسلسلاات
المحكمة الرتيب . وى كتاباته الأولى كان ينحاز أكثر إلى دوال . البى ها شبه
كثير بأنواع الأعداد الألوفة » فهذه فى الواقع أصناف من الترتيب يكن أن
تقدمها متسلسلات من الأصليات المتناهية والمتصاعدة الى تبدأ بعدد أصلى ما .
غير أن بعض الأصناف الأخرى من الترتيب لها ؟ا رأينا الآن شيا قليلا جددًا
بالأعداد 1
84- ويجدر بنا إعادة تعاريف الأفكار العامة الى نحن بصددها ى
صيغة ما يمكن تسميته ببحساب العلاقة١'2. إذا كانت ىء» كع علاقتين بحيث يكون
هناك علاقة واحد بواحد ل ميداما ىء بحيث أن ك > ل ىه ل؛ إذن فهءك يقال
إنهما « شبيهان » . وفصل العلاقات الشبيه ب ى.: والذى أدل عليه بالرمزرىء
يسمى عدد علاقة وء . فإذا لم يكن مجالى ى.. ع حدود مشتركة»؛ يعرفىء + كع
بأنه ىه أوك أو العلاقة الى تقوم بين أى حد من مال وء وأىحد من عمال
ك» ولا تقوم بين أى حدود أخرى. وهكذا فإن ىء + لك لا تساوى|ع + وه . وأيضاً
. 5١ انظر الحزء الرابع الباب الرابع والعشرين الفقرة )١(
3
ررىء + برع تعرف بأنها بر( ىء + ك ) . وللحصول على مجموع ونا تنه عدد لا
متناه من العلاقات تحتاج إلى علاقة غريبة الها مركب من علاقات مجالامها متباعدة
فها بينها. وليكن ىء مثل هذه العلاقة وليكن ىن مجالمها بحيث يكون ى, فصل علاقات.
إذن ج ى ىه تدل إما على علاقة منعلاقات الفصل ى, أو علاقة أى حد ينتعى
نجال علاقة ه! ى من الفصل ن مع حد ينتمى نال علاقة أخرى ع ( هن الفصل
ى) له مع ك العلاقة ى> . (إذا كانت ىء علاقة «تسلسلة . ق فصل علافات
متسلسلة » كانت ىو العلاقة المولدة لمجموع المتسلسلات المتعددة المتولدة من
حدود ق مأخوذة بالترتيب المتولد من ىء ) . وقد نعرف مجموع أعداد علاقة الحدود
المتعددة (ى, بأنه عدد علاقة جىىء . فإذا كانت جميع حدود قى ها نفس عدد
العلاقة » وليكن | » وكانت ب عدد علاقة ىء . فإن | كا ب تعرف بأنها عدد
علاقة جرى. . فإذا سرنا فى هذا الطريق كان من السهل إثبات بوجه عام الفوانين
الثلاثة الصورية الى تنطبق على المتسلسلات المحكمة الترتيب وهى :
([+تب)+حع|+رت+ح)
|(ن+ ح)-د-إبت رجح
(أامن) دارب ح)
والبراهين شديدة الشبه بما اكتشفه الأستاذ هوابتهيد خاصا بالأعداد الأصلية
ٌ 1< .املا .طندلة أه سول .عصسة) ولكها تختلف فى أن أحداً لم
يكتشف بعد طريقة لتعريف حاصل الضرب اللانهائى لأعداد العلاقة أو حبى
للأعداد البرتيبية .
٠ يتبغى ملاحظة أن مزية الطريقة السالفة هو أنها لا تفسح انجال
لأى شاك فى النظريات الوجودية وهى نقطة أغفلت مباحث كانتور فيها شيئاً
يحتاج إلى إيضاح. ولا كان هذا الأمر على جانب كبير من الأهمية ويقف فيه
الفلاسفة مقف الشك . سأعيد ههنا الحجة مرة أخرى بوجه عام . ولنبدأ بقولنا
إنه هن الممكن بيان أنه لا فصل متناه يحيط يجميع الحدود : وينتج ذلك بقليل
من الالتفات عن هذه الحقيقة وهى أنه ما دام ٠ عدداً أصلياء فعدد الأعداد منه
إلى د عا فيه د هرد + ١ . ثم إذا كان د عدداً متناهياء كان و + ١ عدداً
ش 4
جديدا «تناهياً مبايناً الحميع سوابقه . و بذلك تكون الأصليات المتناهية متوالية »
وحينئذ بوجد العدد الترتيى ., والعدد الأصلى ١ ( بالمعبى الرياضى ) . وعندئذ
نحصل ؟جرد إعادة ترتيب متسلسلة الأصليات المتناهية على جميع البرتيبيات
من الفصل الثانى لكانتور . ويمكن الآن تعريف العدد الرتبيى , بأنه فصل
العلاقات المتسلسلة بحيث إذا كان ى فصلا يحتويه مجال أحد تلك الفصول ٠ فالقول
بأن ى له توال يستلزم القول ويلزم عن القول بأن ى له | هن الحدود أو عدد
متناه من الحدود . ومن السمبل بيان أن متسلسلة الترتيبيات من الفصلين الأول والثانى
بترتيب المقدار هى من هذا الصنف. وبناء على ذلك يقوم البرهان على وجود و , ؛
ويعرف |, بأنه عدد الحدود فى متسلسلة علاقتها المولدة من الصنف ب . ومن ثم
نستطيع أن نتقدم نحوه, ا بل إلى ى » | » ووجودهما يمكن البرهنة عليه
بالملل : بأن ى. هو صنف العلاقة المولدة لمتسلسلة بحيث إذا كان ى فصلا
تحتويه المتسلسلة فالقول بأن ى له توال .وروووعء عن يكاق القول بأن ى متناه
أو له وله من الحدود بفرض قيمة مناسبة متناهية ( /4. وهذه العملية تعطينا ترابط
واحد بواحد بين الترتيبياتوالأصليات . ومن الواضح أننا ببسط العملية نستطيع أن
نجعل كل عدد أصلى يمكن أن ينتمى لمتسلسلة محكمة الترتيب يناظر عدداً ترتيبياً
واحداً غير . ويفترض كانتور كبديبية أذكل فصل فهو محال متسلسلة ما محكمة
الرتيب ٠ ويستلئج أن ( جميع ) الأصايات يمكن أن ترتبط باليرتيبيات بالطر يقة
المذكورة . وياوح لى أن هذا الافتراض لا أساس له و بخاصة بالنسبة لهذه الحقيقة
وهى أن أحداً لم ينجح بعد فى ترتيب فصل الحدود 15 فى متسلسلة محكمة
الترتيب . ولسنا نعرف أنه إذا عام أىعددين أصليين مختافين فلا بد أن يكون أحدهما
الأكبر» وربمالم يكن ؟١, أكير ولا أصغر من |, 4 |. وتواليهما وهى الى يمكن
أن تسمى أصليات محكمة الترتيب ٠ لآأنها تنطبق على فصول محكمة الرتيب .
"٠١ وئمة صعوبة بالنسبة لصنف كافة متسلسلة الأعداد الترتيبية فن السبل
إثبات أن كل قطعة من هذه المتسلسلة محكمة التْرتيب ؛: ومن الطبيعى افتراض أن
السللة كلها كط الترتيت أيفا ..فإذا عاق الأهر كذلاك" يحب" أن يكون
صنفها أكبر جميع الأعداد الترتيبية » لأن الترتيبيات الأصغر من ترتيى معلوم
تكون بترتيب المقدار متسلسلة صنفها هو العرتيى المعلوم . ولكن لا يمكن أن يكون
هناك عدد ترتيى هو الأكبر لأن كل عدد ترتيى يزيد بإضافة ١ . وقد استدل
غ04
بورانى فور من هذا التناقض الذى اكتشفه”'' على أن عددين ترتيبيين» وما هى
الحال فى عددين أصليين» إذا كانا مختلفين فليس من الضرورى أن يكون أحدهما
الأكبر والآخر الأصغر . وهو فى هذه المسألة يعارض عن وعى إحدى نظريات
كانتور الى تثبت العكس '' . وقد فحصت هذه النظرية بغاية ما أمكتى من
العناية فعجزت عن تبين أى خلال ف البرهان''! وف برهان بورالى فو رق مقدمةأخرى
يلوح لى أنها أدعى للإنكار » وهى أن متسلسلة جميع الأعداد الرتيبية محكمة
اللرتيب » فهذا لا يلزم عن القول بأن جميع قطعها محكمة الترتيب . ولا بد فى
رألى أن ترفض ما دامت فها أعلم قاصرة عن البرهنة . و بهذا السبيل يلوح أن
التناقض اذ كور يكن تجنبه .
- نستطيع الآن أن نرجع إلى موضوع المشتقات المتتالية لمتسلسلة
ما قد ناقشناه فى إيحاز فى الباب السادس «الثلاثين . ويكون هذا الموضوع أحد
التطبيقات الشديدة الطرافة لتلك البرتيبيات الى هى دوال ى : بل ريبما يستخدم
كطريقة مستقلة لتعريفها . وقد رأينا من قبل كيف نحصل على أول مشتقة من
متسلسلةىء!؟' . فأول مشتقة من وء والذى نعطيه الرمز ى” هو فصلل نقطها
الهائية . ويتكون وى وهو المشتقة الثانية من وى من النقط الهائية لاو »
وهكذا . ولكل مجموعة لا متناهية نقطة نباية واحدة على الأقل : مثال ذلك س
هو نهاية الترتيبياتالمتناهية . و بمكن أن نعرف بالاستنباط أى مشتقة من الترتييب
المتناهى ! ى.له . إذا كان و.له متكوناً من عدد متناه من النقط . فإن و,سمدا
يتلاثى . وإذا حدث ذلك لأى عدد متناه رم » قيل إن ىه من اللحنس الأول ومن
النوع النول . ولكن قل يحصل ألا يتلاثى ودس وق هذه احالة ريما يكون لجميع |
(١ ) ذل معتاقصع نط مامعمك اعل تتسمعتلصء 2 *'رتاتم أ أكصةم) أععصنيام تند تممنلاقع 00 همل *
. (جو18) 1 .آولا ,مممعلوط
(؟) النظرية 7 ف الفمّرة ١+ من مقالة كانتور ومجلة ,ابل ,اقلا ردعاهعمة ,رطنوك2
(*) لقد أعدت البرهان فى صورة رمزية حيث يمكن الكشف بسهولة عن الأخطاء فى يجلة
5.7 لمع ,1آآلا .أو/ا ,34 82-04
:)2 الكلام.مذ كور فيما بعدمقتبس من.360 - 341 .2م ,1؟ لطنها8 هاعلت , و.أفترض لات بسيط
أن كلنجايات قابلة للتعريف فهىموجودة؛ أى يكون للمتسلسلة ماي ة كلما كان للقطعالمناظرة نهاية . وقد
دينت فى الباب السادس والثلاثين كيف تقرر الندائج ميث تتجنب هذا الاثترافى » ولكن الإطناب
الضرورى ذلك مل 8
١
المشتقات المتناهية نقط مشتركة. والنقط التى ها جميعاً باشتراك تكون مجموعة تعوف
بأنها ى* . وينبغى ملاحظة أن ى” تعرّف علىهذا النحو دون حاحة إلى تعريف س.
وينتمى الحد س إلى ى* إذا كان س. منتمياً ( وله بفرض أن بر أى عدد صميح
متناه . و ينبغى ملاحظة أنه مع أن و قد تشتمل على نقط لا تنتمى [ ىه » إلا أن
المشتقات التابعة لا تدخل نقطاً جديدة . وهذا يوضح الطبيعة الحالقة
لطريقة الهايات أو بالأحرى القطع » وهى حين تطبق أولا ربما أنتجت
حدوداً جديدة » ولكن التطبيقات المتأخرة لا تعطى حدوداً أخرى . ومععى ذلك
أن هناك فرق ذاتينًا بين متسلسلة حصلنا عليها أو ريما كنا قد حصلنا عليها
كشتقة من متسلسلة ما أخرى» وبين متسلسلة لم نحصل عليها هذه الطريقة . وكل
متسلسلة تحتوى أول مشتقة ها فهى نفسها مشتقة من عدد لا متناه من
والمشتقات المتتالية كالقطع المحددة بواسطة ال حدود المتعددة . ١١ متسلسلات أخرى
مراجعة » تكن متسلسلة كل حد فيها جزء هن كل سابق من سابقاتها . وعلى ذلك
ى” إن' وجدت هى اللهاية الدنيا لحميع مشتقات الترتيب المتناهى . ومن السبل أن
نصعد من وء إلى ى5 أمء ى”'' : إلخ. ويمكن تركيب متسلسلات بالفعل أول
. ما يتلاشى فيها هو أى مشتقة معينة: متناهية كانت أو متصاعدة من الفصل الثانى
. فإذا لم تتلاش أى مشتقة من المشتقات المتناهية يقال إن" ىه من الحنس الثانى
ومع ذلك لا شبغى أن نستنتج من ذلك أن ىء غير معدودة » بالعكس أول مشتقة
من المنطقات هو المتواصل العددى تنص جدمء-ء لام وهو يسيب أنه كامل
فإن جميع مشتقاته متطابقة مع نفسهها. ومع ذلك فالمنطقات 15 تعرف معدودة » ولكن
. حين نتلاشى و.له تكون وء دائماً معدودة إذا كانت له متناهية أو من الفصلالثانى
نظرية المشتقات عظيمة الأهمية بالنسبة لنظرية الدوال الحقيقية!"'» حيث
) 3( 8 4 ,نت 5 11[ عموط ,ند علولا يعدو تتمصسغط ه84 عل ععنة امهم
)١ 0 انظر .2و18 ,مندماء.1 بمعصمتإعصدظ ععل عتممعط1 رتصلط . وعغخاصة الباب الثالث عشر
ومقدمة ال منرجم ٠
ف
تمكننا عملينًا من تطبيق الاستنباط الرياضى على أى ترتيى من الفصل الثانى .
ولكنها بالنسبة للفلسفة يلوح أنه ليس من الضرورى أن نبسط القول أكثر مما
ذكرناه فى الملاحظات السابقة وق الباب السادس والثلاثين . ويمكن القول بلغة
دارجة إن أول مشتقة نتكون من جميع النقط يتراكم فى جوارها عدد لامتناه من حدود
المجموعة . وهكذا من السهل أن نتبين لم كانت المشتقات ها بالمتواصل مدخخل :
فالمجموعة لكى نكون متصلة لا بد أن تكون مركزة ما أمكن فى كل جوار يحتوى أى
حدود من امجموعة . ولكن مثل هذه الضروب الدارجة من التعبير تقصر عن الدقة
الموجودة 2 اصطلاحات كانتور :
الباب التاسع والثلاثون
الحساب اللانهائى الصغر
م.م الحساب اللانمائى الصغر هو الاسم التقليدى لحساب التفاضل
والتكامل معأ » ومن حيث هو كذلك فقد احتفظت به » على الرغي مما سيتبين لنا
بعد قليل أنه لا توجد أى إشارة إلى اللانهائى الصغر » أو أى لزوم عنه فى أى جزء
من هذا الفرع من الرياضيات . أحيطت النظرية الفلسفية الحساب التحليى منذ
اختراع هذا الموضوع بظروف تكاد تكون مشينة بعض الثىء . فهذا ليبنتز
نفسه ومن المفروض أنه كان يجب أن يكون أكفأ من يعطى رأ صميحاً عن
اختراعه كانت له أفكار عن هذا الموضوع لا يمكن أن توصف إلا بأنها فجة
إلى أقصى حد . ويلوح أنه ذهب إلى أننا إذا اطرحنا جانبا دقائق الميتافيزيقا »
فإنما يكون الحساب التحليل تقر يبنا فقط . ولكنه يبرر من الناحية العملية بأن
الأخطاء الى تنشأ عنه أقل من أخطاء الملاحظة''' . وعند ما كان يفكر ىق
الديناميكا عاقه اعتقاده فى اللانبائى الصغر بالفعل من اكتشاف أن الحساب
التحليل يعتمد على مذهب البهايات : وجعله لا يعتبر وس ؛ و صء كأنهما
صفر » أو متناهيان » أو عام رياضية » بل على أنهما مثلان الوحدات
الى كان من المفر وض فى فلسفته أن تؤدى إليها القسمة اللامتناهية 1 ف غرضه
الرياضى الموضوع تجنب إعطاء براهين دقيقة مكتفياً بسرد رد الواعدا؟! . اه
ينكر فى أوقات أخرى اللانبائيات الصغر أن تكون صعيحة فلسفيًا!؟) ولكنه فشل
فى بيان كيف تكون النتائج الحاصلة بواسطة الحساب التحليل مضبوطة لا تقريبية
(١ ) بولعه0؟! , لتطه وو نواعم م1 ,117 لع و المقطمع0 ,مامه 1] لهع ا أقصسعط 812
2 .م ,11 .لع و*المقطت)
0 ,( دوه ,247 ,295 .مم ,171 اله واالمقط © رععلده1آ .طافكة
(») 8.6 مده .وم ,لا أولا عله والمقطة) ,وعاعه11 .طنداة
40 انظر مثلا و30 .م ,11 .4ه ؟“المقطت © ,وئلنه1؟ .اطاط وانظر «صامرى ”املاط رمع تعد
2206-7 .مم (1902 رمعساطعوك84)
١
1
بدون استخدام اللانهائيات الصغر . ونيوتن فى هذا الصدد أفضل من ليبنتر',
لأن مأخوذاتهء تعطى الأساس الصحيح ؟ للحساب التحليل ى مذهب
اللهايات » وبفرض اتصال المكان والزمان بالمعبى الكانتورى ٠ فإنها تعطى أدلة
صحيحة على قواعدها بمقدار ما يتصل بالمقادير الزمكانية . غير أن نين كان
بطبيعة الخال جاهلا تماماً بهذه الحقيقة وهى أن مأخوذاته تعتمد على النظرية الحديثة
للاتصال . وفضلا عن ذلك فإن الرجوع إلى الزمان والتغير وهو الذى يظهر ى
لفظة الفرق «منسم » وإل المكان الذى يظهر فى اللمأخوذات . كان
غير ضرورى بالكلية . وإنما أفاد فقط فى إخفاء الواقم من أنه لا
تعريف للاتصال كان قد أعطى. ويبدو من المشكوك فيه جداً أن ليبنتز
تجنب هذا الخطأء وعلى كل حال من المؤكد أنه فيا نشره لأول مرة عن
الات لتحيل .عوك تنامل التقافل ببراسظة ماس المح "ركان تا كيذه
جانب اللانهائى الصغر سبباً فى إساءة توجيه النظر إلى الحساب التحليلى مما أدى إلى
تضليل جميع الرياضيين قبل فبرشيراس ( وربما باستثناء ديمورجان) وجمتع
الفلاسفة إلى وقتنا الحاضر . للم يتسن للرياضيين إلا منذ ثلاثين أو أربعين
عاماً أن يضعوا الأسس اللازمة لفلسفة الحساب التحليل . وهذه الأسس ليست كما
هو الطبيعى معروفة إلا قليلا بين الفلاسفة وفما عدا الفرنسيين١" . أما المؤلفات
الفلسفية عن ا موضوع مثل كتاب علمطاعمر له زوع تصكظم1 ععل مأعسصلط معطم
عاطعنطء0 عصلءه مدن 2١ فهى مشوبة فما يختص بالنظرية الركيبية بضرب
من الغموض الموروث عن كانط » والذى يؤدى إلى نتائج كالتطابق بين مفهوم
المقدار وبين ما صدقات اللانماى الصغر ؟". وسأفحص ف الباب المقبل مفهوم
اللانهائى الصغر مما يعد ضروه يا الجميع النظريات الفلسفية المنشورة حتى الآن
عن الحساب التحليل . أما الذى يعنيى الآن فهو تقديم النظرية التركيبية بحسب
استنتاجهامن الرياضيات الحديثة .
0( 1 سملاع5 ,1 اعوط بمتماعمت»
0 1 ( انظر متؤقدم ,عناب همعط اوك8 تمكمط'! ؟2 باوسفيه6
(؟) .1883 ,صتلعظ وينبفى ان نقول إن الحانب التاريخى فى مؤلفه رائع ,
(4) المرجم السابق ص ١٠١ .
١
4" بعتمد معامل التفاضل أساساً على فكرة دالة متصلة لمتغير متصل .
وإذا أردنا تعريف هذه الفكرة وجدنا ألما ليست ترتيبية بحتة ؛ بالعكس إنها تنطبق
أولا على متسلسلة الأعداد فقط ثم بعد ذلك تبسط لتشمل المتسلسلات الى
فيها المسافات أو الامتدادات قابلة القياس عدديئًا . ولكن علينا قبل كل شثى
نعراف الدالة المتصلة .
رأينا من قبل ( الباب الثانى والثلائين ) ما المقصود بدالة المتغير » وما المقصود
بالمتغير المتصل ( الباب السادس «الثلائين) . إذا كانت الدالة أحادية القيمة »
وكانت مرتبة فقط بالترابط مع المتغير فعندئذ لا معنى للسؤال عن الدالة أهى متصلة
حين يكون المتغير منصلا » لأن مثل هذه المتسلسلة الموجودة بالترابط تكون داماً
متشابهة ترتيبينًا بنموذجها الأصلى . أما حين يكون للدالة ترتيب مستقل
عن الترايط » كما هو الخال عند ما يكون كلا المتغير ومجال الدالة فصلين من
الأعداد » فربما يحدث وربما لا يحدث أن نكون قم الدالة بالمرتيب الحاصل عن
الترابط متسلسلة متصلة بالتَرتيب المستقل . فإذا فعلت قم الدالة ذلك فى أى فترة
قيل إن الدالة «تصلة فى تلك الفيرة . ويعطى ديى :مذ 2 تعريفين دقيقين
للدالتين المتصلة والمنفصلة حيث يكون كلا سء . د (س) عدديتين با يأنى :
المتغير المستقل سه يعتبر مكواناً من الأعداد الحقيقية » أوموجيع ادعداد
الحقيقية فى فترة معينة . وبذلك د (سه) فى الفترة المعينة تكون أحادية القيمة
حتى فى نقط أطراف الفترة » وتكون أيضاً مركبة من أعداد حقيقية . وعندئد
نحصل على التعريفين الآنيين من حيث أن الدالة تعرف للفترة بين | » م حيث
| عدد حقيى ما فى هذه الفيرة .
ونسمى د (س) ١ متصلة » للقيمة س - 1 . » أو ف النقطة | الى يكون
لها القيمة د )١( » إذا وجد لكل عدد موجب ى مختلف عن ٠ ولكنه يبلغ من
الصغر ما شئنا » عدد موجب مختلف عن ٠ ٠ بحيث يكون الفرق د (1 + 8)-
د (]) أصغر علدياً من ى ١ لجميع قم والأصغر علددياً من م. بعيارة
أخرى د ( سه ) تكون متصلة عند النقطة س. > | حيث يكون لها القيمة د )1١( إذا
بسيو ع سس ب سس سمب عمط ...ل ل
لايس سروه لق م ع ص 6٠ ءاه
7
كانت تهاية قيمها عن بمين | هى ذالها نباية قيمها عن شمال | وكان كل منهما
يساوى د (2)1).
د( س) تسمى « منفصلة ) لقيمة س - !| إذا ل يوجد لأى''! قيمة موجبة
!م قيمة مناظرة موجبة 1ع » بحيث أنه لجميع قيم و الأععر ددرا من م
د(1 + 3) - د( |) يكون دائماً أصغر من . . بعبارة أخرى د ( سه ) تكون
منفصلة لقيمة سه - | عند ما تكون قم د (] + هر ) للدالة د ( س ) على يمين | »
وقم د (1 هر ) للدالة د ( سه ) على شمال ؛ . ليس لكل منْهما نمهاية محدودة »
أو إذا كان لهما مثل هذه الباية فهما مختلفان على جانى ! ؛ أو إذا كانا نفس"
الباية اختلفا عن قيمة د ( )١ الى تكون للدالة فى النقطة | » .
هذان 0 يفان لاتصال الدالة وانفصاها لا بد من الاعتراف أنهما معقدان'
ء. ولكن يبدو من المستحيل إدخال أى تبسيط دون التضحية بالدقة ٠
كك و ود ور
اريك ابن لومي قي اال دكن قرو يتاغا اقم عل اليين
والشمال على السواء . ولكن فكرة نباية الدالة فكرة أكثر تعقيداً من فكرة الباية
بوجه عام » وهى تلك الفكرة الى كانت غمل يثنا حبى الآن . والدالة إذا كانت
من نوع عام تماماً » فان يكون ا نهاية كاما اقتربت هن نقطة معينة . ولكى
يكون لها نهاية » كلما اقتربت سه من ! من الشهال + فيجب وبكى أنه إذا ذكر
أى عدد ع » فأى قيمتين د (س) عند ما تكون س قريبة بما يكنى عن |
ولكنها أصغر من | فالفرق بيئْهما أصغر من ع . وبلغة دارجة قيمة الدالة لا
تحدث طفرات فجائية كلما اقر بت س من | هن الشهال . وتحت ظروف
مشاببة د ( س) تكون لا نباية كلما اقربت من | من الهين . ولكن هائين
الهايتين حبى إذا وجدا كلاهها فليس من الضرورى أن يكونا متساويتين فها
بيهما » ولا مع د () وهى قيمة الدالة عند ما تكون سء - .١ ويمكن بذلك
وضع الشرط الدقيق للهاية المتناهية الدودة "١
)1 الأآلمان زلا الإيطائوون ) يضعون «كل ولمع بدلا من « أى لاضة . ولكن هذه غلطة قل 5
(؟) ذساط - المرحع السابق ص مم .
ظ
ا
ا
1
«لكى يكون لقم صء على يمين أو شهال عدد متناه | ( وليكن على الهين )
نهاية متناهية محدودة يحب ويكنى أن يكون لكل عدد صغير موجب م
اخيرناه حسب ما نشاء عدد موجب ع بحيث أن الفرق صوربع - صاوبة
بين قيمة صء بم اص للقيمة سه > وب وبين قيمة صء ببو الى البى تناظر
قيمة ,بج لقيمة سه . يحب أن يكون أصغر عددياً من . لكل وأكبر من ٠
وأصغر من »2 .
ويجوز بدلا من تعريف ماية الدالة ذلك التعريف ثم الشروع بعد ذلك فى
مناقشة أمر وجودها » أن نعرف بوجه عام فصلا بأسره من اللهايات''2. وفى هذه
الطريقة ينتمى العدد م[ لفصل مايات صء لقيمة سء > إ ؛ إذا كانت ص, أقرب
إلى مل من أى فرق معلوم . وذلكداخل نطاق أى فترة تحتوى | مهما تكن صغيرة .
مثال ذلك أن جا ىى كلما اقتربت سه من الصفر ستأخذ جميع القم من - ١
إلى + ١ ( با فيها ١ء + )١ فى كل فترة متناهية تحتوى الصفر مهما تكن
صغيرة . وهكذا فإن الفرة من ١ إلى + ١ تكون فى هذه الحالة فصل النبايات
لقيمة س > ٠ وفذه الطريقة «زية أن فصل الهايات يكون موجوداً أبداً . وعندئذ
يسبل تعريف ١ الهاية » بأنها العضو الوحيد فى فصل البايات فى حالة ما إذا
كان هذا الفصل ليس له إلا عضو واحد فقط . ويلوح على الفور أن هذه الطريقة
.م وحيث قد اتفقنا على مععى الدالة المتصلة ونهاية الدالة فقد نستطيع
الحوض فى «سألة مشتقة الدالة أو المعامل التفاضلى . كان من المفروض سابقاً أن
جميع الدوال المتصلة يمكن أن تفاضل ولكن اتضح الآن أن ذلك الرأى باطل .
لأن بعضها يمكن أن تفاضل فى كل موضع » وبعضها الآخر فى كل موضع إلا
فى نقطة واحدة . وأخرى تفاضل فى كل موضع على الهين ولكن فى بعض الأحيان
لا تفاضل على الشمال . والبعض تحتوى عدداً لامتناهياً من النقط فى أى فترة
متناهية لا بمكنها فيها أن تفاضل مع أن عدداً أكبر لا متناهياً من النقط يمكن فيها
أن تفاضل» والبعض أخيراً وهذه فى الحقيقة هى أعم فصل- لا يمكن أن تفاضل
(١ ) انظر ع.ا,نج 8 اللااعة .تماسمه! رود 77-١ .مم 15 بهتلم ساملا أل ماسر ,مصدعط
0000
06
فى أى موضع ألبتة 2١١ . ولكن الشروط الى فيها بمكن أن تفاضل الدالة مع أنما
على بعض الأهمية لفلسفة المكان والزمان إلا أنها لا تتطلب مناههنا كبير عناية .
وعلى كل حال لا بد لنا أولا أن نعرف ما التفاضل .
إذا كانت د ( س) دالة متناهية ومتصلة فى النقطة س . عندئذ قد يحدث
أن يكو الكسر .
مويو جح وعم
8
زه ممارة معيذة كلما اقرب ون الصفر 8 فإذا حدث ذلك رمزنا للمهاية
بالرمز د (س)»؛ وتقال إمها المشتقة أو تفاضل د (س) ف النقطة س . أى إذا
وجد عدد ما م[ بحيث إنه إذا علم أىعدد ع مهما صغرء وكان و أى عدد أصغر
د (س 81
للد
ولكنه موجب 6 إدن عد 2
002-04 يلف عن مل بأقل من , »
وإذن مل هى مشيقة د (س) فى النقطة س . وإذا لم توجد الهاية المذكورة »
عندئذ د ( س) ليس لا مشتقة عند النقطة سء . فإذا لم تكن د ( سه ) متصلة عند
هذه النقطة ؛ فالباية لا توجد » وإذا كانت د ( س ) متصلة فربما وجدت الهاي
وربالم توجد .
.م - النقطة الوحيدة الحديرة بالملاحظة فى الوقت الحاضر هى أن هذا
التعريف لا يلزم عنه اللانهانى الصغر . فالعدد و دائماً متناه » وليس ى تعر يف
درس 17ق)- درس)
الهاية ما يلزم عنه العكس . الواقع 1 معتراً كدالة 8
فهر غير معين بالكلية عند ج > ٠ ونهاية الدالة لقيمة معلومة للمتغير المستقل هى
؟ا رأينا فكرة مختلفة تماه؟ عن قيمّه! للقيمة المذكورة للمتغير المستقل » والاثثنان
رما كانتا نفس العدد ورا لم تكرنا . وى الحالة الراهنة قد تككون الْهاية معينة »»
ولكن قيمها عند و ٠- إن يكون ها معنى . وعلى ذلك فإن مذهب المايات هو
الذى يقوم فى أساس الحساب التحايى لا أى استخدام مزعوم للانهالى الصغر .
وهذه هى النقطة الوحيدة ذات الأهمية الفلسفية فى الموضوع الراهن » وم أستدرج
القارنىء إلى هذا القدر الكبير من الرياضة إلا لتوضيح هذه النقطة .
)010 | نظرنمع م طءعدءددا/اآ طند5ظ5 ععل عتلممماء بعصا 11 ,71 ,2 ومعاممط0 .كه .مه رتصاط
2 لوه مم .صرق (وو18 رمتتمء.]) لل11 ,11 لموظ
4
”٠/ - قبل بحث اللانهانى الصغر لذاته يبى عليا أذ نعرف التكامل المعين »
وأن أبين أن هذا أيضاً لا يتطلب اللانهائى الصغر . أما التكامل غير المعين الذى هو
عرو كان انا ماه فليس بذى أهمية عندناء ولكن التكامل ال معين فله تعريف
مستقل لا بد أن نفحصه بإيهاز » فتقول :
كا أن مشتقة الدالة هو نباية كسر » كذلك التكامل المعين فهو مباية
مجموع .١١ ويمكن تعريف التكامل ا معين بما يأتى : اتكن د ( س ) دالة أحادية
القيمة » ومتناهية فى الفئرة من ! إلى ب ( وكلاهما وداخلان) . اقسمهذه الفيرة إلى
أىيم من الأجزاء بواسطة ( ىم )١ من النقط سى, ع سار» 22
وارمز بقولك 5, 0 تت عن الشرات الى عددها بم وهى »سه (»
سس لعي د مي عدترارير: ٠ ١ وق كل فيرة من هذه الفنرات ون ء
خف أى قيمة من الم ولتكن د( ) الى تأخذها د ((س) فى هذه الفيرة »
. واضرب هذه القيمة ف الفيرة 8 . نم استخرج جموع 3 د ( 5 ) قرء وسيكون
.هذا المجموع دائماً متناهياً . فإذا آل هذا امجموع كلما تزايدت بم إلى مباية معينة ؛
مهما نختارد ( كن ) فى فترتها » ومهما يكن اختيارنا للفئرات ( بشرط فقط أن
تكون كلما أصغر من أى عدد هعين ٠ لقم د الكبيرة كبراً كافياً ) عندئذ تسمى هذه
النباية الوأحدة بالتكامل المعين للدالة د ( س) من | إلى ب . فإذا لم توجد مثل
هذه الهاية » فإن د ( س) ليست قابلة للتكامل من | إلى ب .
م٠" ليس لنا إلا ملاحظة واحدة على هذا التعريف ٠ ما فعلنا فى حالة
المشتقة . فالتكامل المعين لا يتطاب اللامتناهى ولا اللانمانى الصغر » وليس
هو نفسه مجموعاً ولكنه فقط بالضبط نباية مجموع . وجميع الحدود الى تقع فى
المجموع الذى نبايته التكامل المعين فهى متناهية ٠ وانجموع نفسه متناه .
ولو افترضنا بلوع المابة الل ور يكون عدد الفئرات لامتناهياً » وأن يكون
)0 تعردرف التكامل المعين تلفت عض ال سشىء باختلاف المؤلفات احخديثة 5 انظر 6 ذلك
مقط (نوة: جتموط) داأه'٠ مبرامودا 'ل عسره© بسصملهه! 81 -- 8جر * * ينك هه .أملط
لعن د كذ 11 سعالقطعمصهئو1ا معطاءئن صسع طلة184 مع نل دده امار م1 41-58 58 1
والتعريف بأنه نهاية مجموع أكثر 067 يبتر من قولذا إأه عكس مشتقة » وكأن قد ألغاه برذوك
وأويار ثم أعاده كوشى - انظر آخر المراجع المشار إل
حليلا
مقدار كل منها لا نهائيًا فى الصغر. ولكن فى هذه الحالة يصبح المجموع ولا مععى
له . على ذلك لا يحب أن نعتبر المجموع على أنه بالغ بالفعل نمابته . ولكن هذا
الوجه هو من الوجوه الى تتفق فيها المتسلسلات عامة . وأى متسلسلة تصعد
دائما » أو تمبط دائماً » وليس لا حد أخير : فلا يمكن أن تبلغ نايتا . وبعض
المتسلسلات الأخرى اللاهتناهية , ربا » كان لما حد يساوى ايها » ولكن إذا
كان الأمر كذلك فهذا محض مصادفة . أما القاعدة العامة فهى أن الهاية لا تنتمى
للمتساسلة الى هى نباية لها » وى تعر يف المشتقة والتكامل المعين » إتما نجد مثالا
آخر على هذه الحقيقة . فا يسمى بالحساب اللانهانى الصغر إذن لا شأن له
باللانبانى الصغر » وله فقط مدخل بطريق غير مباشر فى اللامتناهى - وارتباطه
باللامتناهى جاء من أنه يتضمن النهايات ٠ وأن المتسلسلات اللامتناهية وحدها لها
مايات .
التعاريف المذكورة ما دامت تستدعى الضرب والقسمة فهى حسابية أساساًء وهى
على خلاف تعاريف الهايات والاتصال لا يمكن أن تُجنعل ترتيبية بحتة . ولكن
من الواضح أنها قد تبسط فوراً لتشمل أى مقادير تقاس عددينًا » فتشمل عندئل -
جميع المتسلسلات الى بمكن أن تقاس فيها الامتدادات أو المسافات . ولا كانت
أنواع المكان والزمان والحركة داخلة تحت هذا العنوان » فالحساب التحليق ينطبق
على الهندسة والديناميكا . أما عن البديبيات الداخلة فى الافتراض بأن الدوال
المندسية والدينامية يمكن أن تُفاضل وتكامل فسأتحدث عن ذلك فما بعد . أما فى
أرقق املافة فالرفت منانيي لاتدراء لطي تلق اننال اعفن لذانة.:
الباب الأر بعون
اللانبائى الصغر واللامتناهى لمعتل
4 كان الاعتقاد عموماً حبى الزمن الحديث أن الاتصال والمشتقة والتكامل
المعين تتطلب بالفعل كلها اللامبائيات الصغر » أى أنه حى إن 'أمكن تحرير
تعاريف هذه المفاهم صوريا من الذكر ا أنه حيث
تطبر التعاريف فلا بد داما أن يوجد اللامها فى الصغر بالفعل . وقد فر هذا
الاعتقاد الآن دوجده عام : والتعار يف الى أعطيناها ؛ ف الأبواب السايقة لا تتضصمن
بأى حال اللانمانى الصغر . ويلوح أن هذا الخفهوم قد أصبح من الناحية الرياضية
عديم الفائدة . وفى الباب الحاضر سأعطى ألا تعريف اللامهائى الصغر » ثم أفحص
الأحوال الى الس تنش فنا هذه الفكرة ٠ وأخختم الباب عناقشة نقدية للاعتقاد بأن
الاتصال يستلزم اللامهانى الصغر .
كان تعريف اللانبانى الصغر بوجه عام غاية" فى الإبهام » إذ" اعتبر بأنه عدد
أو مقدار مع أنه ليس صفرا فهو أصغر من أى عدد أو مقدار متناه . فقد كانت
وس أو و ص المستخدمة ان نى الحساب التحليلى هى الزمن الذى تكون فيه كرة
قذفت رأسيا إلى فوق ساكنة عند أعلى نقطة من مسيرها » أو المسافة بين نتقطة على
خط وبينالنقطة التالية » إلخ. إلخ . ولكنولا فكرة من هذه الأفكار مضبوطة على
. 0 8 5
الإطلاق لأن و س. » و صء كا رأينا فى الباب السابق ليسا شيئا ألبتة » لأآن
ْ .
نهاية كسر بسطه ومقامه متناهيان , ولكن الكسن ليسين قَْ ذاته كسما ألبتة .
أما الزمن الذى تكون فيه الكرة ساكنة فى أعلى نقطة فإمها فكرة معقدة جدا تتطلب
النظرية الفلسفية كلها للحركة . وسترى فى الحزء السابع من هذا الكتاب أنه
لا يوجد مثل هذا الزمن بعل تقدم اللحث فى هذه النظرية : والمسافة بين النقط
المتعاقبة تفرض ؛ ىق فى أساسها 0 متعاقبة وهو رأى يوجد ألف سبب لإنكاره 5
وكذلكالشأن فى معظ اللحظات- فإنها لاتعطى تعر يفا دةّيمًا لما نعنيه باللانهائى الصغر.
اذا
141
8٠ لا يوجد بمقدار ما أعلم سوى تعريف واحد مضبوط يجعل اللانهائى
الصغر فكرة نسبية بحتة «ترابطة مع شىء رخذ تحكميا بأنه متناه . أما حين نعتبر
بدلا من ذلك ما أخذ بأنه اللامبائى الصغر متناهيا . فالفكرة المترابطة معه هى الى
يسميها كانتور اللامتناهى المعتل ( وعداءءالدعصناعطء ا امعوعمنا ) . ونحصل على
تعر يف العلاقة المذكورة بإنكار بديبية أرشميدس . كما حصلنا على المتصاعد
بإنكار الاستنباط الرياضى . فإذا كان ى, . ك أى عددين أو أى مقدارين قابلين
القياس » قيل إنهما متناهيان كل منهما بالنسبة الآخر بفرض أن وء الأصغر عندما
يوجد عدد صحيح متناه 2 بحيث إن 3 ىم أكبر من اك . ووجود مثل هذا العدد
الصحيح هو الذى يكون بديبية أرشميدس وتعريف التناهى النسبى . ويلاحظ أنه
بفرض فى أساسه تعريف التناهى المطاق بين الأعداد ودو تعريف يعتمد
كا رأينا على نقطتين » )١( ارتباط العدد ١ بالفكرة المنطقية عن البساطة » أو
ارتباط الصفر بالفكرة المنطقية نلفصل الصفرى . ( ؟) مبدأ الاستنباط الرياضى .
ومن الواضح أن فكرة التناهى النسبى متميدة عن التناهى المطاق : لأن الأخيرة
نا تنطبق فقط على الأعداد والفصول والانقسامات حيث أن الأولى تنظبق على أى
مقدار قابل لياس . وأى عددين أو فصلين أو القسامين إذا كانا متناهيين
بإطلاق فهما أيضا متناهيان نسبا . ولكن اعكس غير صميح . مثال ذاك نس »
ىكا ؟ + بوصة وقدم : يوم وسنة . فهى أزواج متناهية نسبيا. ولو أن جميع هذه
الأزواج الثلاثة تتكون من حدود لامتناهية مطلقا .
يحرى إذن تعر يف اللانهائى الصغر واللامتناهى المعتل«عدرن«رددز على النحو الآتى :
إذا كان ى, . ك عددين أو مقدارين قابلين للقياس من نفس النوع » وإذا كان
د أى ع-د صحيح متناه شئنا وكان3: ى, دانما أصغر دن اك ١ إذن ى لانهانى الصغر
بالنسبة إلى لع . و لك متناه بالنسبة ل ى. . وفما يختص بالأعداد ليست هذه الحدود
النسية مطلوبة » لأنه فى الحالة المفروضة إذا كان ى متناهيا مطلقا » إذن ك
لا متناه مطلقا ؛: على حين أنه إن أمكن أن يكون ك متناهيا مطلقا ؛ لكان وه
لانبائى الصغر مطلتا - وهى حالة سترى سببا لاستحالها . وعلى ذلك سأفترض
فى المستقبل أن ى, » ك ليسا عددين » ولكنبما مقداران من نوع بعضه على الأقل
تيل
يقبل القياس عدديا . وينبغى ملاحظة أنه بالنسبة لللمقادير بديبية أرشميدس هى
السبيل الوحيد لا لتعريف اللانهانى الصغر فقط ٠ بل اللامتناهى أيضا . وا
لدينا ما نقوله عن المقدار الذى لا يقبل القياس عدديا سوى أنه أكبر من بعض نوعه
وأصغر من بعضه الآخخر . ولكننا لا نستطيع أن نحصل على اللانهاية من مثل هذه
القضايا . لأنه حبّى إذا سلمنا بوجود مقدار أكبر من جميع المقادير الأخرى من
نوعه » فليس ا ما يدعو إلى اعتباره لامتناهيا . صفوة القول : التناهى واللامهاية
فكرئان عدديتان أساسا . وإنما بعلاقبما بالأعداد فقط يمكن تطبيقهما على أمور
أخرى .
١م السؤال الذى بلى ما سبقت مناقشته هو : أى حالات للانهائيات
الصغر علينا أن نبحث عنبها ؟ ومع أن" الموجود من الحالاات أقل جدا مما سبق لنا
افتراضه : إلا أنه لا يزال يوجد بعض الحالات المامة . ولنبدأ بقولنا إننا إذا كنا على
| عراب ف اعتبار الانقسام بونااعننك مقداراً » فن الواضح أن القسام أى
كل" محتوى عددا متناهيا من الأجزاء البسيطة. فهو لانبائى الصغر بمقارنته مكل
آخر يحتوى عدداً لامتناهيا . فإذا أخذنا عدد الأجزاء ممقياس كان كل “كل
لامتناه أكبر من كل كل متناه 3 من المرات. مهما يكن عدد 2 متناهيا . فهذه
إذن حالة مثال واضح تماماً تولك الأتهي راقن أناتتينة الانقسام ف كدي
أحدهما على الأقل متصاعد . يمكن أن تقاس بواسطة نسبة العددين الأصليين
لأجزائهما البسيطة . ويوجد سببان لتعليل العجز عن هذا الإمكان » أوهما أنه
لا بيجد لعددين أصليين متصاعدين أى علاقة شبيهة بالضبط بالنسبة . حما
تعريف النسبة يجرى بواسطة الاستنباط الرياضى . وعلاقة أصليين متصاعدين | »<
المعبر عنها بالمعادلة ٠ ب - ح تحمل فى طياتها شبها معينا ينسب الأعداد
الصحيحة ؛ ويمكن استخدام ١ س > ح ه لتعريف نسب أخرى . ولكن النسب
المعرفة على هذا النحو ليست شبيهة تماما بالنسب المتناهية . والسبب الثالى الذى
من أجله لا يحب أن تقاس الانقسامات اللامتناهية بواسطة الأعداد الأصلية هو
أن الكل يجب دائما أن يكون له من الانقسامات أكثر مما للجزء ( بشرط ألا يكون
الحزء الباق لانهائى الصغر نسبيا) . ولو أن الكل ربما كان له نفس العدد
1
المتصاعد . جملة القول : الانقسامات كالترتيبيات متساوية ما دامت الكلات
متناهية عندما » وعندما فقط . تكون الأعداد الأصلية فى الكلات واحدة .
ولكن فكرة مقدار الانفسام متميزة عن فكرة العدد الأصلى » وتفترق علها بوضوح
عندما ننظر فى الكلات اللانبائية .
الكلان اللامتناهيان قد يكونان بحيث أن أحدهما أقل انقساماً إلى ما لا نباية له
من الآخر . خذ مثلا طول خط مستقم متناه : ومساحة المربع على الحط المستقم ؛
أو طول خط مستقم متناه وطول الحط المستقم كله الذى هو جزء منه ( باستثناء
مسافات محدودة منه) ؛ أو مساحة وحجم ؛ أو الأعداد المنطقة والأعداد
الحقيقية ؛ أو مجموعة نقط على جزء متناه من خط حاصل بطريقة فون شتاوت
لرسم الشكل الرباعى .دهناءعدهدمه 21ع:0112لدنن وكافة مجموعة النقط على الحزء
المتناهى المذكور''' . فهذه كلها مقادير من نوع واحد بالذات هو الانقسامات »؛
وكلها انقسامات لا متناهية » ولكبا من مراتب كثيرة مختلفة . فالنقط على جزء
تحدود من خط حاصل بطريقة رسم الشكل الرباعى تكون مجموعة لانبائية الصغر
بالنسبة إلى الحزء المذكور ؛ وهذا الحزء لانهانى الصغر ترتيبيا'' بالإضافة لأى
مساحة محوطة بحدود ؛ وأى مساحة من هذا النوع فهى لانبائية الصغر ترتيبيا بالنسبة
لأى حجم محدود ؛ وأى حجم محدود ( باستثناء فراغات متناهية ) لانهائى الصغر
ترتيبيا بالنسية لكل الفراغ ف جميع هذه الحاللات تستخدم لفظة م لامها
الصغر » بدقة حسب التعريف المذكور الحاصل من بديهية أرشميدس . أما ما بجعل
هذه اللابائيات الصغر غير مهمة بعض الشىء من الناحية الرياضية فهو أن
القياس يعتمد أساساً على بديبية أرشميدس : ولا يمكن بوجه عام أن بمتد بواسطة
الأعداد المتصاعدة للأسباب الى شرحناها من قبل . وعلى ذلك يتُعتبر عادة.
الانقسامان اللذان يكون أحدهما لانبانى الصغر بالنسبة للآخر نوعين #تلفين من
المقدار ؛ واعتبارما من نفس النوع لا يعطى أى مزية سوى الصحة الفلسفية .
ومع ذلك فكلها بالضبط أمثلة للامبائيات الصغر» ومتسلسلانها توضح جيدا نسبية
المصطلح «لانهائى الصغر » .
. انظر الحزه السادس الباب الخامس والأربعين )١(
. (؟) انظر المزه السادس الباب السابع والأربعين بند 9190م
ا
ايل
وهناك طريقة طريفة لأموازنة بين مقادير معينة شبيهة بانقسامات أى مجموعات
لامتناهية من النقط. وبين مقادير الامتدادات المتصلة » وهى طريق- يقدهها
شتولز 27 كنا يقدم كانتور !'اطريقة شديدة الشبه بها ولكنها أعم . وهاتان الطريقتان
رياضيتان إلى الحد الذى لا نستطيع أن نشرحهما بالمام فى هذا المقام » ولكننا قد
نشرح كنه طريقة شتولز بإيحاز . لتكن مجموعة من النقط س- تحويها فترة مما متناهية
من ١ إلى ب . ثم اقسم الفرة إلى أى عدد ه من الأجزاء , ثم اقسم كلا من هذه
الأجزاء إلى أى عدد من الأجزاء » وهكذا . ثم اجعل الأقسام المتتابعة بحيث تصبح
جميع الأجزاء على مر التقسيم أصغر من أى عدد معلوم 8. وى كل مرحلة
ضم معآ جميم الأجزاء الى تحتوى نقط سه . وف المرحلة الميمية اجعل امجموع
الناتج ل, . عندئذ ربما كانت الأقسام التابعة تقل عن هذا النمجموع » ولكنها
لا يمكن أن تزيد عليه . ومن ثم كلما ازداد عدد الأقسام فإن لم يحت أن شرت
من اللهاية هر . فإذا كانت سء ماتعحمة خلال الفئرة» ستحصل على هر - ب - ١ .
فإذا تلاشت أى مشتقة متناهية من س-” » كانت هر > ٠ ومن الواضح أن هر لها شبه
بالتكامل المعين . ولكن ليست هناك شروط لازمة لوجود هر .ولكن هر لا يمكن أن
تتطابق مع الانقسام . لأن بعس المتسلسلات الملتحمة » مثلا متسلسلا ت المنطقات
أقل انقسامآ من غيرها كالمتواصل ٠ ولكنبا تعطى نفس قيمة هر .
” . الحالة الى افترضنا من قبل أن تكون فيها اللامبائيات الصغر واضحة
بوجه خاص هى حالة المتسلسلات اللتحمة . فى هذه الحالة من المحتمل البرهنة
أنه لا يمكن وجود قطع لامبائية الصغر ”2 بشرط إمكان القياس العددى أصلا
فإذا لم يكن ممكناء لن يكون اللانهائى الصغر "كما رأينا متعرفا . فأولا من الواضح أن
القطعة ا محوية بين حدين مختلفين فهى دائما قابلة للانقسام إلى ما لانباية له . لأنه
ما دام هناك حد ح بين أى حدين | ناء فهناك حد آخر ى بين (» < وهكذا .
وبذلك لا يمكن أن تشتمل أى قطعة محدودة بنهاية على عدد متناه من الحدود .
١ ) ( دمع لمطعع ععمعصسلصيط صعغط [النصعسصن ععصق نج معمك معطءل]” 23 #ملممما . إغداية
٠ لطامع مم0
(؟) انظر المرجع السابق .6 .ملا مسعااع لو نال أمستمممسلصبط عندعمنا عطعتللسمعصت معاءن]
) *) انظر 6 -50 .مم .11 .املا معتلامصسعندكة لل مالظ ,مموعط
14
ولكن القطع المعرفة فصل من الحدود قد لا يكون لا ( كا رأينا فى الباب الرابع
والثلاثين ) حد نهائى . فى هذه الحالة ستحتوى القطعة حدا ما آخر ب » وإذن
عددا لانبائيا منأالحدود » بشرط ألا تتكون التقطعة من حد مفرد .١ وبذلك
تكون جميع القطع «نقسمة إلى ما لا نباية له . والنتقطة الثانية أن نعرف القطع
الكثيرة . المطعتان المننهيتان يمكن جمعهما بوضع قطعة مساوية لإحداهما عند آخر
الأخرى لتكوين قطعة جديدة . فإذا كانت القطعتان متساويتين قيل إن القطعة
الخديدة ضعق ل عتما" أما إذاغ.. تكن - القطفدان ستبيين. 1 يمكن
استخدام هذه العملية . وى هذه الحالة يعرف بيانو مجموعهما بأنه حاصل الجمع
المنطى لجميع القطع الحاصلة من جمع قطعتين منبيتين متضمئتين على التوالى ق
القطعتين المزمع جمعهما . وبعد تعريف هذا امجموع يمكن أن نعريك أى تضهيف
عام اد متناه من القطع . وبذلك يمكن تعريف فصل الحدود المتضمن ى
تضعيف ١ ما ) متناه من قطعتذا. أنه مثلا الخبموع المنطى لجميع تضعيف المتناهى .
وإذا كانت قطعتنا تخضع لبديبية أرشميدس وذلك بالنسبة لجميع القطع الأكبر »
فإن هذا الفصل الحديد سيحوى جميع الحدود الى تأ بعد أصل قطعتنا . ولكن
إذا كانت قطعتنا لامبائية الصغر بالنسبة لأى قطعة أخرى : عندئذ سيعجز الفصل
المذكور عن أن يحتوى بعض نقط هذه القطعة الأخرى . وى هذه الحالة يتبين
أن جميع التضعيفات المتصاعدة لقطعتنايساوى بعضمابعضها الآخر .ومن ثم يترتب
على ذلك أن الفصل المتكونمن انجموع المنطى لحميع التضعيفاتالمتناهية لقطعتنا »
والذى بمكن أن نسميه التضعيف اللامتناهى لقطعتناء يحب أن يكون قطعة غير
منتبية ف:هصنصمة-دوم لأن القطعة المنتّبية لعاحمنصمم؛ تتزايد دائما بالتضعيف .
ويخلص الأستاذ بيانو من ذلك بقوله : « وكل نتيجة من هذه النتائج متناقضة مع
الفكرة المألوفة عن القطعة . ولأن القطعة اللانبائية الصغر لا يمكن أن تجعل نبائية
بواسطة أى ضرب لانمانى بالفعل . فإنى أستنتج متفقا فى ذلك مع كانتور أنما
لا يمكن أن تكون أحد عناصر المقادير المتناهية » ( ص ؟5) . ولكنى أظن أننا
يمكن أن نصل إلى نتيجة أوثق : لأننا رأينا فى المتسلسلات الملتحمة أن هناك قطعة
. 4 بند » 5١ المرجع السابق ص )١(
ل
قطع تناظر كل قطعة . وأن هذه القطعة من القطع تنتاهى دائما بقطعبا المعرفة .
أكثر من ذلك أن القياس العددى لقطع القطع هو بالضبط نفس القياى القطع
البسيطة . وبناء على ذلك بتطبيق النتيجة السابقة على قطع القطع محصل على تنافض
معين امف لذ واعما دلا لمكن أن تكون غير منبية ٠ والقطعة اللاائية
الصغر لا يمكن أن تكون منمهية .
أما ف حالة الأعداد المنطقة أو الحقيقية فإن معرفتنا التامة الحاصلة لنا عما
ش تجءل عدم وجود اللانهائيات الصغر مبرهنا عليه . فالعدد المنطق هو نسبة عددين
صعرحين متناهيين » وأى نسبة من هذا القبيل فهى متناهية . والعدد الحقبى ما عدا
الصفر فهو قطعة من متسلسلة المنطقات ٠» وعلى ذلك إذا كان س, عددا حقيقيا
خلاف الصفر . فهناك فصل ى ليس صفرا من المنطقات بحيث إذا كان مره
أحدى ؛ ركان مز أصغر من ص , كان م[ أحد س : أى ينتمى للقطعة الى
هى س . إذن كل عدد حقيى بخلاف الصفر فهو فصل يحوى منطقات : وجميع
المنطفات متناهية . ويترتب على ذلك أن كل عدد حفيى فهو متناه . بناء على
ذلك إذا أمكن أن نتحدث بأى معنى عن الأعداد اللامرائية الصغر فلابد أن
تكون بمعبى جديد ما أصلا .
10م وأعرض الآن لمسألة فى غاية الصعوبة كان بودى ألا أذكر عنبا شيئا »
وأعنى بها مسألة مراتب اللانباية ولا نمائية الدوال فى الصغر . وقد انقسم أعظم الثقات
حول هذه المسألة : فيذهب ديبوس روند وشتولر وكثير ون غيرهما إلى أن هذه
نكون فصلا خاصاً من المقادير تمع فيها اللامبائيات الصغر بالفعل . على حين يقرر
كانتور بشدة أن النظرية كلها باطلة١١ . ولنضع المسألة بأسط ما يمكن فتقول :
يكن دالة د وسح ان صفر كلما افتريت مره امن الصف افقد يخدث أن
النسبة 00 » إذا فرضنا | عدداً مما حقيقيا متناهيا » الها نباية متناهية كلما
عر
اقتربت س من الصفر . ولا يمكن وجود من مثل ذلك العدد إلا واحد فقط + ور بْما
لا بوجد أى واحد . عندئذ قد 'يسمى | إن وجد مثل هذا العدد الرنبة الى تصبح
عندها د وس) لانبائية الصغرء أو رتبة الصغر د ( نع كلما اقعر بت سمه من
)00( انظرءم ممع اك عاماذ .0 و27 .ص , (882 1 ) مأعممط ا وعصمناعسيا مصاءجعو الا لممصصرء 1 5ذه8 نالل
ذل فاوأطنظ ,مامد رمسمقطمل ,1 صمنعءة رو188 ,عأعماعا) عوط لزاع اجا
'8--104 .مم رلا بمعتاهم ه84
184
١
ل سي لان ” لا يوجد مثل هذا العدد ؛ . فإذا كان
سه
١ . 8 : .
(اأى عدد حقيى متناه» فماية سويد كلما اقر بت سء» من الصفر لامبائية 1
س! لو سء 1
بعبارة أخرى عندما تكون سء صغيرة صغراً كافيا كر كيها جدا ء
ويمكن أن يجعل أكبر من أى عدد اد
مهما يكن العدد المتناهى ١ . وعلى ذلك » للتعبير عن بصفر . .من الضرورى
أن نبتدع عددا جديدا لانهائى الصغر يمكن أن ندل عليه بالرمز ي؛ . وبالمثل
سنحتاج إلى أعداد كبيرة إلى غير حد للتعبير عن رتبة صغرز مثلا) هه - كلما
ا ال : مثلا
و حاص إلى ما لانباية له من يلب وهكذا . وبذلك نحصل على سلم
بأميره : 0 3 جميع المقادرر 8 أى فصل واحد منه لا. مهاية الصغر بالنسية
الجميع المقادير 5 أى فصل أعلى 4 وى هذا السلم لا يوحد إلا فصل واحد فقط
يتكون من جميع الأعداد الحقيقية المتناهية .
ويرى كانتور فى هذا الشرح حلقة مفرغة » ويبدو أن كانتور على صواب
على الرغم من صعوبة المسألة . فهو يعترض بأن مثل هذه المقادير لا يمكن إدخاها
إلا إذا كان عندنا من الأسباب ما يجعلنا نظن أن هناك مثل هذه المقادير . فالمسألة
شبيبة بتلاك الخاصة بالنهايات؛ ويذه بكانتور إلى أنه فى الحالة الحاضرة يمكن البرهنة
علىتناقضات محددة فما يختص باللانبايات الصغر المفروضة. فإذا فرضنا وجود أعداد
لامهائية الصغر مل » إذن حى بالنسبة لها سنحصل على
د جح ه عندما سن جا ء
سرط لوس
ما دامت سيط يحب آآخر الأمر أن ت 3 ن أنه حى الدوال المتصلة
دامت سيط يجب آخر الآمر أن تزيد على ١. . وهو يبين أنه حبى الدوال المتصلة
1
والمتفاضلة والمنتظمة الزيادة قد يكون طا رتبة مبهمة بالكلية من الصغر أو اللانهاية .
الواقع أنه بالنسبة لبعض هذه الدوال تتأرجح الرتبة بين قم لامتناهية وقم لامبائية
الصغر بحسب الطريقة الى تقرب فيها من الهاية . وعلى ذلك نستطيع أن نخم القول
فيا أرى بأن هذه اللانهائيات الصغر أوهام رياضية . ويمكن تعزيز هذا القول إذا
اعتبرنا أنه إن' وجدت أعداد لانبائية الصغر وجدت قطع لانبائية الصغر للمتواصل
العددى 2 ثما رأينا من قبل أنه محال 1
4" - خلاصة ما ذكرناه عن اللانهانى الصغر أنه أولا حد نسبى » وأنه
فها يختص بالمقادير خلاف الانقسامات » أو انقسامات الكلات اللامتناهية بالمعبى
المطلق » فليست ها القدرة أن تكون شيئاً آخر غير حد نسبى . أما حيث يكون لها
معبى مطلق حينئذ لا يتميز هذا المعبى عن التناهى . وقد رأينا أن اللانهائى الصغر
ولو أنه عديم الفائدة كلية فى الرياضيات ٠ إلا أنه بقع فعلا فى بعض الحالات »
مثال ذلك أطوال الخطوط المستقيمة المحدودة . فهى لا نبائية الصغر بالنسبة
لمساحات المضلعات . كما أن هذه لانمائية الصغر بالنسبة لأحجام
كثيرات السطوح . ولكن مثل هذه الحالات الحقيقية من اللانهائيات
الصغر هى كما رأينا معتبرة دانما عند الرياضيين كقادير من نوع آخر إذ لا موازنة
عددبة ممكنة » حبى بواسطة الأعداد المتصاعدة بين المساحة والطول » أو بين الحجم
والمساحة . الواقع القياس العددى يعتمد بالكلية على بدمبية أرشميدس » ولا يمكن
أن يمتدء كا فعل ذلك كانتور فى الأعداد . ورأينا أخيرا أنه لا توجد قطع لانهائية
الصغر فى المتسلسلات الللتحمة . وأن مما هو مرتبط بذلك ارتباطا وثِيقَا مراتب
صغر الدوال لا ينبغى أن تعتبر كلا مبائيات الصغر الحقيقية . يمكن إذن أن نخم
القول بأن اللامهانى الصغر تصورٌ محدود جدا ولا أهمية له رياضياء وأن اللانهاية
والاتصال مستقلان على السواء عنه .
الباب الواحد والأر بعون
الحجج الفلسفية المذاصة باللامهائى الصغر
ورم أتممنا الآن عرضنا الموجز لما تريد الرياضة أن تقوله فها يختص
بالمتصل » و«اللانهاية » واللانهائى الصغر . ونستطيع ههنا إذا لم يكن فلاسفة
سابقون قد بحثوا هذه الموضوعات أن نغفل المناقشة وأن نطبق مذاهبنا على المكان
والزمان . لأنى أنمسلك بالرأى المتناقض من أن ما يمكن البرهنة عليه رياضيا فهو
صادق . وحيث إنه يكاد أن يكون جميع الفلاسنة من يخالفون هذا الرأى » وحيث
إن كثير ين قد كتبوا حججا بارعة فى تأييد وجهات من النظر مباينة لما بسطناه
من قبل » فن الفهرورى أن نفحص بطريقة جدلية الأصناف الرئيسية للنظريات
المقابلة » وأن ندافع ما أمكننا عن النقط الى أختلف فيها مع الثقات من المؤلفين .
وهذا الغرض سيكون كتاب كوهين الذى أشرنا إليه من قبل مفيدا بوجه خاص »
ليس فقط لأنه يبحث صراحة” فى قضيتنا الحاضرة . بل لأنه أيضا بسبب امتيازه
فى العرض التاريخى قد وقع فى بعض أخطاء رياضية فى غاية الأمية » يلوح لى
أن الكتاب يشتمل عايها » وهى الى أضلت غيره من الفلاسفة ممن ليست عندهم
معرفة مباشرة بالرياضيات الحديثة''' .
5" فى العرض المذكور من قبل ظهر التفاضل كأنه تطبيق غير هام
ؤل_فياً لمذهب البايات . الواقم للا أهميته التقليدية ما استحق منا مجحرد الذكر . وقد
رأينا أن تعر ينه لا يتطلب حيما كان اللانهانى الصغر . لأن و س. و ص فى التفاضل
ليسا بذائهما شيئاء وليس “-أكسراً . من أجل ذلك حل فى المؤلفات الحديثة عن
و سب
ص
الحساب التحليلى الاصطلاح د ر(س) 3 7
. ما دامت الصورة الأخيرة توحى
بعفاهم خاطئة . وقد نلاحظ أن الاصطلاح د (س) أكثر شبها برمز نيوئن صن »
ويرجع هذا التشابه إلى هذه الحقيقة وهى أن الرياضيات الحديثة فى هذه النقطة .
5-0 8 . 3 5 د ص 0
أكير توافا مع نيوتن مها مع ليبنتز . لقد استخدم ليبنتز الصورة -- لأنه كان
و برل
)20 مثال ذلك مسر ررلاتا» ىق مقالعه بإطممومائطط عل أن مماعهاء 2 غطا م0
3 بجا 5 .1ل هلا ''نتصطاء,] أه أقطا لمة وعممتام5 أه
لحل
15١
يعتقد فى اللانبائيات الصغر ؛ أما ذيوئن فهو يقرر جاماً أن الفروق مونعس8
التى يقول بها ليست كسرا . وق ذلك يقول : « تلك النسب النهائة الى
تتلاثى معها الكميات ليست حقاً نسب كميات مائية » بل نهايات تتقارب
منها دائما نسب الكميات المتناقصة بغير نهاية » وتقترب منها بأقرب من
أى فرق معلوم ا
ولكن عندما نتجه نحو مؤلفات مثل كتاب كوهين نجد أن وس , و صه
يؤخذان على أنهما شيئان منفصلان . على أنهما لانبائيان فى الصغر حقيقة” »
كالعناصر الحقيقية البى منها يتكون المتواصل . (الصفحات ١54 2.2 518 »
١1474 ). إن النظرة القائلة بأن الحساب التحليلى يحتاج إلى اللانهائيات
فق الصغر ليست .فيا بظن نظرة” معروضة للسؤال . مهما يكن من شىء لا حجج
أيا كانت تقدم لتأبيدها . وهذه النظرة يفرض بكل تأكيد معظ. الفلاسفة الذين
يناقشون الحساب التحليلى أنها واضحة بذاتها . فلننظر نحن أى نوع من الأسس
يمكن أن 0 بها فى تأبيدها .
ام ا كشي من الحجج المؤيدة للنظرة المذ كورة سداس الك
08 إلى حد ما ( ص 4” . /ا") ولو أنه
يسلم بأن التفاضل يمكن أن مال عليه من الأعداد وحدها الى يعدها مع ذلك
متبعا فى ذلك كانط متضمنة” الزمان (ص )7١ . 7١ . وحيث لم يحن الأوان
بعد لتحايل المكان والحركة . فسأقتصر فى الوقت الحاضر على ذكر الحجج الى
بمكن أن تستمد من أمثلة عددية بحتة . ولأجل التحديد سأستخرج بقدر الطافة
. الآراء الى أجادلها من كوهين .
8 9 يبدأ كوهين ( صفحة )١ بقوله إن مشكلة اللاممانى الصغر ليست
منطقية بحتة » بل الأول أنها تنتمى لنظرية المعرفة الى تتميز » فيا أظن » بأنها
تعتمد على أنواع الحدس الخالص كما تنتمى للمقولات . هذا الرأى الكانطى
يتعارض تماماً 0 الفلسفة الى تقوم أساس كتانى هذا , ومناقشة هذا الرأى
0 تسبالامطء5 ,ل قصصم.1[ رتصملعم5 رد عاط ,وأمعملعط والش لشرح بأسره فى غاية الأهمية
ولوأن بعض أجزائه لا تقل فى أخطائها عن الفقرة الى نقلناها عن المآن .
14
ههنا يبعدنا كثيرا عن الموضوع الذى نناقشه . وإنما ذكرته اتفسير عبارات الكتابه
الذى نبحث فيه . ثم يشرع كوهين فوراً فيرفض النظرة القائلة بأن الحساب اللانهائى
الصغر يمكن أن يشتق مستقلا بواسطة الرياضيات بطريقة الهايات . وبقول ( ص١)
« إن هذه الطريقة تقوم على فكرة أن النصور الأول للتساوى ينبغى أن نكمله
بمفهوم مضبوط لذهاية . وهكذا نجد أولا أن تصور التساوى مفروض من
قبل . . . ونيا أن طريقة النهايات تفترض فى أساسها تصور المقدار . . . ولكن
المقدار الها مفروض قبلا فى نفس الوقت فى تصور المقدار المفروض من قبل .
والمساواة المعرفة ى المذهب الأول للمقدار . لا يلبى إلى هذه المقادير اللبائية بالا »
إذ فى هذا المذهب المقادير تعد باعتبار أنها متساوية إذا كان فرقها بتكون من
مقدار مبانى ٠ وعلى الرغم من أن هذا الفرق هو كذلك 0 ذلك فإن التصور
الأول للتساوى - وهذا ليس فكرة طريقة الاي يحب أن يكمل بمقدار ما
يحب أن يصحح بواسطة تصور اللهاية . يب إذن أن “يعتبر التساوى مرحلة أسبق من
العلاقة البائية 1 ١)ي
89 - نقلت هذه الفقرة كاملة لأن ما فيها ءن أخطاء تموذج لما يمكن أن
بقع فيه غير الرياضيين . أول كل شىء لا صلة للتساوى باللهايات . إنى لأتصور
أن كوهين قد طاف بذهنه مثل تلك الحالات كالدائرة والمضلع المرسوم داخلها
حيث لا يمكن القول إن الدائرة مساوية لأى هن المضلعات . بل إنها فقط نهايتها .
أو خذ مثالا من الحساب » سلسلة تقار بية يجموعها ج أو يا 77 ؟ . ولكن ق جميع
هذه امجالات هناك كثير من الأشياء خارجة عن الموضوع وعارضة وهناك نعقيدات
كثيرة غير ضرورية . وأبسط حالة على الإطلاق لللهاية هى حالة ب معتيرة كهاية
الأعداد اللرتيبية . فههنا لا شك أنه لا يوجد أى 0 من . التساوى ٠ ومع ذلك فى
جميع الأحوال الى تعرف فيها اللهايات بالمتواليات اوهل هى الحالات 0
يكون عندنا متسلسلة من الصنف الذئ تعرضه كلا الترتيبات المتناهية مع .ى . واعتبر
مثلا المنسلسلة ١ ل مأخوذة مع * . حيث بم يمكن أن تأخذ جميع القَم الموجبة
الصحيحة المتناهية . هنا نجد أن المتسلسلة هى من نفس الصنف كسابقها »
) 7 | و النسية » واللفظية الألمان. يد هى كقتمالغطءع يوم :)
ا لا 0
00 ز 7 ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز ز دز ذ 1 ا 021505 0900101
ولحل
وهنا كما كان الأمر من قبل ” هو نماية المتسلسلة . ولكن هنا وهذا ما أضل
كوهين الفرق بين ؟ وبين الحدود المتتالية للمتسلسلة يصبح أقل من أى مقدار
معين , وهكذا يلوح أننا نحصل على صفة ممتدة بين ” وبين الحدود المتأخرة
للمتسلسلة ١ ذ . ولكن دعنا نفحص هذا الأمر ؛ إنه أولا يعتمد على أن المنطقات
متسلسلة فيها مسافات هى بدورها منطقات . ولكننا نعرف أن المسافات غير لازمة
للهايات ؛ وأن الامتدادات تساويها ف التأثير فإذا أخذنا الامتدادات فى الاعتبار
كان ؟ نباية ؟ ١ لأنه لا منطق يأتى بين ؟ وجميع حدود المتسلسلة ؟ اي ؛
وهذا بالضبط المعنى الذى يكون فيه ١ النباية للأعداد الصحيحة المتناهية . وبسبب
أن ٠ - ل تكوّن متوالية أى أنمها شبيهة بمتسلسلة الأعداد الصحيحة , إنما عرفنا أن
مهايئها هى ؟ . أما أن الحدود كلما تقدمنا تختلن قليلا عن ؟ » فذلك يعتمد
إما على حصولنا على متسلسلة يوجد فيها مسافة وهى حالة عرضية بعيدة عن
موضوعنا . وإما على أن الامتدادات المتتالية إلى ٠ قد تجعل أقل من أى امتداد
معين إلى 7 » وهذا يترتب على فكرة اللهاية ولكن لا شأن له بالتساوى . وحيما كانت
متساسلتنا الى سيكون لها نباية جزءاً من متسلسلة هى دالة .ى » فالامتداد من أى
حد إلى النهاية » فهوداتما لا نهانى بالمعبى الوحيد الذىيكون فيه لمثل هذه المتسلسلات
امتدادات لا نبائية . وبمعنى حقيى جدا لا يصبح الامتداد أصغر كلما اقتر بنا
من الهاية » لأن كلا من العدد الترتيى والأصلى لحدوده يظل ثابتا .
لقد رأينا بما فيه الكفاية من قبل بأى معنى وإلى أى حد يدخل المقدار فى
الهايات بحيث يلوح لنا من غير الضرورى الإطناب فى هذا الموضوع ههنا . والمقدار
بلا نزاع وغير » داخل على معبى أن الهاية والحدود الدودة بالنهاية لا بد
أن تكون مقادير ؛ وهذا هو بلا ريب المعنى الذى قصده كوهين . وكل متوالية
تكون جزءاً من متساسلة هى دالة ., وفيها حدود بعد المتوالية » فلها مباية مهما كانت
طبيعة الحدود . وكل متسلسلة قطع لا نباية لها فى متسلسلة ملتحمة » فلها باية
مهما كانت طبيعة المتسلسلة الملتحمة . والان يوجد بالطبع فى جميع المتسلسلات
مقادير وهى بالذات انقسامات الامتدادات ؛ ولكن ليست هذه هى الى نلتمس
فيها الهاية . وحتى فى حالة القطع فالهاية قطعة” بالفعل لا مفدار قطعة . وكل
14:
ما نطلبه نما أن نكون القطع فصولا » لا أن تكون يات . ولكن المييز بين الكمياث:
والمقادير أمر بطبيعة الحال غريب بالكاية عن نظام أفكار كوهين ,
"م - ونقبل الآن على خطأ أعظم. يقول كوهين إن تصور المقدار المفروض من
قبل فى الهايات يفرض بدوره المقادير البائية . وهو يعى بالمقادير الهائية كما
بظهر من السياق » اللانبائيات الصغر : الفروق الأخيرة » فها أفترض بين حدود
متسلسلة ونهايتها . ويلوح أن ما يعنيه هوأن أنواع المقدار الى تؤدى إلى نبايات
هى متسلسلات ملتحمة ٠ ولا بد أن يوجد فى المتسلسلات الملتحمة لا نبائيات
فى الصغر . وكل نقطة فى هذا الرأى خاطئة : لأن النبايات كما رأينا لا تحتاج إلى
أن تكون نبايات مقادير + وقطع المتسلسلة الملتحمة كما رأينا فى الباب السابق
لا يمكن أن تكون لا نبائية الصغر + والهايات لا تسلتزم بأى حال أن تكون
المتسلسلة الى تقع فيها ملتحمة . وقد برهنا على هذه النقط بما فيه الكفاية من قبل
فلا ضرورة للوقوف عندها أكر من ذلك .
"١ - ولكن رأس الأخطاء هو الافتراض بأن الهايات تجلب معبى جديدا
من التساوى . فالتساوى له بين المقادير كما رأينا فى الحزء الثالث - معبى دقيق
فريد على الإطلاق» لأنه إنما ينطبق فقط على الكميات» ويعنى أن ا «نفس»
المقدار . فلا محل ههنا للتقريب ؛ إذ المقصود هو ببساطة التطابق المنطى المطلق
للمقدار . أما بين الأعداد ( الى يرجح أن كوهين يعتبرها كقادير ) فلا يوجد
مثل هذا التساوى ٠ بل يوجد تطابق . وتوجد العلاقة الى يعبر علها عادة بعلامة
التساوى كما هو الحال فى المعادلة الام 5 . وقد حيرت هذه العلاقة أولئك الذين
حاولوا التفاسف حول الحساب إلى أن قام بيانو بشرحها''' . عندما يكون حد واحد
من المعادلة عدداً مفردا ٠ ابيا الالخر يكون تعبيرا مركبا هن عددين أو أكثر >
فالمعادلة تدل علىأن الفصل المعرف بواسطة التعبير يحوى حدا واحداً فقط هو العدد
المفرد فى الحانب الآآخر من المعادلة . هذا التعريف مرة أخرى دقيق تماماً » إذ ليس
فيه أى شىء تقريى . كا أنه قاصر عن أى تعديل بواسطة اللانبائيات فى الصغر .
وإ لانصدور أن نما بعنيه كوهين ربما عبرنا عنه بما يأتى : عند تكوين معامل
)١( انظر مثا .زب اط ,11'ا .نمك أل .“ذخا
ش 5
تفاضل فلنعتبر عددين س.ء س + وس ء م عددين آخرين صء . ص, + و صء .
وفى الحساب الابتدائى يعتبر أن سء . سء + و سه متساويان » ولكن ل يعتبران
كذلك فى الحساب التحليى . الواقع توجد طريقتان لتعريف التساوى . فيقال إن
حدين متساويان عندما تكون نسبتهما الوحدة ؛ أو عندما يكون الفرق بِينهما صفرا .
أما إذا سمحنا باللامبائيادت الصغر الحقيقية و س.. فإن س, . س, + و سء سيكون
هما نسبة الوحدة برانصب ونور ولكن لن يكون الفرق بينهما صفرا : ما دامت
و سء مختلفة عن الصفر المطلق . هذه النظرة الى أذهب إلى أنها تكاق نظرة
كوهين . تعتمد على فهم خاطىء للبايات والحساب التحليلق . فلا يوجد ى
الحساب التحليلى هذه المقادير مثلء س.؛ و ص.. هناك فروقمتناهية .م س:: م ص »
ولكن لا يمكنأن تجعل أى نظرة مهما تكن ابتدائية س مساوية اس + مس .
وهناك نسب للفروق المتناهية ٠. 5” وى الحالات البى يوجد فيها مشتقة
اص
ص, » هناك عدد واحد حقيى يمكن أن نجعل ا تقرب منه بحسب ما نشاء
5
بتصغير 0 . هذا العدد الحقيق المفرد نختاره ليدل على - ٠ ولكنه
ليس كسرا . وليس وس . و صء شيئا آخر سوى حروف مطبوعة لرمز
واحد . ولا يوجد أى تصحيح أيا كان لفكرة التساوى بواسطة مذهب الهايات .
والعنصر اللحديد الوحيد الذى أدخل . هو اعتبار الفصول اللابائية للحدود المفرزة من
9م - فما يختص بطبيعة اللانبائى الصغر يخبرنا كوهين ( ص )١5 أن
التفاضل أي الغ الممتد مبتمده اعم دز . يجب أن يتطايق مع المركز ##تعدعنهز عط
وبعتبر النفاضل كتجسيد لمقولة كانط عن الحقيقة . هذه النظرة ( بمقدار استقلاها
عن كانط ) نقلها كوهين عن ليبنتز موافقا إياه ليها » أما أنا فلا بد لى من
الاعتراف بأنها تخلو فها يلوح من كل ما يبررها . ويجب ملا<ظة أن و اس »
و ص إذا أجزنا أنهما شيئان هما وجود على الإطلاق . فلا يجب أن نطابق
بينهما وبين الحدود المفردة فى متسلسلتنا . ولا حبى مع الفروق بين الحدود المتعاقبة »
بل يجب أن تكون دائما امتدادات تحوى عددا لا نبائيا من الحدود : أو مسافات
تناظر مثل تلك الامتدادات . وههنا لا بد من القييز بين متسلسلات الأعداد وبين
55
المتسلسلات البى إنما فيها فقط مسافات أو امتدادات قابلة للقياس . والمتسلسلات
الثانية هى حالة الزمان والمكان . أما هنا فليس و سء » , صء نقطا أو الحظات
الى هى وحدها غير ممتدة حقا ء بل إنهما أصلا أعداد » وعلى ذلك
بحب أن يناظرا الامتدادات أو المسافات اللاعبائية الصغر إذ' من الال تعيين
نسبة عددية لنقطتين أو » كما فى حالة السرعة ٠ لنقطة ولحظة . ولكن د سه »
د ص, لا يمكن أن بمثلا مسافات النقط المتعاقبة » ولا حبى الامتداد المتكون من
نقطتين متعاقبتين . وى مقابل هذا الرأى عندنا أولا الأساس العام من أن متسلسلتنا
يحب أن تعتبر ملتحمة , ما ينى فكرة الحدود المتعاقبة . ومن الحال أن نتجنب ذلك
إذا كنا بصدد البحث فى متسلسلة ليس فيها إلا امتدادت فقط لا مسافات »
لأن القول بأن هناك دائما عدداً لامتناهيا من النقط المتوسطة فما عدا عندما يتكون
الامتداد من عدده متناه من الحدود » قول هو مجرد تكرار 1 ولكن إن" وجدت
مسافة” » فقد يقال إن مسافة حدين ربما كانت متناهية وربما كانت لا نهائية
الصغر » وأن الامتداد ليس ملتحما باانسبة للمسافات اللانهائية الصغر ٠ بل
يتكون من عدد متناه من الحدود . فإذا أجزنا هذا مؤقتا » فقد يمكن إما أن نجعل
د سء » د ص, مسافة نقطتين متعاقبتين أو الامتدادين المركبين من نقطتين متعاقبتين .
ولكن مسافة النقطتين المتعاقبتين بفرض مثلا أن كليهما بقعان على خط مستقم
واحد قد يلوح أنه ثابتة مما يعطى -- - + ١ . ولا يمكن أن نفترض فى حالات
حك نين نوه مو سيان + الداله ضقن الجاوزة يي كذا ابسللت: اناب
التحليل ذلك » أن يكون سء : سء + و سء متعاقبتين دون أن تكون ص, » ص, +
و ص ؛ لأن كل قيمة ( صء ستترابط مع قيمة واحدة ولا غير من سه ؛ والعكس
بالعكس . وبذلك لا يمكن أن تتخطى صء أى قم مفروضة متوسطة بين صء »
ص, + و صسء . ومن ثم إذا علمت قم سء ؛ صء حبى بفرض اختلاف مسافات
الحدود المتعاقبة من موضع إلى موضع فإن قيمة 2 ستكون معينة . وأى دالة أخرى :
ص الوٌ هى لقيمة ما ( سء مساوية ( صء سيكون ها مشتقة" مساوية لتلك القيمة »
وهذا خلف . فإذا اطرحنا هذه الحجج الرياضية جانبا فن الواضح من أن و صء »
و سه سيكون ما نسبة عددية هى أنه إذا كانا مقدارين مركزين وبنقدعام: كما هو
: /ا15
مقترح » فلا بد أن يكونا قابلين للقياس عدديا . أما كيف نجرى هذا القياس
فأمر من المؤكد أنه ليس من اليسير تبينه . وربما جعلنا هذه النقطة أوضح بالاقتصار
على حالتنا الأساسية الى فيها كلا س. : صء عددان . فإذا اعتبرنا س » س, +
و س متعاقبين فلا بد أن نفترض إما أن ص, » ص, + و صء متعاقبين » وإما
أنهما متطابقان » وإما أن هناك عدداً متناهيا من الحدود بِيئهما أو عدداً لامتناهيا .
2
يكون دائما صفرا » أو عددا صميحا : أو لا نبائيا وهذا خلف . بل قد يترتب
0
٠.
فإذا أخذنا الامتدادات لقياس و س » و صء » ترتب على ذلك أن
على ذلك أنه إذا كانت صء ليست ثابتة » فيجب أن تكون 7 - + ١ . خخذ
مثلا ص, - س" حيث سء » ص,ء عددان حقيقيان موجبان . فكلما انتقلت سء
من عدد إلى ما يليه فلا بد أن تفعل صء مثل ذلك » إذ كل قيمة ( صء يناظرها
'قيمة س. » وتكبر ص, كما كبرت سه . وعلى ذلك إذا تخطت صء العدد التالى
لأى عدد من قيمها ٠ فلن تتمكن أبدا من الرجوع لالتقاطه . ولكننا نعوف أن
' متعاقبين » ل" - ١ . فإذا قسنا بالمسافات لا بالامتدادات » فلا بد أن تثبت
دس
المسافة ىه ص, عند إعطاء صء : والمسافة و س. عند إعطاء س . فإذا كانت س - 2١
ص - ١ إذن د - ؟ ولكن ما دام س ؛ ص, هما نفس العدد وجب أن يكون
سّ
واس . و صء متساويين ما دام كل منهما هو المسافة للعدد التالى . إذن 2 -
و
مس
وهذا خلف . وبالمثل إذا أخذنا ( صء دالة متناقصة » وجدنا أن كاك ١ .
سن
ومن ثم كان فى التسلم بالأعداد المتعاقبة القضاء المبرم على الحساب التحليل ؛
وما دام السك بالحساب التحليلى واجبا. فىهذا الحساب القضاء المبرم على الأعداد
المتعاقبة .
06م الفكرة القائلة بوجوب وجود أعداد متعاقبة تعز زها فكرة التغير المتصل
14
الى تتضمنها تسميتنا سه . صء « متغيرين » . والتغير ثى الزمان موضوع سنناقشه.
فى مرحلة متأخرة » ولكنه أثر بلا شك أعظ الأثر على فلسفة الحساب التحليل .
فالناس يصورون المتغير لأنفسهم بغير وعى غالبا على أنه يأخذ بالتتالى
متسلسلة من القم "كما يحدث فى مسألة ديناميكية . وعلى ذلك ربما يقولون : كيف
يمكن انتقال س من سسا إلى سد دون أن تمر يجميع القم المتوسطة ؟ وق هذا
الانتقال أليس يحب وجود قيمة تالية تأخذها س عند أول تركها قيمة منا, ؟ فكل'
شى ء يتصور على مثال الحركة الى يفرض فيا مرور نقطة يجميع الأوضاع المتوسطة
طربقها . ولا أريد أن أقرر الآن أتكون هذه النظرة عن الحركة صحيحة أو لا ؛
ولكنها على أى حال بعيدة عن موضوعنا حيث يكون الأمر متعلقا بنقطة أساسية
فى نظرية المتسلسلات المتصلة : ولا بد من البت فى خواص مثل هذه المتسلسلات
قبل التطلع إلى الحركة لتأبيد وجهات نظرنا . ولنرجع إلى كوهين فأقول : إى ٠
أعترف أنه يلوح عندى من الواضح أن المقدار المركز شىء #تلف بالكلية
عن المقدار الممتد اللانبائى الصغر : لآن هذا يجب دائما أن يكون أصغر من
المقادير الممتدة المتناهية . فيجب حينئذ أن يكون من نفس النوع وإباها ء أما
لمقادير المركزة فيظهر أنها لا تكون أبدا بأى مععى أصغر من أى مقادير ممتدة .
وبذلك يظهر أن النظرية الميتافيزيقية الى علينا أن ننقذ بها اللامبائيات الصغر تخلو
رياضيا وفلسفيا من الأسس الى يؤيدها .
4" بذلك لا يمكن أن نوافق على التلخيص التالى لنظرية كوهين ( صفحة
4 : «غاية ما أطلبه أن أتمكن من وضع عنصر بذاته ولذاته نناظر « أداة
فكر » الحقيقة . ويحب أن ننصب أولا أداة الفكر هذه كى نتمكن من النفاذ
إلى ذلك التركيب مع الحدس . أى مع الوعى بأنه معطى . الذى يكمل فى مبدأ
المقدار المركز . هذا الافتراض السابق للحقيقة المركزة كامن فى بجميع المبادىء »
ويجب لذيك أن يجعل مستقلا . هذا الافتراض السابق هو معى الحقيقة ٠ والسر
فى تصور التفاضل » . والذى يمكن أن نوافق عليه . والذى فيا أعتقد يقوم فى
ليل
خلط فى أساس العبارة المذكورة: هو أن كل متواصل يحب أن يتكون مس عئاصر
رحدو ل ا رأينا من قبل لن تحقق دالة .ى سء » . صء الى تع ى
مباحث الحساب التحليل القديمة . وكذلك لا يمكن أن نوافق على قوله ( صفحة
4 : ,| أن هذا المتناهى ( أى ذلك الذذى هو موضوع العلم الطبيعى ) يمكن
أن يظن بأنه مجموع تلك الحقائق اللامهائية الصغر المركزة » بأنه تكامل معين» لأن
التكامل المعبن ليس مجموع عناصر متواصل ٠ على الرغم من وجود مثل هذه
العناصر : مثال ذلك أن طول منحى "كما نحصل عليه بالتكامل ليس مجموع
نقطة؛ بل بالضبط وفقط نباية أطوال المضلع المرسوم داخله . والمعبى الوحيد الذى
يمكن إعطاؤه لمجموع نقط المنحى هو الفصل المنطى الذى إليه تنتمى كلها .
أى المنحى نفسه لا طوله . وجميع الأطوال مقادير انقسام امتدادات ٠ وجميع
الامتدادات تتكون من عدد لا نهانى من النقط . وأى امتدادين منبيين فلهما نسبة
متناهية بين أحدهما والآخر . وليس ثمة شبىء كالامتداد اللانهائى الصغر » وإن”
وجد فلن يكون عنصراً من المتواصل . والحساب التحليى لا يحتاجه ٠ وافتراض
وجوده يفضى إلى متناقضات . وفما يختص بالفكرة القائلة بأنه فى كل متسلسلة
لايد من ررق عندود نتافة .ققد يننا قن البانت الأخر ين الخزو القاليك نا
تتطلب استخداماً غير مشروع للاستنباط الرياضى . وبناء على ذلك لا بد من
اعتبار اللامبائيات الصغر من جهة تفسيرها للاتصال أنها غير ضرورية ٠ ومضللة .
ومتناقضة مع ذانها .
الباب الثانى والآر بعون
فلسفة المتواصل
لض كانت لفظة «الاتصال» ب سدم تحمل لدى الفلاسفة ونخاصة
منذ زمن هيجل معى لا يشبه أبداً ذلك الذى خلعه عليها كانتور . وى ذلك يقول
هيجل )١! : و للكمية كما رأينا مصدران : الوحدة المطلقة عنصن عم«توساء»ه »
والتطابق أوالتساوى بين هذه الوحدات. فإذا نظرنا فى علاقتها المباشرة بنفسهاء أو فى
خاصية العينية الذاتية وعمعصهفاء: الى نظهرها بالتجريد» وجدنا الكمية مقداراً
و متصلا ) كنامنصنكده0) . أما عندما ننظر ق نخاصينها الأخرى وهى الواحد
الذى تستلزمه » فهى مقدار « منفصل ) عنعووز ») . وعندما نتذاكر
أن كلا الكمية والمقدار عند هيجل يعى هما « العدد الأصلى » ٠ فقد نظن أن
قوله يريد به ما يأق : و كثير من الحدود معتيرة” على أن لها عدداً أصليا يحب أن
تكون كلها أعضاء فى فصل واحد . وبمقدار ما يكون كل مها جرد حالة من
فصل التصور ؛ فلا يتميز أحدها عن الآخر » ومن هذا الوجه يسمى الكل الذى
تركب منه ( متصلا ) . ولكن بالنسبة لكثرتها فيجب أن تكون حالات « متباينة »
لفصل التصور ؛ ومن هذا الوجه يسمى الكل الذى تتركب منه ٠ منفصلا » . الحق
إنى بعيد كل البعد عن إنكار - الواقع أتى أزعم بشدة أن هذا التقابل بين
التطابق والتعدد فى مجموعة يكوّن مشكلة أساسية فى المنطق - بل لعلها المشكلة
الأساسية فى الفلسفة . ولأمها أساسية فلا تزاع أنها داخلة فى دراسة المتواصل الرياضى
كا تدخل فى كل شىء آخر . ولكن ليس ها وراء هذا الارتباط أى علاقة خاصة
بالمعبى الرياضى للاتصال » كا يمكن أن نرى على الفور أنه لا صلة لها
أبا كانت بالترتيب . وفى هذا الباب لن نناقش إلا المعنى الرياضى . وإما نقلت
نص المعنى الفلسى لأقرر نبائيا أنه ليس هنا موضع للبحث . ولا كانت المنازعات
حول الألفاظ قليلة الحدوى فلا بد أن أطلب من الفلاسفة أن يجردوا أنفسهم مؤقتا
(١ 0 188 لم صمل افصهء 1 و'معوالة؟؟١ .0ه 5 نذهما والمدد
٠
0
من الروابط العادية ببذه اللفظة . وألا يجيزوا لا من الدلالة سوى الحاصل عن
تعريف كانتور .
5 2 عندما نقصر أنفسنا على المتواصل الحسانى ندخخل فى نزاع بطريقة
أخرى مع مفاهم سابقة متداولة . ويلاحظ بوانكاريه''" بحق عن المتواصل الحسانى
أنه : ٠ المتواصل المتصور على هذا النحو ليس شيئا آخر سوى مجموعة من الأفراد
مرتبة بنرتيب معين ء وهذه الأفراد يح ألما لا نبائية فى العدد » ولكن
الواحد منها يقعم خارح الآخر . وليس هذا هو التصور المألوف الذى نفرض
فيه فها بين عناصر المتواصل ضرباً من الرابطة الوثيقة تجعل منها كلا ليست النقطة
ليه اس الحط بل الحط أسبق من النتقطة . وإذا رجعنا إلى الصيغة المشهورة :
المتواصل وحدة" فى كثرة رونا ادمم » رأينا أن الكثرة وحدها هى الموجودة
أما الوحدة فقد اختفت »2 .
ولقد ظل دائما الموضوع مفتوحا للبحث : هل المتواصل مركب من عناصر .
وحتى حين أجيز أن يكون مشتملا على عناصر ٠ فقد قيل غالبا إنه ليس ١ مركبا )
من هذه العناصر . وهذه الوجهة الأخيرة من النظر ذهب إليها حى أعظر مؤيد
العناصر فى كل شىء مثل ليبنتز'"' . غير أن جميع هذه الوجهات من النظر إنما
تكون ممكنة فقط بالنسبة لمثل هذه المتواصلات كالمكان والزمان . والمتواصل الحسانى
موضوع مختار بواسطة التعريف : ويتكون من عناصر بمقتضاه : ومن المعروف
أن حالة واحدة على الأقل تتضمنه هى بالذات حالة قطع الأعداد المنطقة .
سأذهب فى الحزء السادس من هذا الكتاب إلى أن الفراغات هى أمثلة أخرى
للمتواصل الحسانى . والسبب الرئيسى فى النظريات البارعة والمتناقضة عن المكان
والزمان واتصالهما » تلك النظريات الى صاغها الفلاسفة » هو المتناقضات المرعومة
ف المتواصل المركب من عناصر . والقضية المطروحة فى هذا الباب هى أن متواصل
كانتور يخلو من المتناقضات . وهذه القضية كما هو واضح يحب أن تتقرر على
أسس ثابتة قبل أن نتمكن من الموافقة على إمكان أن يكون الاتصال الزمكانى من
م ام مسمس جعي سبي يجيه مس ست مس ب .اس بسع يه سس
20-00)
0 ( انظر للمؤلث 16 .جهطة بعتمطامط إه برازمدماة!م +11
.2.26 1 .له( به1أمة4ة عل ء عماوتأسصطمةن14 عل عنعلط
0"
النوع الكانتؤرى . وى هذه الحجة سأفترض أن قضية الباب السابق مبرهن عليهاء
وهى أن الاتصال الذى ستناقشه لا يتطلب التسلم باللانبائيات الصغر بالفعل .
0" فى هذا العالم المواتى لست تجد شيئا أكر هوائية من الشهرة الى
يظفر بها الكاتب بعد وفاته . ن أبرز ضحايا فقدان الشبرة بسبب نقص الحكم
هو زينون الإيلى» الذى بعد أن ا أربع حجج كلها دقيقة وعميقة إلى غير حد »
خا يل خا دوين اياده لمطاطاير ناليس وى جرد مهرج بارع 2
وأن حججه كلها مغالطات . وبعد أ!: فى عام من الرفض المستمر أعيد لهذه المغالطات
اعتبارها » وجعلت أساس نمبهضة رياضية على يد أستاذ ألمانى أكبر الظن أنه م يحلم
أبدا بوجود أى ارتباط بينه وبين زينون . ذلك أن فتسرشتراس بعد نفيه الحازم
لجميع اللانبائيات الصغر بين آخر الأمر أننا نعيش فى عام لا متغير» وأن السهم
فى كل لحظه من انطلاقه ساكن حقا . النقطة الوحيدة الى لعل زينون أخطأ فيها
هى استنتاجه ( إن كان قد استنتج ) أنه حيث لا يوجد تغير ١ فينبغى إذن أن
يكون العالم فى نفس الحالة فى وقت كما يكون فى وقت آخر . هذه النتيجة لا تترتب
بأى حال على حججه . وف هذه النقطة نجد الأستاذ الألمانى أكثر إنشاء من
اليونانى البارع . ولا كان فيرشتراس قادرأ على إلباس آرائه ثوب الرياضيات » حيث
تستبعد الألفة" بالحق الأفكار المتحيزة العامية الناشئة من الفطرة السليمة » فقد
استطاع أن يخلع على قضاياه ما يبدو على التفاهات من هيئة محمرمة . وإذا كانت
النتيجة الى النهى إليها أقل ببجة عند تحب العقل من تحدى زينون الحرىء .
على كل حال قدر أكثر من الحساب يرضى جمهور الأكاديميين من الئاس .
لما كانت حجج زينون تتصل بوجه خاص بالحركة ؛ لذلك كانت على ما
هى عليه غير داخلة فى عرضنا الحاضر . ولكن من المفيد ترجمتها بقدر الطاقة .
إلى لغة حسابية!"" .
م9" - الحجة الأولى : وهى القسمة الثنائية . تقول : « لا توجد حركة »
لآن ما تعر لابه أن يلخ منتصف طريقه قبل أن يبلغ آخره » . بعبارة أخرى
1 )00 لأف لست باحثاً يونانياً فلا أز زعم لنفسى معرفة مراشرة ها الذكرف يدون ثعلا أو 'قضندة .-وصورة
حججه الأربعة ال أستخدمها مستمدة من المقالة الطامة للأستاذ تويل فصعهسجعد مالك امع سمط عط»
1 -- ج10 لوم 1١ .1أن ١ ,ملعقلط عل أعطممنسإؤدافاا مل مبسعة! * “نان 'ل صمحث 2 ع1 وهذه الحجج على أى
حال جديرة بالنظر : وا كنت آخذها على أنب! جرد نص للمناقشة . فصحب التارعطية قليلة الأهمية .
"١
أى حركة مهما كانت نفرض وقوعها . فإنها تفترض من قبل حركة أخرى + وهذه
بدورها حركة أخرى . وهكذا إلى ما لا مباية . وعلى ذلك هناك تراجع لانبالى ى
محرد فكرة أى حركة معينة . هذه الحجة ولو أنه يمكن وضعها ى صورة حسابية
إلا أنها تبدو حيئئذ أقل استحسانا . ليكن متغير س قابل لجميع القم ا حقيقية
عندئذ فصل قم سه كل . ١٠١ ٠١ أو المنطقة ) بين نبايتين معلومتين مثلا بين (
لانهائى أجزاؤه سابقة منطقيا عليه . لآن له أجزاء ولا يمكن أن يوجد إذا نقص
٠ تفترض قبلا الأعداد من ١ إلى ٠ أى جزء من الأجزاء . على ذلك الأعداد من
إلى ! » وهذه تفترض قبلا الأعداد من ل . وهكذا . ومن ثم يلوح أن هناك
تراجعا لانبائيا فى فكرة أى كل لامتناه . واككن بدون هذه الكلات اللامتناهية
لا بمكن تعر يف الأعداد الحقيقية . وينبار الاتصال الحسانى الذى ينطبق على
متسلسلة لامتناهية .
هذه الحجة بمكن الرد عليها بطريقتين يبدو لأول وهلة أن أى طريقة مهما
كافية » غير أن كليهما ضرورى فى الحقيقة . فأولا كن أن نميز بين نوعين من
المُراجع اللانهائى أحدها لا ضرر منه . وثانيا يمكن أن نميز نوعين من الكل :
امجموعى ولتوزيعى . وتقرر أنه ى النوع الثانى ليست الأجزاء المتساوية
اللركيب مع الكل سابقة عليه منطقيا . ولا بد أن نشرح هاتين النقطتين كل
مهما على الفراد .
4 - التراجع اللابائى قد يكون على نوعين . فى النوع المععرض عليه
تلثم قضيتان أو أكثر لتكوين معنى قضية ما , ومن هذه المكونات يوجد واحد
على الأقل معناه مركب كذلك + وهكذا إلى ما لا مباية . وتنشأ عادة هذه الصورة
من النراجع من التعاريف الدائرية . مثل هذه التعاريف قد تمد بطريقة شبيمة بتلك
الى فيها تنشأ الكسور المتصلة من المعادلات الثر بيعية . ولكن فى كل مرحلة الحد
المطلوب تعريفه سيعود إلى الظهور ٠ وحينئذ لا بتتج التعريف . خل مئلا ما بأ :
يقال إن شخصين عندهها نفس الفكرة عندما تكون أفكارة.! متشابهة . وتكون
الأفكار متشاءبة عندما تشتمل على جزء متطابق » . فلو صح أن الفكرة لا جزء
ليس فكرة . فلا اعتراض منطقيا على مثل هذا التعريف . أما إذا كان جزء الفكرة
94
فكرةعندئذ فى احالة الثانية حيث يقع تطابقالأفكار : يجب أن يستبدل التعريف
وهكذا . وبذلك حيمًا كنا بصدد « معنى » قضية » فالراجع اللامبائى رع
اعيراض » ما دمنا لا تبلغ أبدا قضية لها مععى محدد 0 من التراجعات ١
اللانهائية ليست من هذه الصورة . إذا كانت قضية معناها محدود تماماً » وكانت.|
تستلزم ب ؛ ب تستلزم ح : وهكذا كان هذا التراجعاللانهائى من نوع لا اعتراض
عليه ألبتة . وهذا يعتمد على أن اللزوم علاقة تركيبية » وأنه ولو أن ٠ كانت -
جملة من القضايا : وكانت ١ تستلزم أى قضية هى جزء منها ٠ فلا يترتب.
على ذلك بأى حال أن أى قضية تستلزمها ١ هى جزء من ١ . وبذلك ليست هنالك,
ضرورة منطقية كما كان فى الحالة السابقة لتكميل التراجع اللانمائى قبل أن.
تكتسوي: امعو ذا أكن عند أذ نين أن لزوم الأجزاء ى الكل عنما يك
الكل فصلا لا متناهيا من الأعداد هو من هذا النوع الثاذى » فسيفقد التراجع الذى,
بو حا ان عر لقموهاقاي درم
٠ ولكى نبين أن الحالة كذلك يجب اتمييز بين الكلات الى تعرف.
ماصدقيا برالدمهنامع)»ه + أى بعد حدودها ٠ وبين تلك الى تعرف بالمفهوم ,
للقدمتقدم1 ٠ أى فصل الحدود الى لا علاقة ما بحد ما معلوم » أو و بعبارة.
أبسط فصل من الحدود . ( لأن فصل الحدود عندما ال-0
الحدود الى لما فصل العلاقة لفصل تصور "'!) . ولكن الكل الماصدق
الأقل بمقدار ما تستطيع الطاقة الإنسائية أن تمتد هو بالضرورة متناه : 0
لا نستطيع أن نحصى أكثر من عدد متناه من الأجزاء المنتمية لكل » وإذا كان
عدد الأجزاء لا متناهيا وجب أن تعرف بطريقة أخرى خلاف العد . وهذا بالضبط'
ما يفعله فصل التصور : الكل الذى تكون أجزاؤه حدوداً فى فصل يعرف تماما عئدة
تخصيص فصل التصور ؛ وأى فرد محدد '» فإما أن ينتمى أو لا ينتمى للفصل'
المذكور . والفرد من الفصل جزء من كل ماصدقات الفصل . وهو متقدم منطقيا '
على هذه الماصدقات مأخوذة” جملة” . ولكن الماصدق نفسهيقبل التعريف بغير
إشارة لأى فرد متخصص ٠ ويوجد كشىء حقيق حى عندما لا يشتمل الفصل
. اذظر ما سبق الحره الأول البابين السادس والعاشس )١(
هه
على أى حد . فأن نقول عن مثل هذا الفصل إنه لا نهائى هو أن نقول إنه على الرغم
من أن له حدوداً إلا أن عدد هذه الحدود ليس أى عدد متناه - وهى قضية مرة
أخرى يمكن تقريرها بدون تلك العملية المستحيلة من عد جميم الأعداد المتناهية .
وهذه بالضبط هى حالة الأعداد الحقيقية من ٠ إلى ١ ؛: فهى تكون فصلا محدوداً
تعرف معناه ممبى عرفنا الملقصود من 0 العدد الحقيى » ١٠٠ » وبين :ما أعقناء
الفصل الخاصة » والفصول الصغيرة الى تحتويها فليست متقدهة منطقيا على الفصل .
وهكذا يقوم التراجع اللانهائى على مجرد هذه الحقيقة وهى أن كل قطعة من الأعداد
الحقيقية أو المنطقة فلها أجزاء هى بدورها قطع . ولكن هذه الأجزاء ليست
منطقيا متقدمة عليها » ولا ضرر ألبتة من التراجع اللانهائى . وبذلك يقوم حل
الصعوبة على نظرية الدلالة وتعريف الفصل بالمفهوم .
. حجة زينون الثانية هى الأشهر : وهى المتعلقة بأخيل والسلحفاة - #١
وتجرى على هذا النحو : « الأبطأ لن يلحقه الأسرع أبدا » لآن المطارد يجب أولا
. » أن يبلغ النقطة الى منها رحل المارب : وبذلك يبى الأبطأ بالفرورة داتما متقدما
عند ترجمة هذه الحجة إلى لغة حسابية يتبين أنها متعلقة بترابط الواحد بالواحد
لفصلين لا متناهيين . فإذا كان على أخيل أن يدرك السلحفاة » فلا بد أن يكون
طريق السلحفاة جزءاً من طريق أخيل . ولكن ما دام كل منهما فى كل لحظة عند
نقطة معينة من طريقه » فالا نية تقرر ترابط واحد بواحد بين أوضاع أخيل
وبين أوضاع السلحفاة . ورتب على ذلك أن السلحفاة فى أى وقت معلوم تمر
بعد من المواضع يساوى بالضبط ما يمر به أخيل . وعلى ذلك - وبذلك نرجو أن
. نننهى إلى نتيجة - من الخال أن يكون طريق السلحفاة جزءاً من طريق أخيل
س ء ” 4+١ هذه النقطة ترتيبية يحتة ويمكن توضيحها بالحساب . خذ مثلا
سه توجد ١ + ١1[ وكلاهما داخلان . ولكل قيمة ١٠١ س» واجعل سء تقع بين +
قيمة واحد ولا غير ! ” + س . والعكس بالعكس . على ذلك كلما تقدمت سه
سه هو نفس عدد القم الى ١ + ١ كان عدد القم الى تأخذها ١ إلى ٠ من
وتذهى عند * : أما ؟ + سح ١ س بدأت من ” + ١ تأخذها ؟ + س . ولكن
فقد بدأت من ؟ وتنهى عند " . بذلك يجب أن تكون قم ١ + سه نصف قم
اح
و +؟ س . هذه الصعوبة العسيرة جدا حلها كانتور كما رأينا » ولكن لما كانت
تتعلق بفلسفة اللامباية أكثر من تعلقها بلمتواصل فسأرجئ مناقشتها إلى الباب التالى .
ب«مم الحجة الثالثة تتعلق بالسهم . «إذا كان كل شىء ساكنا أو
متحركا فى مكان يساويه : وإذا كان ما يتحرك بتحرك دائما لحظة فالسهم
وهو منطلق لا يتحرك ») . وقد ظن عادة أن هذه الحجة من الشناعة بحيث
لا تستحق مناقشة جدية . وينبغى أن أعترف أن هذه الحجة تلوح لى أنها عبارة
واضحة جدا لحقيقة ابتدائية جدا » وقد كان إغفاها فها أعتقد سببا فى تلك الحمأة
الى تردت فيها طويلا فلسفة التغير . وسأعرض فى الحزء السابع من هذا الكتاب
نظرية" عن التغير يمكن أن تسمى « ستاتيكية » ما دامت تجيز ملاحظة زينون
الصائية . أما فى الوقت الحاضر فأود أن أحجب الملاحظة عن أى إشارة للتغير »
وعندئذ نرى أنها أمر فى غا غاية الأهمية ومن أبسط الأشياء وأعمها تطبيقا » نععى :
0 . فإذا كان سه متغيرا يمكن أن يأخذ جميع
اقم من ٠ إلى ١ » فجميع | اد عتما ممعي ل"
أو ١ ييل كلها ترايت مطاف ا ا ذكر
كلمات قليلة عن المتغير . المتغير تصور أسامى فى المنطق وف الحراة اليومية على
سواء . ومع أنه يكون دائما مرتبطا بفصل هذا . إلا أن ارتباطه ليس مع الفصل »
ولا مع عضو خاص ف الفصل ٠ بل ولا مع فصل كله : وإنما مع « أى » عضو
ا 0 هو « أى عضو ف الفصل » » بل
التصور هو ذلك الذى يدل هذا التصور عليه . ولست فى حاجة إلى التوسع أ
الصعوبات المنطقية على هذا التصور ٠ فقد ذكرنا ما فيه الكفاية عن هذا الموضوع '
فى الحزء الأول . فالرمز المألوف فى الحبر سه مثلا لا يدل على عدد معين ؛ ولا على
جميع الأعداد بل ولا على فصل ٠ الأعداد » . ويمكن أن نتبين هذا بسهولة من
النظر إلى تطابق ما . وليكن
و م" داس" + وس + ١
فهذه دون شك لا تدل على ما قد حصل لو وضعنا بدل س العدد مثلا "41١ ؛
ولو أنها تستلزم أن نتيجة مثل هذا الاستبدال يكون قضية صادقة . ولا تدل كذلك
/”
على ما ينتج بدلا من سه حين نضع فصل التصور العدد » لآننا لا نستطيع أن
نضيف ١ إلى هذا التصور . ولنفس السبب أيضا سه لا تدل على التصور « أى
عدد » » إذلا يمكن إضافة ١ إليه . وإنما تدل على الانفصال المتكون من الأعداد
الأتلفة » أو على الأقل يمكن أن تأخذ هذه الوجهة من النظر على أنها صحيحة
إجمالا ١١ . عندئذ تكون 5 قم سء هى حدود الانفصال » وكل حد مها ثابت .
ش 0 أنها تكون جوهر ما زعمه زيئون من أن السهم
ساكن داتما ,
0# ولكن حجة ز ينون تشتمل على عنصر ينطبق بوجه خاص على
المتواصلات . فى حالة الحركة . تنكر الحجة وجود مثل هذا الشىء وهو « حالة »)
الحركة . فى الحالة العامة لمتغير متصل قد تؤخذ على أنها إنكار للانبائيات
الصغر بالفعل . لأن اللانبائيات الصغر محاولة لأن تخلع على قم متغير التغير الذى
إنما ينتمى إليها وحدها . فإذا تأكد عندنا أن جميع قم متغير ما وات أصبح
من اليسير عند أخذ « أى » قيمتين من هذه القم أن نتبين أن الفرق بينهما متناه
دائما ويئرتب على ذلك عدم وجود فروق لاائية الصغر . فإذا كان س. متغيرا ٠
قد يأخذ جميع القم الحقيقية من ٠ إلى ١ عندئذ إذا أخذنا أى اثنتين من هذه القم
وجدنا أن الفرق بيبمالمتناه » على الرغم من أن سه متغير متصل . حقا قد يكون
الفرق أصغر من الفرق الذى أخذناه ٠ ولكن إن صح هذا لكان مع ذلك متناهيا .
واللباية الدنيا الفروق الممكنة هى صفر . ولكن جميع الفروق الممكنة متناهية» وليس
فى هذا أى ظل من التناقض . هذه النظرية الاستاتيكية للمتغير ترجع إلى الرياضيين »
وغيابها فى زمان زيئون هو الذى أفضى به إلى افتراذى استحالة التغير المتصل بدون
حالة من التغير بما يتطلب اللانهائيات الصغر . والتناقض فى أن يكون الحسم موجودا
حيث هو غير سوجود . ْ
4م" - آخر حجج زيئون هى المقياس . وهى حجة وثيقة الشبه بحجة
استخدمبا فى الباب السابق ضد أولئك الذين يعتبرون ى سه » و صء مسافتين
الحدود متعاقبة . وهى حجة إنما توجه كما بين الأستاذ نويل ( المرجع السابق )١115
)10 انظر الياب الثامن 5 وبخاصة بد 0
58
ضد أوانك الذين يتمسكون باللامنقسمات بين الامتدادات »؛ على حين نصبت'
الحجج السابقة للرد بما فيه الكفاية على أنصار الانقسام اللاجانى . ولنفرض مجموعة
من الأوقات المنفصلة والمواضع المنفصلة » حيث الحركة تقوم على أن الحسم فى
وقت يكون فى أحد هذه المواضع ل ل ا ش
ثم تخيل ثلاثة خطوط متوازية مركبة من النتقط إعانا عاج وفلؤان»
حاء :ءاب ء ح”»ء و على التوالى . (١ ناح و
افرض أن الحط الثانى يحرك فى الحظة واحدة ا 3 3 1
جميع نقطه إلى العين بموضع واحد » على حين ٍ 7 2 7
محرك اللحط الثالث جميع نقطه بموضع واحد إلى : 9 3
الشهال . عندئذ ولو أن اللحظة لا منقسمة إلا أن 0 ركنت 0
ح< الى كانت فوق ح وأصبحت الآن فوق 1 | ٠ ٠.06.0 ٠.
لا بد أن تكون قد مرت ب ب ف أثناء اللحظة . الام اء
إذن اللحظة منقسمة » خلافا للفرض . هذه الحجة هى فرضاً تلك الى أثبت بها
: . و .
الباب السابق أنه إذا وجدت حدود متعاقبة إؤن -7 - + ١ دائما ؛ أو بالأحرى
2
01 ف - و
هذه هى الحجة مأخوذة مع لحظة ما فيها -- > ؟ . ويمكن وضعها على النحو
طَُ
سس
ص 0 00
التالى : ليكن ص, » مل دالتين ( س » 0 داع --ع- ١ . إذن
3 (صه م[ ) - 5 » مما يتناقض مع المبدأ القائل بأن قيمة كل مشتفة يحب
8
الحجة بالصورة الى وضعها زيئون » بقوله إن 1ع ب لا تمر إحداهما بالأخرى
أصلا'". لأن اللحظات إذا كانت لا منقسمة - وهذا هو الفرض - فكل ما يمكئنا
210 6 .ص ,1 .آم بعاممةكةة اء عبوأورطمة3246)6 عل عنصع18
أن تكون + ١ . ويرد الأستاذ إفلين وهو من أنصار الامتدادات اللامنقسمة على
4
قوله أنه عند اللحظة الى تكون فيها 7١ فوق ١ تكون عند اللحظة التالية < فوق 71 »
ولم يحدث شىء بين اللحظتين . وأن نفرض أن 1 » ب قد عبرا معناه أننا نثبت
المطلوب برجوع مستتر لاتصال الحركة . وهذا الرد صحيح فا أظن فى حالة الحركة .
وكلا الزمان والمكان قد نذهب بغير تنافض إيجالى إلى أمهما منفصلان بالسك بدقة
بالمسافات بالإضافة إلى الامتدادات . عندئذ تصبح الهندسة والكيئاتيكا والديناميكا
باطلة » ولكن ليس مة سبب وجيه جدا للاعتقاد أمها صواب . أما فى حالة الحساب
فالأمر مختلف » إذ لا يتطلب أى سؤال تجريى عن الوجود . وى هذه الحالة
كا نرى من الحجة السابقة عن المشتقات تكون حجة زينون سليمة تماما . فالأعداد
أشياء بمكن أن تقرر طبيعتها بلا نزاع . وصور الاتصال المتعددة الى تقع بين الأعداد
لا بمكن إنكارها بغير تناقض إيحالى . ولهذا السبب كانت مناقشة مشكلة الاتصال
فى ارتباطها بالأعداد أفضل من مناقشها فى ارتباطها بالمكان والزمان والحركة .
هلم رأينا أن حجج زينون ولو أنما تبرهن الشى الكثير لا تبرهن أن المتواصل
كما نتعرف عليه لا بحوى أى متناقضات أيا كانت . ومنذ أيام زينون لم تتسلح
المجمات الموجهة ضد المتواصل فما أعرف بأسلحة جديدة أو أقوى . فلم ببق أمامنا
سوى أن نذ كر بعض ملاحظات قليلة عامة .
' الفكرة الى يملع عليها كانتور اسم المتواصل » قد تسمى بالطبع بأى اسم
آخر من القاموس أو من خارجه ؛ وكل إنسان حر أن يقول إنه هو بالذات يعنى
بالمتواصل شيئا #تلفاً كل الاختلاف . ولكن هذه المسائل اللفظية لا جدوى منها .
إن فضل كانتور لا يقوم فى أنه عبر عما يعنيه غيره من الناس ٠ بل يقوم فى أنه
0 يحخبرنا ما يعنيه هو وهى مزية تكاد تكون فريدة حيث يتعلق الأمر بالاتصال .
فقد عرف بدقة وعز م فكرة" ترتيبية بحتة تخلو كما نرى الآن من المتناقضات » وتكى
الجميع التحليل والندسة والديناميكا . ولقد كانت هذه الفكرة مفروضة فى أساس
الرياضيات الموجودة حينئذ » ولو أنه لم يكن من المعروف بالضبط ما الذى
كان مفروضاً . وقد نجح كانتور بوضوحه الذى لا يكاد يبارى فى تحليل الطبيعة
الشديدة التعقيد للمتسلسلات المكانية الى بها 15 سترى فى الحزء السادس فتح
الباب أمامثورة فى فلسفة المكان والحركة. والنقط البارزة فى تعريف المتواصلهى ( )١
7
الارتباط بمذهب البايات (؟) إنكار القطع اللانمائية الصغر . فإذا أخذنا فى باليا
هاتين التقطتين ألنى الضوء على فلسفة هذا الموضوع بأسره .
«سم - إنكار القطع اللانبائية الصغر يحل نقيضة” ظلت عرضة
للمهانة زمنا طويلا: وأعنى ببذه النقيضة أن" المتواصل بشتمل ولا يشتمل على عناصر
فى وقت واحد . ونحن نرى الآن أن كلا الأمرين ربما قيلا ولكن على معنيين
مختلفين . فكل متواصل فهو متسلسلة يتكون من حدود » والحدود إن" كانت
لا منقسمة فهى على أى حال ليست منقسمة إلى حدود جديدة من المتواصل .
وببذا المعبى يوجد فى المتواصل عناصر . أما إذا أخذنا حدوداً متعاقبة مع علاقنبا
اللاميّاثلة باعتبار أنها تكوّن ما عساه أن “يسمى ( ولو أن ذلك ليس بالمعى الم كور
فى الحزء الرابع ) عنصرا ترتيبيا » عندئذ لا يكون للمتواصل بهذا المعبى عناصر .
فإذا أخذنا امتدادا على أنه متسلسل, أساساً بحيث يحب أن يتكون من حدين على
الأقل عندئذ لا توجد امتدادات أولية . وإذا كان المتواصل من النوع الذى فيه
مسافة » فكذلك لا توجد مسافات أولية . ولكن لا يوجد فى أى حالة من هاتين
الحالتين أئ أساس منطى العناصر : متها الحاجة إلى حدود متعاقبة ؟ا رأينا ىف
الحزء الثالث من استخدام غير مشروع للاستنباط الرياضى . هذا وبالنسبة
المسافة » فليست المسافات الصغيرة بأيسط من الكبيرة ٠ بل كلها ؟ا رأينا فى
الحزء الثالث بسيطة على حد سواء . ولا تفترض قبلا المسافات الكبيرة مسافات
صغيرة ح لأنما من حيث إنبا مقادير لا امندادية ».ريما وجدت حيث ل توجد
مسافات أصغر ألبتة . وعلى ذلك ٠ التراجع اللانبائي من مسافات أو امتدادات
أكبر إلى أصغر هو من النوع الذى لا ضرر منه : وفقدان العناصر لا يجب أن |
يحدث لنا أى انزعاج منطى . وبناء على ذلك تحل النقيضة ٠ ويخلو المتواصل بتانا
على الأقل عقدار ما أستطيع أن قي من 'اللتناقضات::
ولم يبق إلاأن نبحث هل هذه النتيجة نفسها تصح بالنسبة للامبانى؟ » وهو
بحث نسدل به الستار على الحزء الخامس من هذا الكتاب .
الباب الثالث والآر بعون
فلسفة اللانهاية
ل مناقشاتنا السابقة + اتاد إل د
7 5 يل الات" أن أحث 1 اانا أل
يمكن أن نجد فيها أى تناقض ؟
كقاعدة عامة لم ير أولئك الذين اعترضوا على اللانهاية أمها مما حدر الوقووف
عندها لعرض ما فيها من متناقضات مضبوطة : إلى أن جاء كانط وفعل ذلك »
فكان ذلك من أعظم حسناته . والنقيضة الرياضية الثانية المتعلقة أساساً بالمتواصل
. أله عناصر أو لا . فقد حلت فى الباب السابق بافتراض أنه ربما وجد اللامتناهى
بالفعل أى أنها “حلت بردها إلى مسألة العدد اللامتناهى . والنقيضة الأول تتعلق
باللامتناهى ولكن بصورة زمانية أساساً . لذلك لم يكن لهذه النقيضة مدخل بالنسبة
د 1 ٠ ويؤيد
كو م
دائما على مقربة من أسلاك البرق . لأنه لو وقع الأمر على خلاف ذلك ما سمعنا
عنها شيئا . الواقع نستطيع أن نثبت بوجه عام أننا نعرف ما نعرفه . ولكن يبى
موضع نظر أننا لا نعرف ما لا نعرفه . ومن ثم تبى الضرورة إلى الزمان ولم يقم عليها
برهان ,
ا من الفلاسفة . فقّد فحصنا عن أمر زينون فى علاقته بالمتواصل»
وسنبحث التناقض الذى يقوم فى أساس حجة أخيل والسلحفاة بعد قليل . وحاورة
000 ) لأفلاطون ولعلها أفضل جموعة من النقائض كتبت حبى الآن
فلا.مدخل لا ههنا لأنها ندور حول صعوبات أساسية أكير مما له صلة باللاماية .
أما هيجل فإنه لم يزل ينبه على كل كبيرة وصغيرة حتى إذا أعلن منبها عن تناقض
51١
"1١
م نعد نحفل بذلك . وأما عن ليبنتز فهو "كا رأينا يجعل التناقض القائم فى أساس
حجة أخيل ترابط الواحد بالواحد للكل والحزء . الواقع هذه هى النقطة الوحيدة الى
تدور حوفا معظم الحجج المناهضة اللانهاية . وسأضع فما يلى الحجج فى صورة
ملائمة لمعرفتنا الرياضية الحاضرة ٠ وهذا بمنعبى من اقتباس تلك الحجج عن أى
واحد من خدماء المعارضين للااية .
38" - ولنشرع أولا فى عرض موجز للنظرية المثبتة للاعباية الى اننهى بنا
الأمر إلى النظر فيها . إذا سلمنا بفكرة « القضية » و « مكون قضية » على أنهما
من اللامعرفات » أمكن أن ندل بالرمز بي )١( على قضية | أحد مكونانها . نستطيع
بعد ذلك أن نحول | إلى متغير سه » ونعتبر بم ( س) » حيث هي ( سه) أى قضية
مختلفة عن بي )١( إن" ل يكن اختلافا نامآ فيكى أن شيئا آخر ما يظهر فى موضع
| : هذا وي (س) هى الى سميناها دالة قضية . سيحدث بوجه عام أن م ( سه)
صادقة لبعض قم سه وكاذبة لبعضها الآخر . وجميع قم سه الى تصدق عليها.
(س) تكون ما سميناه ٠ الفصل » المعرف بي ( سه ) . على ذلك كل دالة قضية
تعرف فصلا » والإحصاء الفعى لأعضاء الفصل ليس ضروريا لتعريفه . ثم
نستطيع بدون الإحصاء أن نعرف تشابه فصلين : يكون فصلان ى »ف متشابهين
عند وجود علاقة واحد بواحد ع بحيث « س: هى أحدى » تستلز م دائما أن و هنالك
أحد ف له مع س العلاقة ع #وازك هي لعفي تارم واناآنا روماه اد
ى له مع صء العلاقة ع ) . وبعد ذلك ع علاقة واحد بواحد إذا كانت سءغص»
س. ع م[ يستلزمان دائما مع تطابق صء مع ول » سدع ط » صدغ ط
معاً تستلزمان دائما تطابق س. مع صء . وتعرف « سه متطابقة مع ص » بأنها تعبى :-
١ كل دالة قضية تصح على سء تصح كذلك على صء » . ونعرف الآن العدد الأصلى
لفصل ما ى بأنه فصل جميع الفصول المشاببة لى . وكل فصل فله عدد أصلى
ما دام وى مشابه لف » دالة قضية [ ف إذا كان متغيرا . علاوة على ذلك ى نفسه
عضو فى عدده الأصلى ما دام كل فصل متشابها مع نفسه . ويحب ملاحظة أن
التعريف المذكور للعدد الأصلى يقوم على فكرة دوال القضايا ولا يتطلب الإحصاء
فى أى مكان . وبناء على ذلك ليس ثمة سبب لافتراض وجود أى صعوبة بالنسبة
5111
لأعداد الفصول الى لا يمكن عد حدودها بالطريقة المعتادة الابتدائية . والفصول
. يمكن أن تقسم إلى نوعين بحسب ما تكون شبيهة بأجزاء ححيحة بذاتها أو لا تكون »
فى الحالة الأولى تسمى لا متناهية » وى الحالة الثانية متناهية . ويسمى عدد الفصل
المعرف بدالة قضية كاذبة دائما صفرا ( 2٠ ؛ أما | فيعرف بأنه عدد فصل ما ى»
ويكون فيه حد ما س ينتمى اى» بحيث إن ٠ صء هو أحد ى وتختلف ص عن
س2 كاذبة دائما . فإذا كان 2 أ عدد » عرف 3 + ١ بأنه عدد الفصل ى
الذى سء عضو فيه بحيث أن دالة القضية « صء هو أحدى وتختلف صء عن سء »
تعرف فصلا عدده 2 . فإذا كان 2 متناهيا » كان د + ١ مختلفا عن د » وإلا
فلا . هذه الطريقة إذا بدأنا من ٠ حصلنا على متوالية من أعداد . » ما دام 2 يؤدى
إل عد جد و 3 ١+ جن الس إيات أذ جم الأعدادالشية ادي
الى تبدأ من ١ وتتولد بهذه الطريقة فهى مختلفة » وبعبارة أخرى إذا انتمى 2 لهذه
المتوالية » وكان م أحد سوابقها » فالفصل المكون من 2 من الحدود لا يمكن أن
يكون له ترابط واحد بواحد مع م من الحدود . والمتوالية المعرفة على هذا النحو هى
متسلسلة « الأعداد المتناهية » . ولكن لا يوجد أى سبب للظن بأن جميع الأعداد
بمكن تحصيلها هذه الطريقة ِقَه . حقا يمكن إعطاء برهان صورى على أن عدد الأعداد
المتناهية ذائها لا يمكن أن يكون حدا فى متوالية الأعداد المتناهية . والعدد الذى
لا ينتمى هذه المتوالية يسمى ١ لامتناهيا » . والبرهان على أن 2 : د + ١ عددان
محختلفان يعتمد على هذه الحقيقة وهى أن ١ , ٠ أو ١ . 7 أعداد مختلفة وذلك
بواسطة الاستنباط الرياضى ؛ فإذا لم يكن 2 ؛ 2 + ١ حدين فى هذه المتوالية
لم يصح البرهان » وأكثر من هذا هناك برهان مباشر على العكس . ولكن ما دام
البرهان السابق كان معتمدا على الاستنباط الرياضى » فلا يوجد أى سبب ,كنع
من إطلاق النظرية على الأعداد اللامتناهية . فالأعداد اللامتناهية لا يمكن التعيير
عنها كالأعداد المتناهية بطربقة النظام العشرى ٠ ولكن يمكن تمييزها بالفصول التى
تنطبق عليها . وحيث إن الأعداد المتناهية قد عرفت كلها بالمتوالية المذكورة , -إذا
كان فصل" مّاى له حدود ولكها ليست أى عدد متناه من الحدود فله عندئذ عدد
لا متناه وهذه هى النظرية الموجبة للأنباية .
1 11
وما" وجود فصول لامتناهية يبلغ من .الوضوح حد ا يصعب معه إنكارها .
ولا كانت قابلة للبرهان الصورى فقد بحسن البرهنة عليها . وهناك لمان لنطسةا
نجده فى محاورة بارمنيدس ٠ وهو كما يأنى : إذا سلمنا بوجود العدد ١ » عندئذ
هذا العدد له «وجود» » وإذن هناك وجود . ولكن ١ والوجود اثنان » حينئذ
هناك عدد ؟ » وهكذا . من الناحية الصورية لم نبرهن على أن ١ عدد الأعداد
ولكننا نبرهن على أن د هو عدد الأعداد من١ إلى د ٠ وأن هذه الأعداد مأخوذة
مع الوجود تكون فصلا له عدد متناه جديد نحيث 3 ليس عدد الأعداد المتناهية .
١ 0 ليس عدد الأعداد المناهية: وإذا كان 2 - ١ ليس عدد الأعداد المتناهية
فليس د كذلك أيضاً. حينثذ الأعداد المتناهية معوية كلها بالاستنباط الرياضى ف
فصل الأشياء الى ليست عدد الأعداد المتناهية . وما دامت علاقة التشابه
منعكسة بالنسبة للفصول . فكل فصل له عدد . إذن فصل الأعداد المتناهية
له عدد من حيث إنه ليس متناهياً فهو لامتناه . وهناك برهان أفضل من السابق
مشتق من هذه الحقيقة وهى : أنه إذا كان 2 أى عدد متناه . فعدد الأعداد من
٠ إلى د عا فيها ده هوج + ١ : ويترتب على ذلك أن 3 ليس عدد الأعداد ,
ويمكن البرهنة على ذلك مباشرة بترابط الكل والحزء بقولنا إن عدد القضايا أو
التصورات لامتناه 2١١ . لأنه لكل حد أو تصور فكرة تختلف عما هى فكرة له »
ولكنها أيضاً حد أو تصور . ومن جهة أخرى ليس كل حد أو تصور فكرة .
فهناك مناضد ؛ وأفكار عن المناضد وهناك أعداد. وأفكار عن الأعداد وهكذا .
إذن توجد علاقة واحد بواحد بين ال حدود والأفكار . ولكن الأفكار إتما هى بعض
حدود فقط من جميع الحدود . إذن هناك عدد لامتناه من الحدود والأفكار "2 ,
"٠ يجب الاعتراف بأن احهال أن د لكل والحزء نفس عدد ل
يصدم بداهة الفطرة السليمة . وحجة أخيل البى ساقها زينون تبين ببراعة أن وجهة
العرح كي لآنه إنلم يمكن أن يترابط الكل والحزء » حلا حل
١ 0 ( انظر مزل جعأأم عم هسه فى عه 11 لمعطتال»12 :ند ؟ اعالاالهه ا عمل عتحوةورة7 مسوعامظ
6 .دلا تمعاطوع
١ ع ا 1 1 ا
0 0( ئيس من الضرورى أن تغترض ن افكار جيم أخدرد «موحودة0 . 9 تكون جز من
8 ١
. ذهن ماء بل يكى أعا أشياء علائهك
1"
ترتب على ذلك بلا نزاع أنه إذا سارت نقطتان ماديتان فى نفس الطريق بحيث
تتبع إحداهما الأخرى ٠ فالتقطة المتخلفة لن تدرك أبداً المتقدمة . فإن أدركتها
فلا بد أن يكون عندنا بفرض الترابط الأنى للأوضاع تناظر وحيد ومنعكس بين
جميع حدود الكل وبين جميع حدود الحزء . وعندئذ تصبح الفطرة السليمة قى موقف
لا تحسد عليه » إذ علها أن تختاد ب . متناقضة «2:200م زيئون ومتناقصة كانتور
وليس فى نيى تأييد المغالطة لأتى أعتير ألما ينبغى أن تتوارى فق مواجهة البراهين .
ولكننى سأعطى منتاقضة كانتور صورة تشبه صورة متناقضة زينون . نحن نعرف أن
ترسترام شاندى 2١١ برفسدطة صدئون']' استغرق عامين فى كتابة تاريخ أول يومينى
. حياته » وأخذ يندب قائلا” إنه بهذه السرعة نتجمع عنده المادة بأسرع مما يستطيع
أن يبحها » وبذلك لن يصل إلى نباية . وسأذهب إلى أنه لو عاش إلى الأبد دون أن
عل علد + إذن حى. [ذ كانت حبانه فد انكرت قلوءة بالكزادنع "ها ريدت ها
| : بى أى جزء من سيرته دون كتابة . هذه المتناقضة «ه20-دم الى ) تترابط كا 00
ماما مع متناقضة قضة أخيل يمكن أن تسمى على سبيل التيسير بمتناقضة ترسترام شاندى .
وفى الحالات الى من هذا القبيل لن يكون جهدنا فى جعل الحجة صورية
فضلا زائداً . ولذلك سأضع كلا متناقضى أخيل وترسترام فى هيئة منطقية دقيقة .
ش |- )١( يوجد لكل وضع من أوضاع السلحفاة وضع واحد لا غير لأخيل :
ولكل وضع لأخيل وضع واحد لا غير للسلحفاة .
)١( إذن متسلسلة الأوضاع الى يشغلها أخيل لما نفس عدد الحدود
مثل متسلسلة الأوضاع الى تشغلها السلحفاة .
(8) الحزء له حدود أقل من الكل الذى يشتملعلى الحزء ولا يكون مادا معه.
(4) إذن متسلسلة الأوضاع الى تشغلها السلحفاة ليست جزءأ صميحاً من
متسلسلة الأوضاع الى يشغلها أخيل .
ب - )١( ترسيرام شاندى يكتب فى سنة حوادث يوم .
امسن لسع لواتقي ب 5ق ادف يوا بين وات لاق كورام
اسم بطل القصة التو من ترمما جستوس ذناغذاع1"15100' أى المثلث الحكمة ٠. وذلك للسخرية به »
وق ألقّصة ُسمم عن ترسترام قبل مولده أكثر م أسمع دعد مولدة واطلاعه عل العا 5 ) ال مترجم (
(؟) متسلسلة الأيام والسنين ليس لها حد أخير .
() حوادث اليوم النوفى تكتب ف السنة النونية .
(4) أى يوم معين فهو اليوم النوفى لقيمة مناسبة [ 2 .
(9) إذن أى يوم معين سيكتب عنه .
. إذن لن يببى أى جزء من سيرة الحياة غير مكتوب )١(
(7) لما كان هناك ترابط واحد بواحد بين أوقات الحوادث وأوقات الكتابة م
وكانت الأولى جزءاً من الثانية » فالكل والحزء لهما نفس عدد الحدود .
ولنشرع فى صياغة هذين التناقضين بأكثر ما يمكن من التجريد » فنقول :
ليكن ى متسلسلة ملتحمة من أى نوع »؛ وليكن سء متغيراً يمكن أن بأخذ جميع .
لقم فى ى بعد قيمة معنية سنسميها ٠ + وليكن د ( س) دالة أحادية القيمة [ سهء
و سه دالة أحادية القيمة [ د ( س) ؛ كذلك ليكن جميع قم د ( س) منتمية
١ ى » عندئذ تجرى الحجج على النحو الانى :
-١ ليكن د )٠( حداً سابقاً على ٠ ؛ وليكن د ( س.) تكبر كلما كبرت
س.» أى إذا كانت سه ى, س ( حيثى, العلاقة المولدة )فليكند ( سه )ود ( سه ).
ثم ليكن د(س) تأخذ جميع الم فى ى المتوسطة بين أى قيمتين من
قم د ( س ) . عندئذ إذا أعطينا س قيمة ما ! بحيث يكون ٠ و١ ؛ حصلنا على
د( ) - » إذن متسلسلة قم د ( س) ستكون جميع الحدود من د ( ٠ ) إل ١ »
يها متسلسلة قم س ستكون فقط الحدود من ٠ إلى ! الى هى جزء من تلك الحدود
من د (0) إلى ١ . وإذن فأن تفترض أن د ( 1 ) > ١ هو أن تفترض علاقة واحد
بواحد وحد بحد للكل واخزء . وهذا ما يقول زينون والفطرة السليمة باستحالته . ش
ناه ليكن د (س) دالة تكون ٠ عند ما تكون سه ٠ » وتكبر بانتظام كلما .
عندئذ إذا أخذت سء جميع القم بعد ٠ فكذلك تأخذ د وس) ؛ وإذا أعذت
د( س) جميع مثل تلك القمء فكذلك تأخذ س . إذن فصل قم إحداهما مطابق
لفصل قم الأخرى . ولكن إذا كان فى أى وقت قيمة س أكبر من قيمة د ( سه ) »
ما دامت د ( س.) تكبر سرعة منتظمة : إذن سء ستكون دائماً أكبر من د ( سه).
17"
وعلى ذلك لأىقيمة معينة ل سه بكون فصل قم د ( سه) من ٠ إلى د ( سه) جزءاً
حيحاً من قم سه من ٠ إلى سه . ومن ثم نستطيع أن نستنتج أن جميع قم د ( سه )
كانت جزءاً صيحاً من جميع قم سه » وقد رأينا أن هذا باطل .
هاتان المتناقضتان مترابطتان » وكلاهما بالإشارة إلى القطع يمكن تقريرها
بصيغة الهايات . حجة أخيل تبرهن على أن متغيرين فى متسلسلة متصلة يبلغان
. التساوى من نفس الحهة » فلا يمكن أبداً أن يكون لهما نهاية مشتركة . وتبرهن حجة
ترسترام أن المتغير ين اللذين يبدآن من حد مشترك ويسيران فى نفس الاتجاه ولكن
يتباعدان أكثر فأكثر » قد يحددان مع ذلك الفصل المانى . ( الذى ليس من
الضرورى أن يكون قطعة لأن القطع عرفت بأن لها حدوداً وراء نفسها ) . حجة أخيل
تفعرض أن الكل والحزء لا يمكن أن يتشابها » وتستنبط من ذلك متناقضة » والحجة
الأخرى نبدأ من قول منهافت وتستنتج من ذلك أن الكل والحزء قد يتشابهان . ولا بد
لنا من الاعتراف أن هذه الحالة فى نظر الفطرة السليمة من أسوأ الأمور .
0لا يوجد أدنى شك أى الطرق هو الصحيح ٠ إذ ينبغى رفض حجة
أخيل بسبب تناقضها مباشرة مع الحساب » وحجة ترسترام لا بد من قبوها
ما دامت لا تتطلب البديبية القائلة بأن الكل لا يمكن أن يكون متشابباً مع الحزء .
وهذه البديبية كا رأينا جوهرية فى برهان أخيل » وهى بلا ربيب بديبية تستسيغها
الفطرة السليمة . ولكن لا دليل على البديبية سوى الوضوح الذاتى المزعوم »
والتسلم با يفضى إلى متناقضات دقيقة تماماً . وليست البديبية عديمة الحدوى
فقط » ولكبا هادمة [ابياً فى الحساب ٠ ولا شىء يقف فى سبيل رفضها سوى
التحيز السابق . ومن أهم مزايا البراهين أنها تشيع ضرباً من الشلك بالنسبة للنتيجة
المبرهن عليبا . فلم نكد نرى أن تشابه الكل واحزء يمكن البرهنة على استحالته لكل
كل متناه( ٠ حتى لم يصبح من المسهجن أن نفترض ذلك بالنسبة للكلات
اللامتناهية» أما حيث نعجز عن البرهنة على الاستحالة » فلم تكن هناك فى الواقع
مثل هذه الاستحالة . الواقع بالنسبة للأعداد البى نتعامل بها فى حياتنا اليومية ى
)1١( التناهى معرفاً هنا بالآستنباط الريامى لتجنب التكرار
"1
الهندسة » أو الفلك » أو الحسابات . حبى حسابات روكفلر أو وزير الحزانة +
فإن تشابه الكل والحزء مستحيل . وعلى ذلك كان افتراض استحالته دائماً سبل
التفسير . ولكن الافتراض يعتمد على أساس لا يفضل بتاتاً ذلك الذى كان
يعتمد عليه فلاسفة أواسط أفريقيا من أن" جميع الناس زنوج .
5" - ولبيان الفرق بين الكلات المتناهية واللامتناهية قد بحسن أن نشير
إلى أن الكل والحزء حدان يقبلان تعريفين حيث بكون الكل متناهياً » ولا يقبلان
إلا أحد هذين التعريفين فقط على الأقل عملياً حيث يحون الكل لامتناهياً 2٠١ .
والكل المتناهى قد يؤخذ جملة براءب«نمء!ان : كهذه الأفراد وتلك » مثلا )عب »
ح » و ء ه . وقد نحصل على جزء من هذا الكل بعد بعض لاكل الحدود المكونة
للكل . وهذه الطريقة يكون الفرد المفرد جزءأ من الكل » ولا حاجة إلى أخذ الكل أو
الأجزاء كفصلين بل كل منهما قد يعرف با لماصدق » أى بعد الأفراد ٠ يمن
جهة أخرى الكل والأجزاء قد يعرف كلاههما بالمفهوم ٠» أى بفصل التصورات .
ردن در مد نزرد من الأوربيين » لأن كل إنجليزى فهو
أورف + ولكن ليس العكس . ولو أن هذا الأمر يمكن تقريره بالعد” ولكن
لمر لتقريره على هذا النحو . فإذا يحثنا ى الكلات اللامتناهية
يختى هذا التعريف المزدوج » ولا يببى فقط إلا التعريف بالمفهوم . والكل والأجزاء
يحب أن يكون كلاهها فصولا » ويجرى تعريف الكل واخزء بواسطة فكرثى المتغير
واللزوم المنطق . فإذا كان ١ فصل تصورء كان أحد أفراد | حداءً له مع | تلك
العلامة المتخصصة الى نسميها فصل العلاقة . والآن إذا كان ب فصلا آخر بحيث
إنه لجميع قم س « س هو أحد |) تستلزم وس هو أحد ب » عندئذ ما صدق
( أى المتغير س ) يقال إنه « جزء » من ما صدق ن'3!:. فههنا لا حاجة إلى عد
الأفراد » ولم يتعند' لعلاقة الكل وابحزء ذلك المعنى البسيط الذى كان له حيث يتصل
الأمر بالأجزاء المتناهية . فأن نقول الآن إن ١ » ب متشابهان كأننا نقول بوجود
ال حو او ا ا
فى الفصل فا يتا انود ع ص . فإذا كان ص أحد ب » فهناك حد س”
1 اقلق الققرة.
(١ ) انظر 7 11 اكه ركذ بأه'١ ب#تعاسوجه! نه ١11. ,رمعاأهدمامالا. :0 واناما ,مموعم
114
ل ل
إنما يبرهن عليها بالعد . وليس ثمة سبب لافتراض أن العد ممكن .
الكل والحزء بغير عد هو مفتاح هذه المشكلة الغامضة بأسرها اريف اكور
سابقاً والذى برجع إلى بيانو هو التعريف المنطبق طعا وطترورة” عل :الكلات
اللامتناهية . مثال ذلك أن الأعداد الأولية جزء صحيح من الأعداد الصحيحة »:
ولكن لا بمكن إئبات ذلك بالعد » سين . «إذا كان س عدداً
أولياً » كان س عدداً » و ١ إذا كان س عدداً فلا يترتب على ذلك أن س عدد
أول » . أما أن فصل الأعداد الأولية يحب أن يكون مشابياً لفصل الأعداد إما يلوح
مستحيلا” بسبب أننا نتخيل أن الكل والحزء يعرفان بالعد . حى إذا تحررنا من هذه
الفكرة تلاشى التناقض الممروض .
م#«وم من المهم جداً أن نتحقق بالنسبة إلى ى أو ٠ أنه ولا واحد منهما
له عدد يسبقه مباشرة . وهذه الخاصية يشي ركان فيبا مع كافة البايات لأن مهاية
المتسلسلة لا تبسق أبداً مباشرة بأى حد من المتسلسلة الى هى نباية لها . ولكن رى هو
فى ا متقدم منطقياً على اللبايات الأخرى : لآن الأعداد الترتيبية المتناهية مأخوذة
مع رى مع تقدم الصنف الصورى لتوالية مأخوذة مع نهايها » فإذا غاب عنا أن سن
ليس له سابق مباشر برزت جميع ضروب المتناقضات : ولنفرض له العدد الأخير
قبل سه ؛ عندثل له عدد متناه . وعدد الأعداد المتناهية هو له + ٠ ١ الواقع قولنا بأن
ليس له سابق إتما هو يحرد قولنا إن الأعداد المتناهية ليس لا حد أخير . ومع أن
ى يكون مسبوقاً يجميع الأعداد المتناهية » فإنه ليس مسبوقاً مباشرة بأى واحد مها :
فلا عدد بعد .ى . وأعداد كانتور المتصاعدة لها خاصة أنها مع وجود عدد هو الما
بعد عدد معين ٠ فلا يوجد دائماً عدد هو الما قبل . وهكذا يلوح أنه ئمة فجوات
فى المتسلسلة . خذ مغلا المتسلسلة .١ 5 : #... .لم .. . . . الى تكون لامتناهية
وليدن فائحة أخير” م تسلئيلة لخر موجه بطرمو
إلى تساوى الأول فى أنها لامتناهية وليس لما حد أخير . هذه الثانية تأتى تماما بعد
المتسلسلة الأول» ولو أنه لا حد من الأول يتلوى مباشرة: هذه الحالة من الأمور
بمكن أن تواز يها متسلسلة ابتدائية جداً. مثل المتسلسلة البى حددوها العامة هى ١
5
ب حيث بر قد يكون أى عدد صعيح متناه . والمنسلسلة الثانية تأتى كلها
بعد الأول » ولها حد أول معين هو ١ . ولكن لا يوجد أى حد فى المتسلسلة الأمل
يسبق مباشرة ١ . كل ما هو لازم لكى تأنى المتسلسلة الثانية بعد الأول » هو أن
يكون هناك متسلسلة ما تحوى كليهما . فإذا أطلقنا اسم « الحزء الترتيبى » لمتسلسلة
على أى متسلسلة يمكن الحصول عليها بحذف بعض حدود متسلسلتنا دين تغيير
ترتيب الحدود الباقية ٠ عندئذ تكون الترتيبات المتناهية والمتصاعدة جميعاً متساسلة
واحدة علاقها المولدة هى علاقة الكل والحزء الثر: بين بين المتسلسلة الى تنطبق عليها
اللرتيبات المتعددة . ذإذا كان بم أى ترتيبى متناه كانت المتسلسلات من الصنف هم
أجزاء ترتيبية من متواليات . وبالمثل كل متسلسلة من الصنف » + ١ تحوى متوالية
كجزء ترتيى . والعلاقة ( جزء ترتيى ١ ندم اهمزلءه متعدية ولا معائلة » وهكذ|
تنتمى الترتيبات المتناهية والمتصاعدة جميعاً لتسلسلة واحدة ٠ ووجود ب ( بالمععبى
الرياضى للوجود) ليس عرضة للسؤال ؛ ما دام بى هو صئف الترتيب المقدم
بالأعداد الطبيعية ذائها . وإنكار معناه إثبات وجود عدد متناه أخير - وهى نظرة
تؤدى كا رأينا فوراً إلى متناقضات لا شك فيها ٠ فإذا سلمنا بذلك » كانت ى + ١
هى صنف متسلسلة اللرتيبات المتضمنة ؛ أى المتسلسلة الى حدودها هى جميعاً
متسلسلة الأعداد الصحيحة من ١ إلى أى عدد متناه مأخوذة مع كل متسلسلة
الأعداد الصحيحة » ومن ثم يسهل نشوه جميع السلم اللامهانى للأعداد المتصاعدة .
415 الاعتراضات العادية على الأعداد اللامتناهية ٠ والفصول ء
والمتسلسلات . والفكرة القائلة بأن اللامتناهى من حيث هو كذلك متناقض بذاته »
يكن بذلك أن تستبعد على أنها لا أساس لا . ومع ذلك نتبى صعوبة عسيرة جداة .
مرتبطة بالتناقض الذى ناقشناه فى الباب العاشر . هذه الصعوبة لا تتعلق باللامتناهى
من حيث هو كذلك » بل فقط ببعض فصول لامتناهية كبيرة جددًا . اختصار
القول يمكن تقرير الصعوبة على النحو الآنى : أعطى كانتور برهاناً "١ على أنه
لا يمكن وجود عدد أصلى هو الأ كبر ؛ فإذا فحصنا هذا البرهان رأيناه يقرر أنه إذا
كان ى فصلا ء كان عدد الفصول النحوية فى ى أكبر من عدد حدود ى » أو
0
)00 الواقع أعطى كائتور برهاذين » ولكذ؛ سنجد أن أحدها ليس مقئعاً .
فق
( وهو ما يكافئه) إذا كان | أى عدد ؛ كان ؟! أكبر من ١ . ولكن هناك
بعض الفصول من السهل أن نعطى بشأنها برهاناً ظاهر الصحة على أن فيها
ا من الحدود . وهذه هى مثل فصل جميع الحدود » أو فصل جميع
[ْ لمعا 21 فصا ل جميع القضايا . وهكذا يلوح “كنا لو أن برهان كانتور كان
ينبغى أن يشتم على افتراض م . ولكن عند ما
0 استدلال برهانه على الحالات المذكورة » ثرى أننا نصدم بتناقضات معينة
أحدها ما ناقشناه فى الباب العاشر مما يعد مثلا عليها ('2 . وتنشأ الصعوبة حيها نحاول
البحث فى فصل جميع الأشياء بالإطلاق ٠ أو بأى فصل يساويه فى كثرة
العدد ولكن بالنسبة لصعوبة مثل هذه الوجهة من النظر ٠ قد ميل إلى
القول بأن تصور جملة الأشياء » أو كل عالم الأشياء والموجودات » أمر من
بعض الوجوه غير مشروع » وتخالف بالذات للمنطق . ولكن ليس من المرغوب فيه
اتخاذ مثل هذا الإجراء اليائس ما دام هناك أمل فى إيجاد حل أكير تواضعاً .
ولنبدأ بقولنا : إننا قد نلاحظ أن فصل الأعداد ليسكا عسى أن يفترض--
أحد الفصول الى تقع فيها الصعوبات ٠ إذ بين الأعداد المتناهية؛ إذا كان ه عدد
الأعداد » وجباستنتاج أن 2 ١ أكبر الأعداد » وإذن لا يوجد عدد ه على
الإطلاق . ولكن هذه خاصية للأعداد المتناهية . وعدد الأعداد إلى . ومشتملا
عليه هو !. ٠ ولكن هذا أيضاً هو عدد الأعداد إلى أم ومشتملا عليه » حيث م
أى عدد ترتيى أو أى ترتبى متناه ينطبق على متسلسلة معدودة محكمة الترتيب . وعلى
ذلك عدد الأعداد لطي عليه: هو عادة أصغر من ١ حيث! عدد لا متناه .
وليس ئمة سبب لافتراض أن عدد جميع الأعداد هو أكبر عدد . فعدد الأعداد
' ربما كان أصغر م١ أكبر عدد . ولا ينشأ أى تناقض من هذه الحقيقة ( إن" كانت
هذه حقيقة) وهى أن عدد الأفراد أكبر من عدد الأعداد .
ولكن مع أن فصل الأعداد لا يسبب أى صعوبة فهناك فصول أخرى
من الصعب جدا البحث فيها . ولنبدأ أولا بفحص براهين كانتور من أنه لا يوجد
)١( ذه الطريقة اكت : هذا التذاقفى » وقد أعطيت تذاقفاً شبيباً ذلك فى آخر هذا الكتاب
ق الملحق ب .
يفف
عدد أصلى هو الأكبر » 0
م4" فق أول براهين كانتور ١ : تعتمد الحجة على الحقيقة المفروضة من"
أن هناك تناظر واحد بواحد بين البرتيبيات والأصليات'' . فقد رأينا عند النظر
فى عدد أصلى من متسلسلة من الصنف الذى يمثله أى عدد ترتيى ؛ أن عدداً
لامتناهياً من الترتيبات يناظر عدداً أصليا" واحداً -- مثال ذلك جميع الترتييات من
الفصل الثانى التى تكوّن مجموعة غير معدودة ٠ تناظر العدد الأصلى المفرد ١ . ولكن
هناك طربقة أخرى للترابط فيها ترتيى واحد فقط يناظر كل أصلى . هذه الطريقة
تنتج من اعتبار متسلسلة الأصليات نفسها . فى هذه المتسلسلة ,١ ٠ يناظر
سال يناظر ب + 1 . وهكل . فهناك دائاً ترتيى واحد لا غير يصف صنف
اللسلسلة الى تقدمها الأصلياتمن ٠ إلى أى واحد مها . ويلوح أننا نفترض ضمناً
وجود أصلى لكل ترتيى . وأنه لا فصل يمكن أن يكون له هذا العدد الكثير
من الحدود . بحيث ولا متسلسلة محكمة الترتيب يمكن أن يكون لها عدد أكبر من
الحدود . أما أنا فلا أرى أى أسباب لتأبيد أى الفرضين ٠ وأرى أسباباً معينة لرفض
الثانى . لأن كل حد و فى متسلسلة يجب أن يكون فرداً . ويجب أن يكون فرداً
صر ا ار ا و و 0
يكون مختلفاً . لأنه لا توجد أى أمثلة لفرد : فكل فرد فريد بالإطلاق »
ل ا
وَاخَدا بالذات. هذه النقطة الحامة تكون غامضة لأننا كقاعدة لانصف وصفاً كاملا .
حدود متسلسلتنا . فحين نقول : لتكن متسلسلة . ناء ح .وا ناءودءه »|
حيث تتكرر حدود على فئرات - مثل المتسلسلة الى تقدمها الأرقام فى النظام
العشرى - ننسى النظرية القائلة. الأنه سيك ٠ برهف تكراز انما .بمكن أن
6 ا بو ام سطع لماعل لقلطء تمسمكة
0 ؟ ) انظر ١ سبق الباب الثامن والثلاثين بند 5٠٠١ .
ينف
نحصل على متسلسلتنا بالرابط » ومعبى ذلك أن الحدود ليس لما بذاتها ترتيب »
ولكن لا علاقة واحد بكثير ( لا واحد بواحد ) مع الحدود الى لها ترتيب ١١ . وعلى
ذلك إذا رغبنا فى الحصول على متسلسلة حقيقية +«ندهمع فيجب إما أن نرجع إلى
المتسلسلة الى تترابط معها حدودنا . وإما أن نكون الحدود المركبة المؤلفة من تلك
الحدود فى المتسلسلة الأصلية ومن تلك المتسلسلة المثرابطة فى أزواج . ولكن لا يوجد
تكرار فى أى من هاتين المتسلسلتين . وعلى ذلك كل عدد ترتيى يحب أن يناظر
متسسلة من الأفراد تختلف كل واحدة مها عن الأخرى . وقد يشك هل تكوّن
جميع الأفراد متسلسلة أصلا . أما أنا فلا أستطيع تبين أى علاقة متعدية لا
مّائلة تقوم بين كل زوج من الحدود . حقنًا يعتبر كانتور أن كل مجموعة
معينة بمكن أن تجعل محكمة الترتيب . على أن.ذلك قانون من قوانين الفكر »
ولكن لا أرى أساساً هذا الرأى . ومع ذلك فإذا أجزنا هذه الوجهة من النظر سيكون
للترتيبات نهاية عليا ددهم معينة تماماً ٠ وهى ذلك الترتيى الذى يمثل صنف
المتسلسلة المكوّنة من جميع الحدود بدون استكناء''' . فلو أن مجموعة كل الحدود
لم تكن تكون متسلسلة . فن المستحيل إثبات ضرورة وجود ترتيى هو الأعلى
لهستفمه سسسنحدد» الذى توجد على كل حال أسباب لإنكاره'" . ولكن فى هذه
الحالة ربما كان له الحق أن نشك هل يوجد من الترتيبات بمقدار ما يوجد من
الأصليات . بالطبع إذا كانت جميع الأصليات تكون متسلسلة محكمة الترتيب »
فيجب أن يوجد ترتيى لكل أصلى . ولكن مع أن كانتور يقول بأن عنده برهاناً على
أنه إذا اختلف عددان أصليان؛ فأحدهما لابد أن يكون هو الا كبر (دعلدصدصة.ط)61)
2 ,آلآم3 فلا أستطيع إقناع نفسى أنه لم يفعل أكثر من أنه أثبت وجود متسلسلة
حدودها أصارات» أى واحد منها أكبر أو أصغر من أى واحد آخر. أما أن جميع
الأصليات موجودة فى هذه المتسلسلة فلست أرى سبباً للاعتقاد فى ذلك . فر بما وجد
ا ار
( ؟) فماعختص بالترتيى الأعل انظ ''نالسقدمهنا معصسه أده صمتاعين همنا" ,تله تلمسظ
97و18 مامصولوط :ل معتاعسعلهج مامعجء امك أاسممطفع8 وانظر كذلك مقالى فى مجلة .031.501.1111 11
20 493.م
(؟) انظر الباب الثامن والثلاثين بند 01؟
14"
فصلان » بحيث لا يمكن إجراء ترابط بين أحدهما وبين جزء من الآخر . وفى هذه
الحالة لن يكون العدد الأصلى فى أحد الفصلين مساوياً للعدد فى الآخر ولا أكير ول ”
أصغر منه . ولو كانت جميع الحدود منتمية لمتسلسلة مفردة محكمة الرتيب لكان
ذلك مستحيلا . فإن لم تكن فلا أستطيع أن أجد أى طريقة لبيان أن مثل هذه الحالة
لا يمكن أن تنشأء وبذلك يلوح أن البرهان الأول» على أنه لايوجد أصلى لا بمكن
أن يزاد عليه» قد اهار .
5 البرهان الثانى من البراهين المشار إليها سابقاً "١ مختلف نمام الاختلاف
وأكثر تحديداً . والبرهان فى حد ذاته طريف وهام وسنعطى مجملا عنه . تشتمل
المقالة االى ظهر فيها هذا البرهان على نقاط ثلاث )١( برهان بسيط على وجود
قوى أعلى من القوة الأول )١( الإشارة إلى أن هذه الطريقة فى البرهان يمكن أن
تنطبق على أى قوة ( *؟) تطبيق الطريقة لإثبات وجود قوى أعلى من قوة المتواصل .
ولنبدأ بفحص أول هذه النقاط » ثم ننظر أهذه الطريقة عامة حقاً .
يقول كانتور : ليكن م » و خاصتين متباعدتين فها بينهما » واعتبر مجموعة م
من عناصر هر حيث كل عنصر فى هر مجموعة معدودة نه + عه .... » مار »
وكل سه إما أنه أحد م أوأحد و ( الخاصتان م. و يمكن اعتبارهما على التوالى أكبر
وأصغرمن حد ما ثبت . هكذا بمكن أن تكون السينات أعداداً منطقة يكون كل
منها أحد م عند ما تكون أكبر من ١ » وأحد و عند ما تكون أصفر من ١ . وهذه
اللاحظات لا محل لا منطقياًء ولكنها تيسر متابعة الحجة ) . والمجموعة م تتكون من
جميع العناصر الممكنة ىهر من الوصف المتقدم الذكر » عندئذ م غير معدودة ».
اهن قوة أعلى من الأولى » ولنأخذ أى مجموعة معدودة من الطاءات معرفة كا يأقى.
5 © | ا مم
"١ ايم
0 0 الي + ناهريم مم
ذى > (آن, ؛ أنب ليت أبينم 246....)
) 0 8202) 1 رمفنامتصاعمع كا سد معن يه ممع طيو 1 معطع و مل ععل اطء تعطق بطوع
( ؟) القوة مرادفة للعدد الأصلى : القوة الأول هى قوة الأعداد الصحيحة المتناهية 1
٠ يف
حيث الألفاتكل مها أحد م أو أحد و بطريقة معينة ما ( مثال ذلك أن
الحدود الأولى الى عددها ب, فى هرى : قد تكون مهات والباق جميعاً واوات .
أو قد يمكن اقتراح أى قانون آخر يضمن أن تكون الهاءات فق متسلسلتنا محتلفة
جميعاً ) عندئذ مهما تكن طريقة اختيار متسلسلة الماءات : نستطيم دائاً أن نجد
حداً هم , ينتمى للمجموعة م ولكن لا ينتمى إلى الات لخادت المعدودة .
وليكن هر, المتسلسلة (ب, ؛ ب . .... بم ؛ . . .) حيث لكل لم تكون سارو
مختلفة عن اريم -- أى إذا كانت إررن, أحد م كانت تبن أحد و . والعكدن
بالعكس . عندئذ كل واحدة من متسلسلاتنا المعدودة من الهاءات تشتمل على
الأقل على حد واحد ليس متطابقا مع الحد المناظر فى هر. وعلى ذلك هر . ليس أى
واحد من حدود متسلسلتنا المعدودة من الحاءات . إذن لا متسلسلة من هذا النوع
يمكن أن تحوى جميع الماءات . وعلى ذلك الهاءات غير معدودة . أى م لها قوة
أعلى من القوة الأول .
ولا حاجة بنا إلى التوقف لفحص البرهان على أن هناك قوة أعلى من قوة المتواصل
مما يسبل الحصول عليه من البرهان السابق الذكر . وربما شرعنا توا فى النظر ى
البرهان العام وهو : إذا عسلمت أى مجموعة أيا كانت فهناك مجموعة من قوة أعلى .
هذا البرهان يبلغ من البساطة مبلغ برهان الحالة الخاصة » ويحرى كالآنى : ليكن ى
أى فصل » واعتبر ك فصل علاقات بحيث أنه إذا كانت ع علاقة من هذا الفصل
فكل حدمن الفصل ى له العلاقة ع إما مع ٠ وإما مع ١ (أى زوج آخر من
الحدود يصلحمثل ١ ٠ ١ ) . إذن الفصل ك له قوة أعلى من الفصل ى . ولكى نثبت
ذلك فلنلاحظ قبل كل شىء أن ك ليس له بكل تأكيد قوة دنيا » لأنه إذا كان
سه أى ى ؛ ستكون هناك علاقة ع من الفصل ك بحيث أن كل ى ما عدا س له
العلاقة ع مع ٠ . ولكن س له هذه العلاقة مع ١ . والعلاقات الى هى من هذا
النوع تكون لقم س المتعددة فصلا له ترابط واحد بواحد مع حدودى ٠ ويحوياً فى
الفصل ك . إذن ك له على الأقل نفس القوة مثل ى . وللبرهنة على أن ك له
قوة أكبر اعتبر أى فصل محوى فى اك ٠ وله ترابط وا واحد بواحد مع ى . عندئذ أى
علاقة من هذا الفصل قد تسمى ع.., » حيث س. بعض ى - ولرمز اللاحق س,
شف
يدل على ترابط مع سه . ولنشرع الآن فى تعريف العلاقة ع بالشروط التالية : لكل
حد سه من ى له مع س علاقة عس مع 0 ؛ لتكن سء تأخذ العلاقة ع مع ١ ولكل '
حد ص, من ى له مع صء علاقة عم مع 21١ لتكن ص تأخذ العلاقة ع مع ٠
إذن ع تكون معرفة" لجميع حدودى » وهى علاقة من الفصل لك » ولكنها ليست
أى واحدة من العلاقات ع. ٠ وعلى ذلك مهما يكن الفصل الذى نأخذه والمحوى فى
ع ومن نفس قوة ى ٠ فهناك دائماً حد فى اك لا ينتمى لهذا الفصل . وإذن كع له فوة
أعلى من ى .
41" - ولنبدأ بتبسيط هذه الحجة بعض الثىء بحذف ذكر ١25٠ »
والعلاقات معهما . تعرف كل علاقة من علاقات الفصل كح عند ما نعوف أى
حدود ى خا هذه العلاقة مع ٠ . وبعبارة أخرى تعرف بواسطة فصل محوى ى ى
( يما فى ذلك الفصل الصفرى ى ذاءها) . وهكذا هناك علاقة واحدة من الفصل ك.
لكل فصل محوى فى ى : وعدد ك هو نفس العدد كالفصول المحوبة ى ى .
وعلى ذلك إذا كان ك أى فصل كان فحاصل الضرب المنطى ك ى عبارة عن فصل
محوى فى ى : وعدد كن هو عدد كى حيث ك متغير قد يكون أى فصل . وبذلك
ترد الحجة إلى ما بأتى : أن عدد الفصول المحوية فى أى فصل تزيد على عدد الحدود
الى تنتمى إلى الفصل 1١! .
وصورة أخرى هن نفس الحجة تجرى كا يأنى : خذ أى علاقة ع ها
الخاصتان ( )١ أن ميدانها الذى نسميه عمساو لعكس ميدانها )١( ٠. أنه لا
حدين من الميدان هما بالضبط نفس المجموعة من المتعلقات . ثم بواسطة ع أى حد
من ع فهوالترابط مع فصل محوى ف ع هو فصل المتعلقات الى يكون هذا الحد ,
المذكور متعلقاً به . وهذا الترابط هو ترابط واحد بواحد . وعلينا أن نبين أنه يوجد
على الأقل فصل واحد محوى فى ء ومحذوف فى هذا الترابط : والفصل الذوف هو
الفصل و الذى يتكون من جميع حدود الميدان ٠. وهى الحدود الى ليست لها
العلاقة ع مع نفسها . بعبارة أخرى الفصل و الذى هو ميدان حاصل الضرب المنطى
٠ عدد الفصول المحوية فى فصل لها من الأعضاء هو ؟! ؛ وبذلك تبين الحجة أن ؟ )١(
داماً كن هه
يفف
اع والتعدد » لأنه إذا كان ص, أى حد من الميدان وبناء على ذلك من عكس
اميدان » كان ص ينتمى ! و إذالم يكن ينتمى للفصل المرابط مع ص ٠ ولا
ينتمى! وق الحالة المقابلة . وإذن و ليس نفس الفصل كالفصل المترابط مع ص..
وهذا ينطبق على أى حد صء نختاره . على ذلك الفصل و محذوف بالضرورة ى
الترابط .
.- ينبغى الاعتراف بأن الحجة السالفة يلوح أنها لا تشتمل على افتراض
موضع نزاع . ومع ذلك هناك بعض الأحوال الى تظهر فيها النتيجة واضحة البطلان .
ولنبدأ بفصل جميع الحدود . فإذا سلمنا كا فعلنا فى بند 4/ بأن كل مكون
فى كل قضية حد . لم تكن الفصول سوى بعض الحدود . وبالعكس ما دام يوجد
لكل حذ فصل يتكون من ذلك الحد فقط فهناك ترابط 0
الحدود وبين بعض الفصول . إذن يجب أن يكون عدد الفصول هو نفس عدد
الحدود ١١ . هذه الحالة تلتى فى توافق مع مذهب الأصناف ''! : وتكون بذلك
شبيبة بالضبط لحالة الفصول وفصول الفصول . ولكن إذا سلمنا بفكرة جميع
الأشياء ' من كل نوع . أصبح من الواضح أن فصول الأشياء إنما يحب أن 3
بعضاً فقط من الأشياء . على حين أن حجة كانتور تبين وجود فصول أكثر من
الأشياء . أوخذ فصل القضايا . فكل شىء يمكن أن يقع فى قضية ما ٠ ويلوح
مما لاريب فيه أن هناك على الأقل هن القضايا بعدد ها يوجد من الأشياء . لآنه إذا
كان ى فصلا ثابتً » كانت: س أحدى » قضية مختلفة لكل قيمة محتلفة هن
>0 ونج من ذظرية شر يدر و برئشتين اتى مقتضاها إذا كانى شببباً جز من ف وكان ف
ع مزه من ى وجب أن يكون ى ٠. ف متشاءبين . اتظر #5منامه0”! كعك مأومم 1 ها «اند كومع6 1 راعهظ8
م0 عر زلأوةذ ركتيهة”1)
(؟) انظر بند مه من الحزء الأول من هذا الكتاب - افاشش. , ( المترجم : سقط مهنا إثبات
هذا الهامش ى الحل الأول » وهو الخحاص بلفظة ذىء )وطن »ء وإذلك ننقله ى هذا الموضع » وكان
من حقه أن يكون فى صفحة ٠١٠ عن الطبعة العربية المز الأول ) وهذا هو الماش
ا 2
ماستخدم لفظة ثىء )66زاه معى اوسع من لفظة حد صسع) ليث يشمل كلا المفرد وأجمع 3
وكذلك بعض أحوال من الابس مثل ,رجحل هلط كه #. أء! أن لفظة مكن ان تصاغ معى أوسع م
35
وابهد وافامر يشر صهوبات «ماقية عويصة - انظر بند لضع .
11
وإذا سلمنا حسب مذهب الأصناف أنه إذا كان س له مع ى المعلوم مدى مقيد .
إن' وجب أن تبى وس هى أحدى » ذات دلالة ٠ فليس علينا إلا أن نغير ى
تغييراً مناسباً للحصول على قضايا من هذا النوع لكل س. ممكنة » وبذلك يحب أن
يكون عدد القضايا على الأقل كبيراً كعدد الأشياء . واكن فصول القضايا إنما هى
بعض الأشياء فقط » ومع ذلك فححة كانتور ثبين أن هناك من الأشياء أكثر من
القضايا . م نستطيع بسهولة إثبات وجود دوال قضايا أكثر من الأشياء . ولتفرض
وقوع ترابط بين جميع الأشياء وبعض دوال القضايا . ولتكن بي سه المرابطة مع
س . إذن «لا دي س (سه)ا) : أى أن دم س لا تصح على س » هى دالة
قضية غير محوية فى الترابط . لأن س تكون صادقة أو كاذبة بحسب ما تكون في سه
صميحة أو كاذبة على سء ٠ وإذن فهى مختلفة عن بم سه لكل قبمة من سس . ولكن
هذه الحالة ر بما تفسرها من بعض الوجوه مذهب الأصناف .
4" - من المفيد أن نفحص بالتفصيل فى تطبيق حجة كانتور على مثل هذه
الحالات بواسطة ترابط نحاوله بالفعل . فى حالة الحدود والفصول مثلا ٠ إذا
م يكن س فصلا فلنجعله يترابط مع مل س . أى الفصل الذىعضوه الوحيد سه »
أما إذا كان س فصلا . فلتجعله يترابط مع نفسه . ( ليس هذا الترابط ترابط
واحد بواحد بل كثير بواحد . لآن س . مل س كلاهها مترابطان مع م[ سه .
ولكن هذا يعين على توضيح النقطة المذكورة ) . ثم الفصل الذى يحب حسب حجة
كانتور حذفه من الترابط هو الفصل و : وهو أحد تلك الفصول الى ليست عضاء
نفسها ؛ ومع ذلك فهذا الفصل لأنه فصل فيجب أن يترابط مع نفسه . غير أن و
فصل كا رأينا ف الباب العاشر - متناقض مع نفسه بجدم هاف ددم لاءه أى أنم
عضو مع نفسه وليس عضرا مع نفسه فى آن واحد . ويمكن أن يحل التناقض فى هذ
الحالة بمذهب الأصناف : ولكن حالة القضايا أكتر صعوبة . وق هذه الحالة.
فلرابط كل فصل من القضايا بالقضية الى هى حاصل ضربها المنطى ؛ وبهذا
السبيل يلوح أننا نحصل على علاقة واحد بواحا. لجميع فصول القضايا مع بعض
القضايا . ولكن بتطبيق حجة كانتور نجد أننا قد حذفنا الفصل و من تلك القضايا.
الى هى حواصل ضرب منطق » ولكنها ليست أعضاء فى فصول القضايا الى هى
هف
حواصل ضر بها المنطى . وهذا الفصل بحسب تعريفنا للترابط يجب أن يكون مترابطاً
مع حاصل ضير به المنطى نفسه : إلاأننا عند فحص هذا الحاصل المنطى نجد أنه
على السواء عضو وليس عضواً فى الفصل و الذى هو حاصل ضربه المنطى .
وبذلك نرى أن تطبيق حجة كانتور على الحالات المشكوك فيها يفضى إلى
متناقضات » ولو أنى عجزت عن إبجاد أى نقطة تبدو فيها الحجة باطلة . والحل
الوحيد الذى أقرحه هو التسلم بالنتيجة القائلة بعدم وجود عدد هو الأكبر
وبمذهب الأصناف . وعدم التسلم بوجود أى قضايا صوادق عن جميع الأشياء
أو جميع القضايا . ومع ذلك فالأمر الأخير يبدو واضح البطلان » ما دامت
جميع القضايا على أى حال فهى صادقة أو كاذبة حى إذا لم يكن لا أى خواص
أخرى مشتركة . وبهذا الوضع غير المرضى أنفض المشكلة من يدى تاركاً
إياها لفطنة القارئ'
٠ه" نجمل الآن مناقشات هذا الهزء فتقول : رأينا أولا” أن اللامنطقات
تعرف بأنها تلك القطع ءن المنطقات الى ليس ها نباية ٠. وببذا الطريق يستطيع
التحليل الاستغناء 0 بدمبية خاصة عن الاتصال . ورأينا أنه من 3
بطر يقة ترتيبية تة تعريف نوع الاتصال الذى ينتمى للأعداد الحقيقية .
الاتصال معرفاً على هذا النحو ليس متناقضاً مع نفسه . ورأينا أن حسات 0
والتكامل فى غير حاجة إلى اللانبانى الصغر . ,أنه .ع أن بعض صور 0
الصغر مقبولة . إلا أن الصورة الأكتر شيوعاً وهى اط اللامبائية الصغر
متسلسلة ملتحمة لا يستازمها الالتحام ولا الاتصال : بل هى فى الواقع متناقضة
مع نفسها . وناقشنا أخراً المسائل الفلسفية المتعلقة بالاتصال «اللامهاية ووجدنا أن
حجج زينون » ولو أنها صعيحة إلى حد كبير : فإنها لا تثير أى نوع من الصعوبات
العويصة . وبعد أن وضعنا أيدينا بوضوح على التعريف المزدوج للامتناهى )
من أنه ذلك الذى لا يمكن بلوغه بالاستنباط الرياضى بادئين هن ١ ؛ ومن أنه
ذلك الذى له أجزاء عدد حدودها هى نفس عددها يلها تعريفان يمكن
القييز بينهما بأن أوهما ترتيى «الثانى أصلى - ,أينا أن جميع الحجج المعتادة بالنسبة
للامباية وللاتصال على حد سواء باطلة » وأنه لا يمكن البرهنة على أى تناقض معين
لوق
بالنسبة لأيهما . ولو أن بعض الفصول اللالمائية المعيئة تؤدى فعلا” إلى هفده
التناقضات الى لم تحل حى الآن . ٍ
فلع عل المكان والزمان والحركة النتئئج الثلاث الرئيسية الحاصلة عن
هذه الناقشة وهى ( )١ استحالة القطع اللامبائية الصغر (؟ ) 00 الاتصال
(") تعريف اللامتناهى ومذههه المتسق . هذه التطبيقات أرجو أن تقنع القارىة
بأن المناقشات السالفة البى كانت طويلة بعض الثىء م
1000 :.:.... برهيوي يار عفاي 1
الباب الرابع والعشرون
الباب الحامس والعشر ون
الباب السادس والعشر ون
الباب السابع والعشرون
الباب الثامن والعشرون
الباب التاسع والعشرون
الباب الثلاثون
الباب الواحد والثلاثون
الباب الثانى والثلاثون
الباب الثالث والثلاثون
الباب الرابع والثلاثون
الباب الحامس والثلاثون
الباب السادس والثلاثون
من
الحزء الرابع
| لترتيب
: تكوين المتسلسللات .
: معى الترتيب .
: العلاقات اللاتمائلية . ١
: اختلاف الجهة واختلاف العلامة .
: فى الفرق بين المتسلسلات المفتوحة والمقفلة
المتواليات :والأعذاة اللريسة- :
: نظرية ديديكند عن العدد .
: المسافة
الحزء الحامس
: ترابط المتسلسلاات
: الأعداد الحقيقية
: اللهاية والأعداد اللامنطقة
أوك تفرك تعبا ل نك #النوتز.,
: الاتصال الترتيى
57
لله
/5
1١١
ضن
غرف
الباب السابع والثلاثون : الأصليات المتصاعدة 0. 0. 0. 44
الباب الثامن والثلاثون : الرتييات المتصاعدة ال الل هه
الباب التاسع والثلاثون : الحساب اللامالى الصغر ...072 “ا
الباب الأربعون : اللامماتى الصغر واللامتناهى المعتل . .2 [(08ا
الباب الواحد والآر بعون : الحجج الفلسفية الخاصة بااللانهاتى الصغر ١4٠
الباب الثافى والأربعون : فلسفة المتواصل .200 20 .00م
الباب الثالث والأربعون : فلسفة اللاتهاية .ل .20 (91
تم طبع هذا الكتاب على مطابع
دار المعاروف هر سلة |961١
2 3 7 5 .ِ
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11